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ENSEIRB Filière Informatique Ière année UV 12D : Algonithmique Numérique Module IS 1 03 : Algorithmique Numérique Epreuve de : Algorithmique Numérique Durée : 1h30 le 19/06/2002 Documents de cours et TD autorisés Avertissement: Il sera tenu le plus grand compte de la justification des réponses et de la présentation. Préliminaire : K .h,et £ sont des réels > 0 ; de plus on suppose 1 < K . d(n) est une suite de réels positifs qui vérifie : d(0)= 0 et din+i) < (1+hK)dén) + MK Ÿ dé) + he pourtoutentier positif n Montrer (par récurrence sur n) que : tin d{n) < he X (1+hK) pour tout entier positif n pr) problème : On veut calculer une approximation de la solution de l'équation différentielle : V6 = 1300) + g{x0) v(t) dt pour tout x dans un segment Ja , b[ fixé ; avec la condition initiale va) = vo un réel fixé ; où fet g sont 2 fonctions à valeurs réelles , que l'on pourra supposer aussi régulières que l’on voudra On admettra l’existence et l’unicité de la solution théorique , que l'on notera y . On utilisera les notations classiques pour la discrétisation du segment Ja, b[ c'est à dire : une suite de (N+1) réels équidistants xo=a,x1,X2,. .XN4,XN =D : le pas de discrétisation est h=(b-aYN , et y, désigne la valeur calculée qui doit approcher y{x,) ; ces valeurs seront calculées avec la formule de récurrence suivante : Ya = yo la condition initiale donnée ; et Var © Ya +R DR Ya Yni Yi Yo, h} pour n< N 1} pour une telle méthode de calcul ; définir de manière naturelle les notions de stabilité et de consistance d'ordre p : de manière à avoir la propriété standart (que vous démontrerez) : Stabilité et consistance d'ordre p impliquent la convergence d'ordre p. à im on prend Œ{xn Ya nt V1 Yo N)= Axa) + h Ÿ gx x) montrer la stabilité ( on pourra se servir du préliminaire en considérant qu'il existe K tel que: Ix.y)-x,2)1 < K ly-2l pour tout x dans [a,b] , pour tout y et z ; CRTCANIES pour tout & et fi dans [a.b] ) b) montrer la consistance d'ordre 1, quel est l'ordre de cette méthode ? €) écrire l'algorithme {en L.D.A.) correspondant à cette méthode 
