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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole groupe 2
juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Soit les nombres complexes
z 1 =
p 6 − i
p 2
2
et z 2 = 1 − i.
1. Mettre sous forme trigonométrique z 1 , z 2 et Z =
z 1
z 2
2. En déduire que :
cos
π
12
p 6 +
p 2
2
et sin
π
12
p 6 −
p 2
2
3. On considère l’équation d’inconnue réelle x :
(p 6 +
p 2
cos x +
(p 6 −
p 2
sin x = 2.
a. Résoudre cette équation dans R.
b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
EXERCICE 2 5 points
Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O(
c’est-à-dire tel que
á
OA ,
OB
π
2
Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec
(CD).
La perpendiculaire ∆ à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.
1. Faire une figure (prendre BC = 3 cm et BP = 1 cm et placer (BC) horizontale sur la feuille). 2. Soit r la rotation de centre A et d’angle
π
2
a. Préciser l’image de la droite (BC) par r.
b. Déterminer les images de R et P par r.
c. Quelle est la nature des triangles RAQ et PAS?
3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR].
Soit s la similitude directe de centre A, d’angle
π
4
et de rapport
p 2
a. Préciser les images des points R et P par s.
b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B?
c. De ce qui précède, déduire que les points M, B, N et D sont alignés.
PROBLÈME 11 points
Le problème a pour objet
- Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
- dans la partie A, d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :.
f ( x ) =
− x 2 ln x
1 + x
si x 6 = 0 et f (0) = 0,
- dans la partie B, de calculer une valeur approchée de l’intégrale
J =
0
f ( t ) d t.
A
Étude et représentation graphique de f
Dans cette partie, le plan est rapporté au repère orthogonal
O,
ı ,
(unités gra-
phiques : 10 cm sur x ′ x et 20 cm sur y ′^ y ).
On désigne par C la représentation graphique de f.
I. Étude d’une fonction auxiliaire
Soit u la fonction définie sur ]0 ; 1] par :
u ( x ) =
1 + x
2 + x
1. Montrer que la fonction u est strictement croissante.
Donner son tableau de variations en précisant la limite en 0 et la valeur en 1.
2. En déduire que la fonction u s’annule pour un unique nombre réel β compris entre 0 et 1. Montrer que :
0,54 < β < 0,55.
II - Étude et représentation graphique de f
1. a. Étudier la limite de f en 0.
b. Montrer que la fonction f est continue sur [0 ; 1].
2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.
b. Calculer f ′( x ) pour x > 0 et vérifier que f ′( x ) et − u ( x ) ont le même signe.
3. Donner le tableau de variations de f. 4. Construire la courbe C en precisant les tangentes aux points d’abscisses res- pectives 0 et 1.
B
La continuité de f assure l’existence de l’intégrale
J =
0
f ( t ) d
On ne cherchera pas à calculer une primitive de f.
I. - Étude d’une intégrale auxiliaire
Soit n > 1 un entier naturel.
On désigne par gn la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par :
gn ( t ) = − t n ln t si t > 0 et gn (0) = 0.
1. Démontrer que gn est continue sur [0 ; 1]. 2. Soit Gn la fonction définie sur [0 ; 1] par :
Gn ( t ) = −
t n + 1 ln t
n + 1
t n + 1
( n + 1)^2
si t > 0
Gn (0) = 0.
Métropole groupe 2 2 juin 1991
