Télécharge Notes sur le thème de l'algorithmique numérique - 3° partie et plus Notes au format PDF de Application informatique sur Docsity uniquement!
- On s'intéresse maintenant à la 2
ème colonne. Il existe une matrice de Householder (^) 2
H de dimension m-
telle que H (^) 2 A 1 A 2 , avec
2
H
H. Ainsi la première colonne de A 2 reste inchangée par
rapport à A 1 et l'on a fabriqué la deuxième colonne
2
x
.
- Il vient A A 0 H 1 A 1 H 1 H 2 A 2 On itère la méthode N fois et il l'on obtient la
factorisation A H 1 Hn An avec Q H 1 Hn et R An.
Obtention de Q b c 1
t au cours de l'algorithme de factorisation
En vérité, on peut habilement intégrer le calcul de Q b
t à l'algorithme précédent. Cela est simple, il suffit de
rajouter une N+1 colonne à la matrice initiale, A 0 A b . Ainsi après N itérations, on obtiendra le résultat
Q b
t toujours dans la même colonne.
Obtention de la factorisation A = QR par Givens
(…)
Résolution des équations non linéaires
Méthode de dichotomie
Considérons une fonction f en dimension 1. On isole une racine unique dans un intervalle a , b . On divise
l'intervalle en deux à chaque étape, on identifie le sous - intervalle contenant la racine en comparant le signe du
milieu f m avec f a. Et on réitère. La précision obtenue au bout de k itérations est
k
b a
. La méthode de
la dichotomie est robuste, mais n'est pas généralisable à la dimension n.
Généralités
Méthode convergente, d'ordre p
Une méthode itérative est convergente : X^ n ^ X solution, si
p C , p / Xn X CXn 1 X. On dit
que la méthode est dite d'ordre p.
Théorème du point fixe
Soit k -lipschitzienne contractante : y 2 y 1 k y 2 y 1 avec k 1. Soit X 0 et
Xn 1 Xn . Alors on a X n X tel que X X .
Pour appliquer ce théorème, il suffit de vérifier qu'il existe une boule B X , X 0 X sur laquelle, on a la
propriété y 2 y 1 k y 2 y 1 avec 0 k 1. L'inégalité des accroissement finis nous donne
j
i
c cij x
c k c
,,
sup sup.
Méthode d'itérations successives pour résoudre F X 0
Posons X X F X . Si X est point fixe de alors X est solution de F X 0. On définit alors la
récurrence suivante : X (^) n 1 Xn F Xn .
Méthode de Newton - tangente
En dimension 1 pour des réels,
(^) n
n n n f x
f x x x
1 . La méthode de la tangente est d'ordre 2. Inconvénient, si
on part d'une certaine boule , la méthode converge, sinon l'algorithme peut osciller et ne pas converger! Cette
méthode se généralise à la dimension n. Pour des complexes, on peut employer deux fois cette méthode.
Méthode de Newton - Raphson
En dimension n , X (^) n 1 Xn n où J F Xn n F Xn avec
j
i n n x
F X
J F X
(matrice jacobienne). J F Xn est inversible et permet le calcul de (^) n à chaque itération. Si on part d'une
certaine boule au voisinage de la solution, la méthode est convergente d'ordre 2. Si on fait un choix au hasard
pour X (^) 0 , il faut prévoir un test d'arrêt au bout de 100 itérations par exemple pour éviter le cas d'oscillations! La
complexité globale est en n
3 .
Variante si m grand
La complexité globale passe en n
2 après la première utilisation… Factorisation PA=LU …
Méthode de Bairstow dans le cas des polynômes
On cherche à résoudre P x 0 , avec (^0)
1 P x x a 1 x a
n n
n
^.
Méthode
On cherche x x
2 qui divise P. On a 1 0
2
P x x x Qx rx r (division euclidienne).
Pour déterminer les coefficients et , on cherche une racine de l'application F : , r 0 , r 1 .
