Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Étranger 1juin 1991 \
EXER CIC E 1 6 points
Dans le plan complexe, on considère les quatre points A, B, C, D d’affixes respectives
1, i, −1,−i. Soit M un point d’affixe z.
1. Exprimer en fonction de zle nombre réel :
p=MA×MB×MC×MD.
2. On suppose que z=reiθavec r>0, 0 6θ6π
2.
Donner une relation entre ret θnécessaire et suffisante pour que p=1.
3. Chercher les affixes des points M de l’axe des réels solutions de p=1.
Donner sous forme trigonométrique les affixes des points M du cercle trigo-
nométrique tels que p=1.
EXER CIC E 2 4 points
Dans le plan on considère deux cercles C et C′de centres respectifs O et O′, de même
rayon R, tangents extérieurement en un point A.
À tout point M de C, on associe le point M′de C′tel que :
á
³−−→
OM , −−−→
OM′´=π
2+2kπ,kentier.
1. Montrer qu’il existe une rotation de mesure π
2, dont on construira géométri-
quement le centre Ω, qui envoie C sur C′.
Quelle est l’image de M par cette rotation?
2. Montrer que I, milieu de [MM′] est l’image de M par une similitude fdirecte
de centre Ω.
Déterminer les éléments caractéristiques de cette similitude.
En déduire le lieu de I quand M décrit C.
3. Donner l’image de O par la similitude fet une mesure de l’angle á
³−−→
OM , −→
AI ´.
PROB LÈM E 10 points
On rapporte le plan à un repère orthonormé R³O, −→
ı,−→
´l’unité de longueur est de
5 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour x∈]1 ; +∞[ on définit deux fonctions Pnet fnpar :
Pn(x)=
n
X
k=1
xk
k=x+x2
2+ · · · + xn
n;
fn(x)=ln(x−1) +Pn(x).
(On rappelle que ln désigne la fonction logarithme népérien.).
1. Algérie, Burundi, Cameroun, Égypte, Éthiopie, Israël,Magadascar, Maroc, Sénégal, Togo, Zaïre, Ga-
bon, Djibouti
