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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Japon juin 1992 \
EXERCICE 1 5 points
On considère dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation d’inconnue z :
(E) : (1 + i z ) n^ = (1 − i z ) n
n désignant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. a. Montrer que pour toute solution z de l’équation (E) on a :
| 1 + i z | = | 1 − i z |.
b. En déduire que si z est une solution de (E), z est un réel.
2. On rappelle que pour tout réel] z , il existe un unique réel ϕ de l’intervalle −
π 2
π 2
[
tel que z = tan ϕ.
Exprimer en fonction de ei ϕ^ le complexe
1 + i z 1 − i z
3. a. Montrer que z est solution de (E) si et seulement si ϕ est solution de :
(E′) : ei2 nϕ^ = 1 avec ϕ ∈
]
π 2
π 2
[
b. On suppose désormais n = 6. Résoudre l’équation (E′). En déduire les solutions de l’équation (E).
EXERCICE 2 5 points
Dans le plan orienté, on considère un triangle OAB rectangle en O tel que
OA ,
OB
π 2
[2 π ].
Soit ∆ une droite variable passant par O ; on appelle A′^ et B′^ les projetés orthogonaux respectifs de A et B sur ∆. Le but de l’exercice est de démontrer que lorsque ∆ varie, le cercle de diamètre [A′B′] passe par un point fixe.
1. a. Justifier l’existence d’une similitude plane directe S qui transforme O en A et B en O. Pourquoi S n’est-elle pas une translation? b. Déterminer l’angle de S. c. Soit Ω le centre de S. Démontrer que Ω appartient aux cercles de dia- mètres [OA] et [OB]. En déduire que il est le pied de la hauteur du triangle (OAB) issue de O. 2. On appelle D la droite passant par B, orthogonale à. a. Déterminer les images par S des droites D et ; en déduire l’image de B’ par S. b. Déduire de ce qui précède, que le cercle de diamètre [A′B′] passe par un point fixe quand ∆ varie.
PROBLÈME 10 points
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
Partie A
On considère la fonction f définie sur R+ = [0 ; +∞[ par :
f ( x ) =
e x^ + e− x 2
On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
O,
ı ,
d’unité 2 cm.
1. a. Étudier les variations de f. Déterminer la limite de f ( x ) en +∞. b. Construire la courbe (C ). 2. On définit la fonction h sur [0 ; +∞[ par :
h ( x ) = f ( x ) − x.
a. Résoudre l’équation e x^ − e− x^ − 2 = 0 (on pourra poser X =
Calculer m ; en donner une valeur approchée à 10−^2 près.
3. On définit une suite ( un ) de la façon suivante :
u 0 = 1 et, pour n entier naturel, un + 1 = f ( un ).
a. Montrer que un + 1 − un peut être minoré par m (calculé en 2. b.), puis que
un − u 0 > n. m.
b. En déduire la limite de ( un ).
4. Soit a un réel quelconque. a. Discuter graphiquement , en utilisant le 1., le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = a. b. Résoudre, lorsque c’est possible, cette équation.
Partie B
On définit la fonction ϕ sur l’intervalle [1 ; +∞[ par :
ϕ ( x ) = ln
x +
x^2 − 1
On désigne par Γ la courbe représentative de ϕ dans le même repère que celui de (C ).
1. a. Soit x et y deux réels, x > 0, y > 1.
Montrer que l’égalité y = f ( x ) équivaut à l’égalité x = ϕ ( y ). b. Soit M de coordonnées ( a ; b ) et M ′^ de coordonnées ( b ; a ) ; montrer que M se transforme en M ′^ par la symétrie orthogonale d’axe la droite (D) d’équation y = x. c. En déduire que la courbe Γ est symétrique de (C ) par la symétrie ortho- gonale d’axe (D). d. Tracer la courbe Γ.
2. On pose α = ϕ (2) et on note ∆ la partie du plan que délimitent d’une part les droites d’équations y = 0 et y = α , d’autre part la courbe Γ et la droite (D). a. Hachurer ∆ sur le graphique. b. En utilisant la symétrie de la question 1. b., calculer l’aire en cm^2 de ∆.
Japon 2 juin 1992
