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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Japon juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Soit l’équation différentielle :
y ′′^ + 4 y = 0. (E)
1. Déterminer les solutions f et g de l’équation (E), telles que :
f (0) = 5 et f ′(0) = 0 g (0) = 0 et g ′(0) = 8.
2. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on désigne par ( C ) la courbe d’équations paramétriques : { x = f ( t ) y = g ( t ) où le réel t décrit R. Quelle est la nature de la courbe ( C )? La construire après avoir préciser ses éléments caractéristiques : sommets, foyers, excentricité.
EXERCICE 2 4 points
L’unité est le cm. On donne dans le plan, un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 et AC = 4.
1. Construire le barycentre G des points A, B, C respectivement affectés des co- efficients 3, −1 et 2. 2. Déterminer et construire l’ensemble E des points M du plan vérifiant :
3 M A^2 − M B^2 + 2 M C^2 = −32.
3. Déterminer et construire l’ensemble F des points M du plan vérifiant : ∥∥ ∥ 3
M A −
M B + 2
M C
M B +
M C
PROBLÈME 12 points
I- Étude d’une fonction numérique. Tracé de courbes
Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ par :
f ( x ) = 1 + ln(1 + x ).
On appelle (C ) la courbe représentative de f , le plan étant rapporté à un repère
orthonormé
O,
ı ,
, unité graphique : 3 cm.
1. a. Étudier le sens de variation de f. b. Donner une équation de la tangente (D) à la courbe (C ) en son point d’abscisse 0. c. Tracer la courbe (C ) et la tangente (D).
2. En étudiant la fonction numérique g définie sur [0 ; +∞[ par :
g ( x ) = x − f ( x )
montrer que l’équation f ( x ) = x a une solution unique α , et que α appartient à l’intervalle [1 ; 3].
II- Résolution approchée d’une équation. Calcul d’aire
1. On définit la suite numérique ( un ) n ∈N par :
u 0 = 1 et pour tout entier naturel n , un + 1 = f ( un ) ,
où f est la fonction définie dans la partie I. Démontrer les résultats suivants : a. la suite ( un ) n ∈N est bien définie et croissante ;
b. pour tout entier naturel n , un > 1 ;
c. pour tout x de l’intervalle [1 ; +∞[, on a 0 6 f ′( x ) 6
d. pour tout entier naturel n , on a :
| un + 1 − α | 6
| un − α |
( α est le réel défini à la question I. 2.) ; Pour tout entier n , on a :
| un − α | 6
) n
| u 0 − α | 6
2 n −^1
e. la suite ( un ) n ∈N converge vers α ; f. u 11 est une valeur approchée de α à 10−^3 près.
2. Donner, à l’aide d’une calculatrice, une valeur approchée β de u 11 à 10−^3. 3. Calculer, l’aire en cm^2 de l’ensemble des points M du plan dont les coordon- nées ( x ; y ) vérifient : {
0 6 x 6 α
0 6 y 6 f ( x ).
(On utilisera vu une intégration par parties.) On donnera pour cette aire la valeur exacte en faisant intervenir α , puis une valeur approchée obtenue en remplaçant α par le nombre β trouvé en II. 2.
III- Étude d’une famille de courbes et d’une suite de réels
Pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 1, on considère la fonction fp définie sur [0 ; +∞[ par :
fp : x 7 −→ fp ( x ) = 1 + ln( x + p ).
On appelle
C p
la courbe représentative de fp.
1. Dresser le tableau de variations de fp. Étudier les positions relatives de
C p
et
C p + 1
2. Le graphique ci-dessous, à rendre avec la copie, représente les courbes (C 2 ) , (C 3 ) , (C 10 ) , (C 20 ) et (C 50 ). Le compléter par le tracé de (C 1 ) et celui de la droite (∆)d’équation cartésienne y = x.
Document réponse à compléter et à remettre avec la copie
x
y
(C 2 )
(C 3 )
(C 10 )
(C 20 )
(C 50 )
