Exercices sur l'algorithmique numérique 3, Exercices de Applications des sciences informatiques

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Filière Informatique 1ère année UV 12D : Algorithmique Numérique Module IS 1 03 : Algorithmique Numérique Durée : 3h le 1#/ 06 / 2003 Documents de cours et TD autorisés Avertissement: Il sera tenu le plus grand compte de la justification des réponses et de la présentation. Les parties 1 et II sont à rédiger sur des copies séparées, chaque copie devant mentionner votre nom . II (10 points) A est une matrice à coefficients réels, de dimension N (vous pouvez considérer que N vaut environ une centaine) , non symétrique en général . On rappelle que les valeurs singulières de A sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice A! A (où A' désigne la transposée de A) . 1) (7 points) Ecrire (après avoir justifié son principe) un algorithme (en Langage de Description Algorithmique, clair et bien commenté) qui calcule les valeurs singulières de A . (naturellement vous essairez de concevoir un algorithme optimisé en temps de calcul, qui tient compte des difficultés qui peuvent se présenter au cours de son exécution) 2) (3 points) Pour chaque partie principale de cet algorithme , chercher sa complexité en fonction de N ; remarquer que la complexité de la partie « dichotomie » , fait intervenir aussi 2 autres paramètres qui sont : la précision demandée par l’utilisateur , et un autre qui sert à débuter la dichotomie (ce dernier s’exprime simplement en fonction des coefficients de la matrice A ). 3) question subsidiaire : (1/& point, hors barème) Dans quelles circonstances les valeurs singulières sont elles utilisées ?