[Baccalauréat C Cameroun juin 1973 \
EXER CIC E
Soit fla fonction de la variable réelle définie par :
f(x)=(x+2)e 1
x
où e est la base de logarithmes népériens.
1. Étudier cette fonction.
2. Tracerla courbe représentative dans un repère orthogonal ³O, −→
ı,−→
´. On pren-
dra comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et un centimètre sur l’axe des
ordonnées.
On prendra e ≈2,72 et e 1
2≈1,65.
PROB LÈM E
Soit Eun espace vectoriel sur R, de dimension 2 et E l’espace affine associé à E.
L’objet du problème est d’étudier les applications linéaires fde Edans E(resp. af-
fines gde E dans E) telles que : f3=f◦f◦f=idE(application identique de E) (resp.
g3=g◦g◦g=idE(application identique de E))
Partie A
Soit fun endomorphisme de E, tel que f3=idE.
1. Calculer le déterminant de f. En déduire que fest un automorphisme de E.
2. Soit −→
uun vecteur non nul de E, tel que f³−→
u´=−→
u.
a. Etant donné un vecteur −→
vtel que ³−→
u,−→
v´soit une base de E, on pose
f³−→
v´=λ−→
u+µ−→
v.
Écrire f2³−→
v´sur la base ³−→
u,−→
v´.
b. Montrer que s’il existe un vecteur −→
unon nul tel que :
f³−→
u´=−→
u
alors f=idE.
3. On suppose f6= idE.
a. Montrer que si −→
uest un vecteur non nul, alors −→
vet f³−→
u´sont linéaire-
ment indépendants.
b. En déduire que si −→
iest non nul, ³−→
i,f³−→
i´´est une base de E.
c. Montrer que dans cette base de E,la matrice de fest de la for me :
M(f)=µ0a
1b¶
et montrer qu’on a nécessairement a=b= −1.
