Exercices sur l'algorithmique numérique 5, Exercices de Applications des sciences informatiques

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ENSEIRB - Département d'Informatique Année 2003 — 2004 Module 18103 : Algorithmique Numérique Lundi 14 Juin 2004 (Notes de cours et de TD autorisées) NB : Il sera tenu compte de la clarté des réponses et de la qualité de la rédaction. Première partie On s'intéresse ici à la factorisation de Cholesky A = LLT pour des matrices À symétriques définies positives. On rappelle que dans cette factorisation, L est une matrice triangulaire inférieure dont la diagonale n'est pas nécessairement constituée de 1. Donner un algorithme pour cette factorisation issu d'une méthode d'identification et conduisant dans L à un calcul des coefficients et à un accès par ligne. Justifier votre réponse. En s'inspirant de l'algorithme de factorisation À = LDLT par colonne vu en cours, donner une version par colonne de la factorisation de Cholesky À = LLT. Deuxième partie On considère maintenant une matrice A symétrique définie positive creuse dont le graphe associé est une grille p x p. À est donc n x n avec n =. Les sommets de cette grille sont numérotés colonne par colonne de la gauche vers la droite, et de haut en bas sur chaque colonne. appeler ce qu'est la largeur de bande d'une matrice creuse, et expliquez pourquoi la numérotation utilisée mi se cette largeur de bande de la matrice A. Comment varie asymptotiquement le nombre de termes dans la bande de A? A partir de l'algorithme de factorisation À = LDL? par ligne, montrer que le nombre d'apérations pour factoriser est pour cetté numérotation en O(n*). Montrer aussi que le nombre d'opérations pour effectuer la descente-remontée est en O(n%?).