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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Étranger groupe 2^1 \
septembre 1992
EXERCICE 1 4 points
Soit ( un ) et ( vn ) les suites définies pour tout entier naturel n par :
u 0 = 9, un + 1 =
un − 3 et vn = un + 6.
1. a. Montrer que ( vn ) est une suite géométrique à termes positifs.
b. Calculer la somme Sn =
∑^ n k = 0
vk en fonction de n et en déduire la somme
S ′ n =
∑^ n k = 0
uk en fonction de n.
Déterminer (^) n lim→+∞ Sn et (^) n lim→+∞ S ′ n.
2. On définit la suite ( wn ) par wn = ln vn pour tout entier n. Montrer que ( wn ) est une suite arithmétique.
Calculer S ′′ n =
∑^ n k = 0
wk en fonction de n et déterminer (^) n lim→+∞ S ′′ n.
3. Calculer le produit Pn = v 0 · v 1 · ··· vn en fonction de n. En déduire (^) n lim→+∞ Pn.
EXERCICE 2 4 points
Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J.
1. Soit O le centre de la similitude plane directe S telle que S (A) = B et S (D) = C. a. Démontrer que
OA ,
OD
OB ,
OC ) + 2 kπ , k ∈ N.
b. Demontrer que
OC
OB
OD
OA
En déduire que O est le centre de la similitude directe S ′^ telle que S ′(A) = D et S ′(B) = C.
2. En utilisant les similitudes S et S ′, démontrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles IAB, IDC, JAD et JBC ont le point O en commun.
PROBLÈME 12 points
Partie 1
On désigne par g la fonction numérique définie sur [0 ; π ] par
g ( x ) = x cos x − sin x.
Étudier g et dresser son tableau de variation. En déduire le signe de g ( x ) sur [0 ; π ].
- Algérie, Djibouti, Gabon, Mali, Maroc, Sénégal
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
Partie 2
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0 ; π ] par :
{ (^) f (0) = 1
f ( x ) =
sin x x
si x ∈]0 ; π ]
1. Démontrer que f est continue sur [0 ; π ]. 2. Étudier les variations de f sur ]0 ; π ]. Tracer la courbe représentative de f sur [0 ; π ] dans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On admettra que le nombre dérivé de f en zéro est zéro.) 3. En déduire que pour x de
[
π 2
]
on a
π
6 f ( x ) 6 1.
Partie 3
On se propose d’étudier la fonction définie sur [0 ; π ] par :
F ( x ) =
∫ π
x
f ( t ) d t.
(On ne cherchera pas à calculer une primitive de f .)
1. Justifier l’existence de
∫ π
0
f ( t ) d t.
2. a. En utilisant la question II. 3., démontrer que pour 0 < x 6 π , on a :
π
2 x π^2
∫ π 2 x 2
sin t t
2 d t.
b. Calculer la valeur en π des fonctions définies sur ]0 ; π ] respectivement par :
x 7 −→
∫ π 2 x 2
sin t t
d t et x 7 −→
∫ π
x
u^2 sin^2
u 2 d u ,
puis calculer leur fonction dérivée. En déduire l’égalité des deux fonctions. c. Déduire de 2. a. et b. que :
2 π
2 x π^2
∫ π
x
u^2
sin^2
u 2
d u 6
π 2
3. a. En prenant t 7 −→ 1 − cos t comme primitive de t 7 −→ sin t et en intégrant par parties, démontrer que pour tout x de ]0 ; π ] : ∫ π
x
sin t t
d t =
π
cos x − 1 x
∫ π
x
1 − cos t t^2
d t.
b. Calculer la limite de
cos x − 1 x
lorsque x tend vers 0. c. Démontrer que : ∫ π
x
1 − cos t t^2
d t =
∫ π
x
t^2
sin^2
t 2
d t.
d. En déduire que :
4 π
2 x π^2
cos x − 1 x
∫ π
x
sin t t
d t 6
π 2
π
cos x − 1 x
Étranger groupe 2 2 septembre 1992
