Télécharge Examen de géométrie algorithmique – 8 et plus Examens au format PDF de Géométrie Algorithmique sur Docsity uniquement!
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole groupe 1^1 juin 1993 \
EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire
1. a. Soit ( rn ) n ∈N la suite géométrique réelle de premier terme r 0 strictement positif et de raison
Exprimer rn en fonction de r 0 et de n. b. Soit ( θn ) n ∈N, la suite arithmétique réelle de premier terme θ 0 apparte- nant à l’intervalle
[
π 2
]
et de raison
π. Exprimer θn en fonction de θ 0 et de n. c. Pour tout entier naturel n , on pose zn = rn (cos θn + isin θn ). Sachant que z 0 , z 1 et z 2 sont liés par la relation z 0 z 1 z 2 = 8, déterminer le module et un argument de z 0 , z 1 et z 2.
2. Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité graphique : 4 cm), on appelle Mn le point d’affixe zn. a. Placer les points M 0 , M 1 , M 2 et M 3 dans le plan P. b. Pour tout entier naturel n , calculer
Mn Mn + 1
∥ en fonction de^ n. c. On pose
ℓn =
∑^ n k = 0
∥∥− M −−−−−−→
k Mk + 1
Calculer ℓn en fonction de n et déterminer la limite de ℓn quand n tend vers +∞.
EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité
Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : (−−→ AB ,
AC
π 2
mod 2 π et
BC ,
BA
π 3
mod 2 π.
Soit I le symétrique de A par rapport au milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
1. Soit S 1 la similitude directe de centre A qui transforme H en B. a. Déterminer les éléments caractéristiques de S 1. b. Montrer que S 1 (C) = I. En déduire l’image de la droite (BC) par S 1 2. Soit S 2 la similitude directe de centre A qui transforme B en C, a. Déterminer l’image de la droite (BI) par S 2 b. Soit M un point de (BI), M ′^ son image par S 2 On suppose que M et M ′ sont distincts de I. Montrer que les quatre points (A, M , I, M ′) sont cocycliques,
- Amiens-Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
EXERCICE 3 4 points Enseignement de spécialité
Le plan est rapporté au sepère orthonormal
O,
ı ,
Soit (E) la conique d’équation :
16 x^2 + 25 y^2 = 400.
1. Préciser la nature de (E), son centre, ses foyers et ses sommets, puis tracer la conique (E). 2. Le réel θ décrit l’intervalle [0 ; 2 π ], soit M le point du cercle de centre O et de rayon 5, de coordonnées (5cos θ ; 5sin θ ). N est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle π 2
Au point M on associe le point R de la conique (E) qui a même abscisse que M et dont l’ordonnée a même signe que celle de M. Puis, au point N on associe le point S de la conique (E) qui a même abscisse que N et dont l’ordonnée a même signe que celle de N. a. Donner les coordonnées de N , R et S. b. Vérifier que O R^2 + O S^2 = 41. c. Calculer l’aire du triangle O RS.
PROBLÈME 12 points
PARTIE A
1. On considère la fonction numérique g définie sur ]0;+∞[par :
g ( x ) = 1 + x^2 − 2 x^2 ln x.
a. Dresser le tableau des variations de g. b. Démontrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une solution unique λ telle que 1,89 < λ < 1,90. c. Déduire de ce qui précède le signe de g ( x ).
2. On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+∞[ par : =
f ( x ) =
ln x 1 + x^2
a. Dresser le tableau des variations de f. b. Vérifier que
f ( λ ) =
2 λ^2
En déduire un encadrement de f ( λ ) d’amplitude 2 · 10 −^3. c. Tracer la représentation graphique de f dans un plan rapporté à un re- père orthogonal en adoptant 2 cm pour unité sur l’axe des abscisses et 20 cm pour unité sur l’axe des ordonnées.
PARTIE B
On considère la fonction numérique F définie sur ]0 ; +∞[ par
F ( x ) =
∫ x
1
f ( t ) d t.
Métropole groupe 1 2 juin 1993
