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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2007 \
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
1. Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant : La fonction x 7 → e x^ est l’unique fonction ϕ dérivable sur R telle que ϕ ′^ = ϕ , et ϕ (0) = 1. Soit a un réel donné.
a. Montrer que la fonction f définie sur R par f ( x ) = e ax^ est solution de l’équation y ′^ = a y. b. Soit g une solution de l’équation y ′^ = a y. Soit h la fonction définie sur R par h ( x ) = g ( x )e− ax^. Montrer que h est une fonction constante. c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y ′^ = a y.
2. On considère l’équation différentielle (E) : y ′^ = 2 y + cos x. a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur R par :
f 0 ( x ) = a cos x + b sin x
soit une solution f 0 de (E). b. Résoudre l’équation différentielle (E 0 ) : y ′^ = 2 y. c. Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f − f 0 est solution de (E 0 ). d. En déduire les solutions de (E). e. Déterminer la solution k de (E) vérifiant k
( (^) π 2
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice.
1. On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelle S la réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB). Montrer que l’image M ′^ par S d’un point M d’affixe z a pour affixe z ′^ = −i z + 1 + i. 2. On note H l’homothétie de centre A et de rapport −2. Donner l’écriture com- plexe de H. 3. On note f la composée H ◦ S. a. Montrer que f est une similitude. b. Déterminer l’écriture complexe de f. 4. On appelle M ′′^ l’image d’un point M par f. a. Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que
A M ′′^ = − 2
A M
est la droite (AB).
A. P. M. E. P. Baccalauréat S
b. Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que
A M ′′^ = 2
A M
est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. Soit f l’application qui à tout point M de P d’affixe non nulle z associe le point M ′ d’affixe :
z ′^ =
z +
z
1. Soit E le point d’affixe z E = −i. Déterminer l’affixe du point E′, image de E par f 2. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ′^ = M. 3. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit M un point distinct des points O, A et B. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a :
z ′^ + 1 z ′^ − 1
z + 1 z − 1
b. En déduire une expression de
M ′B
M ′A
en fonction de
M B
M A
puis une expres-
sion de l’angle
M ′A ,
M ′B
en fonction de l’angle
M A ,
M B
4. Soit ∆ la médiatrice du segment [A, B]. Montrer que si M est un point de ∆ distinct du point O, alors M ′^ est un point de ∆. 5. Soit Γ le cercle de diamètre [A, B]. a. Montrer que si le point M appartient à Γ alors le point M ′^ appartient à la droite (AB). b. Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f?
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
L’espace est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
k
1. On considère le point A de coordonnées (−2 ; 8 ; 4) et le vecteur
u de coor- données (1 ; 5 ; −1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( d ) passant par A et de vecteur directeur
u.
2. On considère les plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives x − y − z = 7 et x − 2 z = 11. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représenta- tion paramétrique de leur droite d’intersection, notée ( d ′). Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de ( d ′). 3. Démontrer que les droites ( d ) et ( d ′) ne sont pas coplanaires. 4. On considère le point H de coordonnées (−3 ; 3 ; 5) et le point H′^ de coor- données (3 ; 0 ; −4). a. Vérifier que H appartient à ( d ) et que H′^ appartient à ( d ′).
Amérique du Sud 2