On veut appliquer la méthode de Newton - Raphston en dimension 2. Il faut d'abord calculer la matrice
jacobienne J : on établit des formules par récurrence assez complexes… Puis, on applique effectivement la
méthode de Newton - Raphston , à partir de 0 , 0 , qui donne , (sous réserve que l'on se trouve
initialement dans une boule suffisamment proche de la solution pour que la méthode soit effectivement
convergente).
Finalement, le polynôme A x x
2 1 fournit deux racines de^ P. On réitère la méthode sur^ Q 1^ tel que
P A 1 Q 1. Cependant, les itérations successives entraînent une perte progressive de la précision.
Variante
Pour ne pas choisir 0 , 0 complètement au hasard, une méthode consiste à sélectionner une centaine de
couples et à choisir, pour débuter l'algorithme, celui qui rend le polynôme minimum.
Amélioration de la précision
La racine obtenue étant assez proche de la racine réelle, on effectue la méthode de la tangente pour améliorer la
précision. Tous les 4 ou 5 coups, on améliore la précision avec la précision avec la méthode de la tangente. Cette
dernière méthode ne s'applique qu'aux racines réelles (on applique deux fois la méthode pour les racines
complexes).
t t H (^) 1 A 22 H 1 A 22 VZ ZV
Méthode de recherche des valeurs propres
A partir de la matrice tridiagonale M , on va construire le polynôme caractéristique dont les racines sont
précisément les valeurs propres.
Soit b (^) i les coefficients diagonaux, et ci les coefficients sous-diagonaux. On a P 0 (^) 1 , P 1 (^) b 1 et
pour tout i n , 2
2 Pi bi Pi 1 ci 1 Pi . Attention au cas particulier où un ci est nul! Il faut
distinguer deux polynômes caractéristiques.
- Pi est le polynôme caractéristique de Mi où Mi est la sous-matrice de dimension i extraite de M de telle sorte
que Mn = M.
- Le coefficient dominant de Pi est
i i
- Si Pi 0 0 alors Pi (^) 1 0 et Pi (^) 1 0 sont de signe opposé. 4. Pi a exactement i racines réelles distinctes qui séparent les i+1 racines de Pi+.
Bissection de Givens
Soit un réel. Soit E i , , signe P 1 signe Pi . On définit N i ,le nombre de
changement de signe dans E i ,. Alors N i ,représente le nombre de racines de Pi qui sont inférieures et
distinctes de .
On ordonne les i de manière croissante : 1 n. Considérons un intervalle a 0 (^) , b 0 contenant i. Soit
a 0 (^) b 0 (bissection). On calcule N n ,. Si N n , i , alors i (^) a 0 ,sinon i , b 0 . On
réitère…
Une variante pour éviter les overflows
(…)
Méthode de la puissance itérée
Soit A une matrice quelconque, éventuellement à coefficient complexe.
Théorème
Soit A diagonalisable dont la valeur propre 1 (de plus grand module) est unique. Soit q 0 un vecteur non
orthogonal au sous-espace propre à gauche
2 associé à , tel que q 0 (^) 1. On suppose xn (^) 1 Aqn ,
1
1 1
n
n n x
x q. Alors, on a : (^1) 1
1 q (^) k u
k
le vecteur propre associé à 1 et
1
1
q j
x j
k
k pour tout j tel
que q (^) k j 0.
En pratique!
- En pratique l'hypothèse " q 0 un vecteur non orthogonal au sous-espace propre à gauche
3 associé à " n'est
pas nécessaire, car le phénomène d'arrondi permet de s'éloigner du cas orthogonal!
2
vecteur propre à gauche pour si Av v
3
vecteur propre à gauche pour si Av v
- Si A n'est pas diagonalisable, la méthode fonctionne encore, mais la convergence est plus lente.
- En pratique, on choisit la norme infinie, et q 0 (^) 1 ,, 1 .
Méthode de la déflation
On suppose maintenant que l'on connaît 1 et u 1 , avec 1 n et la base de vecteur propre u 1 , , un .
On cherche 2 et u 2.
On suppose
A A (A symétrique ?). Le principe est simple, on forme la matrice B tel que
B A 1 u 1 u 1.
