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ENSEIRB - Département d'Informatique Année 2003 — 2004 Module 1$103 : Algorithmique Numérique — Rattrapage Mardi 31 août 2004 (Notes de cours et de TD autorisées) NB : Il sera tenu compte de la clarté des réponses et de la qualité de la rédaction; en particulier, les algorithmes devront être écrits en Langage de Description Algorithmique et préalablement expliqués. Soit À une matrice n x n et on considère sa factorisation sous la forme LU ; on se place ici dans un cadre théorique pour lequel cette décomposition existe a priori. Partie 1. On suppose tout d’abord que À est une matrice pleine représentée donc par un tableau classique à deux indices (que l’on appelle 4). Ecrire l'algorithme qui calcule par ligne et sur place à partir des coefficients a;; la partie triangulaire inférieure stricte de L et la partie triangulaire supérieure de U. On uti- lisera la méthode par identification vue en TD. Cette version de la factorisation LU sera appelée Version IJK à cause de l’ordre selon lequel sont faites les boucles (I puis J puis K). Montrer sur un dessin comment on accède aux parties de L et de U déjà calculées. Ecrire un nouvel algorithme par ligne équivalent au précédent et correspondant à une Version IKJ. Justifier votre réponse (indication : on cherchera un algorithme qui manipule uniquement les lignes des parties de L et de U déjà calculées). Partie 2. On suppose maintenant que À est une matrice creuse; les positions de ses termes non nuls sont données par l’ensemble NZ(A) = {(i, j) / ai; # 0} de cardinal m4. On considère la factorisation LU incomplète de À, c’est à dire celle que l’on obtient en effectuant l'algorithme LU mais en calculant les l; ; et les u; ; uniquement pour les positions (ij) de NZ(A). Ecrire un tel algorithme à partir de la Version IKJ de la factorisation LU complète de la Partie 1; on notera ILU cet algorithme. Quelle est la structure de données la plus appropriée pour stocker les matrices creuses À, L et U ; justifier votre réponse. TSVE _+ 
