[Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1973 \
EXER CIC E 1 4 POINTS
1. Linéariser cos7θ.
2. Calculer : I=Zπ
2
0cos7θdθ.
EXER CIC E 2 4 POINTS
Construire relativement à un repère orthonormé ³O, −→
ı,−→
´d’un plan affine l’en-
semble des points M(x;y) tels que :
16x|x|+36y¯
¯y¯
¯=576.
PROB LÈM E 12 P OIN TS
On étudie la fonction numérique de la variable réelle xdéfinie par :
f(x)=(mx −1)(2 −x)
x2−x,
où mest un paramètre réel.
À chaque valeur du paramètre mcorrespond une fonction et une courbe représen-
tative (Cm) relativement à un repère orthonormé ³O, −→
ı,−→
´d’axe x′Oxet y′Oy.
1. Montrer que, quel que soit m, les courbes (Cm) passent par un point fixe que
l’on déterminera.
Vérifier que pour la valeur (−1) de mla courbe (C−1) présente une axe de sy-
métrie parallèle à y′Oyd’équation x=1
2.
2. Trouver l’équation Y=g(X) de le courbe C−1dans un repère orthonormé
³ω,−→
ı,−→
´ωétant le point de coordonnées x=1
2et y=0 ; les nouveaux axes
seront notés X′ωX,Y′ωY.
Construire (C−1).
Calculer les nombres réels Aet Btels que :
1
4X2−1=A
2X−1+B
2X+1.
En déduire, d’une part une primitive de X7−→ 1
4X2−1et d’autre part, l’aire de
l’ensemble Edes points M(X;Y) du plan tels que :
3
26X6X0,µX0>3
2¶et g(X)6Y61.
Cette aire admet-elle une limite quand Xtend vers +∞?
3. On considère la suite udéfinie par la relation de récurrence
Un+1=Un
2+1 (n∈N)
et par son premier terme U0.
Exprimer Unen fonction de U0. (On pourra raisonner par récurrence.)Trouver
la limite de la suite n7−→Unlorsque n→+∞.