Cette matrice possède les mêmes valeurs propres, les mêmes vecteurs propres, sauf 1 et u 1. Par conséquent, si l'on applique la méthode de la puissance itérée, on va obtenir 2 et u 2.
En pratique, on ne calcule pas B … La seule différence avec la méthode de la puissance itérée est dans la formule
x (^) k 1 A qk ku 1 . (Phénomène d'arrondi compensatoire inverse…)
Cette méthode permet en réitérant de trouver 3, 4 mais pas au delà, car il y a répercussion des erreurs d'arrondi.
Méthode de la puissance itérée inverse
Cette méthode permet de calculer la plus petite valeur propre n et son vecteur propre u (^) n. On prend
1 B A et
on applique la méthode de la puissance itérée à B, ce qui donne u (^) n et
n
.
Pour trouver la valeur propre la plus proche de , on applique la méthode de la puissance itérée à
B A . Id , ce qui donne uk et (^) k .
Approximation polynomiale & Intégration numérique
Approximations polynomiales
Polynômes orthogonaux
Soit
b
a
P , Q PxQxW xdx avec W x 0 un poids. Considérons P 0 (^) , P 1 ,, Pn avec Pi un
polynôme de degrés i. Alors Pi , Pj 0 pour i j.
Legendre
- 1 , 1 , W x 1 ,
1
1
P , Q PxQxdx.
- P 0 (^) 1 , P 1 (^) x x , P x n
n xP x n
n Pn x n 1 n 2
n
Pn.
Laguerre
x W x e
,
0
P , Q PxQxe dx
x .
- L 0 (^) 1 , L 1 (^) x x 1 , L (^) n x n x Ln x n Ln 2 x
2 2 (^1) 1 (^1)
(^22) Pn n!.
Corollaire
Posons f xi P xi , i. Si
f P alors
f P f Q pour tout polynôme Q de
degrés n. P est la meilleure approximation uniforme sur a , b .
Algorithme
Du point de vue informatique, on se donne une tolérance 0 , d'où si
f P , alors pour tout
polynôme Q de degrés n
f P f Q …
- Choisir n+2 points.
- Si condition vrai, alors fin.
- Sinon, échange : on introduit y en respectant le principe d'oscillation… ???
- On recommence avec la nouvelle famille de points.
On démontre que l'algorithme converge.
Approximation par interpolation
Considérons n+1 points x (^) 0 x 1 xn. Soit P un polynôme de degrés n tel que P xi f xi . Un tel
polynôme existe et on démontre qu'il est unique. On définit (^)
n
k j
k j k
k j x x
x x W x 0
un polynôme de degrés n.
On a
sii j
sii j W (^) j xi 0
. Alors (^)
n
j
P x f xj Wj x 0
.
Formule de Gregory - Newton
Soit h le pas. x (^) k x 0 kh. On définit f^ x f x h f x , f x f x
2 ,… On commence
par calculer les f x 0
i pour 0 i n. La formule de Gregory - Newton définit le polynôme P de degrés n
0 0 0 1
f x n
u f x
u P x f x
n
avec h
x x u
et 1 1 !
uu u i i i
u .
Remarquons que si x xk , u k et
i Ck i
u
. On estime l'erreur
1
1
n
n
M n
h f x Px avec
M (^) f x
n n
1 1.^ Pn^ ne converge pas vers^ f^ à cause des^ M^ n. Aussi pour avoir la convergence uniforme
sur a , b , on réalise l'interpolation sur N sous-segments de longueur N
b a avec 5 ou 6 points (en pratique).
Intégration numérique
Si Pn converge uniformément vers f sur a^ , b , alors
b
a
Pn (^) tend vers (^)
a
b
I f. On partage l'intervalle a (^) , b
en N sous-segments x (^) i , xi 1 de longueur N
b a h
, avec x (^) 0 a et x (^) N b.
Stabilité
Les formules sont de la forme (^)
i
ai f xi avec nécessairement a b a i
i .
La méthode est stable si pour tout h , il existe A tel que a f x a f x A i
i i i i
i i ^ , avec
i i
sup .
Théorème : Si a (^) i 0 alors la formule est stable.
Formule des rectangles
Sur chaque sous-segment xi , xi 1 , on approche f avec un polynôme de degrés 0, c'est-à-dire par une constante
égale à la valeur milieu. Donc (^)
N
i
h i
h R h f x 0 2
. On estime l'erreur
(^2) 2 24
M h
b a I Rh
. Cette
méthode est d'ordre 2, et non d'ordre 1 comme on le croit souvent!
Formule des trapèzes
Les polynômes qui interpolent sont de degrès 1, ce sont des droites.
1
1
0
2 2
N
i
i
N h f x
f x f x T h.
On estime l'erreur
(^2) 2 12
M h
b a I Th
. Cette méthode est d'ordre 2 et n'est pas meilleur que celle des
rectangles (sinon moins bonne).
Formule de Simpson
1
0
0 2
N
i
h N i i
h f x f x f x f x
h S. La méthode est d'ordre 4.
Spline
Théorème
Soi k 1. Il existe une et une seule fonction sur x (^) 1 , xN tel que x (^) i yi. Sur chaque segment
x (^) i , xi 1 , est un polynôme de degrés 2k-1 avec
(^) i
k x
2 2 qui existe et
0
2 2 1
2 2
N
k k x x ,
de telle sorte donc que soit de classe 2k-2 sur x 1 (^) , xN .
Spline cubique ( k = 2)
(…)
Équations différentielles
Généralités
Problème de Cauchy
Soit
M M f : x 0 , x 0 a R R , continue, telle que x , y f x , y . Etant donnée une condition initiale
y (^) 0 , on cherche
M y : x 0 , x 0 a R de classe C 1 telle que
^
0 0
yx y
y x f x y x , problème de Cauchy
dimension M et d'ordre 1.
- Si de plus, x y x
f x y h
, alors on a consistance d'ordre 2.
- Si de plus, x y x
f x y h
2
2
2
2
, alors on a consistance d'ordre 3.
Méthode de Euler
x , y , h f x , y , ordre 1, stabilité acquise ( et f lipschitzienne). Intuitivement, on traduit la formule du
taux d'accroissement h
y y f x y
n n n n
1 ,. La formule sera donc yn (^) 1 yn hf xn , yn .
Méthode du développement de Taylor
(^)
x y x
h f x y x
f x y h f x y h , 32!
2
, consistante de l'ordre que l'on veut,
stabilité acquise. Mais en pratique les calculs de dérivées rend la méthode impraticable!
Méthode de Runge - Kutta
Ordre 2
On cherche x , y , h f x , y f x h , y hf x , y . L'ordre 1 impose 1 et l'ordre 2
impose et 1 / 2.
- Si 1 , alors 0 et 1 / 2 , d'où la formule (^)
n n n n f xn yn
h y
h y y hf x , 2
Soit le prédicteur y (^) n 1 / 2 , la méthode s'écrit :
1 1 / 2
1 / 2
n n n n
n n n n
y y hf x h y
f x y
h y y La méthode est
d'ordre 2, et correspond à une amélioration de Euler : le taux d'accroissement est calculé pour le point milieu
x (^) n h / 2 , yn 1 / 2 .
Ordre 4
x , y , h P P P P
- P 1 (^) f x , y
- P 2 (^) f x h / 2 , y h / 2 .P 1
- P 3 (^) f x h / 2 , y h / 2 .P 2
- P 4 (^) f x h , y h .P 3
Choix de h
On se donne une tolérance > 0.
- On choisit arbitrairement h et on applique la méthode.
- On recommence avec h / 2. Si le résultat obtenu pour un pas divisé par 2, est à près celui obtenu pour un
pas de h alors le pas est bon, sinon on réitère_._ Attention il faut comparer x (^) n x 0 nh et
h x (^) n x n.
Méthode à pas multiples
(…)
Équations différentielles du 2
ème ordre (avec conditions aux bords)
Problème de Dirichlet
Méthode des différences finies
Méthode des éléments finis
Transformée de Fourier discrète
Algorithme de TFD rapide
(…)
Application
(…)
