Télécharge TP géométrie algorithmique 6 et plus Exercices au format PDF de Géométrie Algorithmique sur Docsity uniquement!
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Étranger
juin 1992 \
EXERCICE 1 4 points
I. La fonction numérique g est définie sur ]0 ; +∞[ par :
g ( x ) = 2 x
p x − 3ln x + 6.
En utilisant le sens de variation de g , déterminer, suivant les valeurs de x , le signe de g ( x ).
II. La fonction numérique f est définie sur ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) =
3ln x p x
1. Déterminer les limites de f en 0, en +∞. 2. Utiliser (1) pour déterminer le sens de variation de f. 3. a. Soit ∆ la droite d’équation y = x − 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan. Montrer que ∆ est asymptote à C et étudier la position relative de C et ∆. b. Construire C et ∆.
EXERCICE 2 4 points
Dans le plan orienté, soit ABC un triangle équilatéral tel que :
(−−→ AB ,
AC
π 3
(2 π ).
I est le milieu de [BC] et J le point tel que B soit le milieu de [JC].
r 1 est la rotation de centre A et d’angle π 3
et r 2 la rotation de centre B et d’angle (
−
2 π 3
1. Soit A′^ et B′^ les images respectives des points A et B par l’application r 2 ◦ r 1. Démontrer que I est le milieu de [AA′] et B le milieu de [AB′] ; faire une figure. 2. En précisant la nature de r 2 ◦ r (^) 1 − 1 , démontrer que pour tout point M du plan, I est le milieu de [M 1 M 2 ], M 1 étant l’image de M par r 1 et M 2 l’image de M par r 2. 3. Démontrer que r 2 ◦ r 1 est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.
PROBLÈME 12 points
I. Soit ( un ) n ∈N la suite réelle définie par son premier terme u 0 et par la condition :
pour tout n de N , un + 1 = u^2 n + un.
1. Démontrer que la suite ( un ) n ∈N est croissante. 2. Démontrer que si ( un ) n ∈N converge alors lim n →+∞ un = 0. 3. Démontrer que si u 0 + u 02 > 0 alors la suite ( un ) n ∈N diverge.
- Egypte-Éthiopie-Israël-Burkina-Faso
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
4. Démontrer par récurrence que : si u 0 + u 02 < 0 alors pour tout n de N on a − 1 < un < 0. Conclure sur la convergence de la suite ( un ) n ∈N.
II. Soit P le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
et F
l’application de P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z^2 + z.
1. Déterminer l’ensemble des points invariants par F , puis l’ensemble des points invariants par F ◦ F. 2. Soit A, B et I les trois points de P d’affixes respectives i, − 1 − i, −
. Déterminer F (A) et F (B). Soit M 0 un point du plan. Démontrer que : F (M) = F (M 0 ) si et seulement si : M = M 0 ou M = S (M 0 ) où S est une transfor- mation simple du plan que l’on précisera.
III. Soit P le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(Pour les figures, on prendra
∥∥→− u
∥∥−→ u
∥∥ = 4 cm.)
1. Soit H l’ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient x^2 − y^2 + x + 1 = 0 et P l’ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient y^2 + x = 0. Donner la nature des coniques H et P et préciser leurs éléments de symétrie et les asymptotes éventuelles. Représenter ces coniques sur une même figure. (On admettra qu’elles sont tangentes aux points d’abscisse x = −1.) 2. Soit H 1 et P 1 les ensembles de points du plan dont les coordonnées x et y vérifient respectivement :
H 1
− 1 < x < 0 et x^2 − y^2 + x + 1 > 0
P 1
− 1 < x < 0 et y^2 + x < 0 a. Hachurer H 1 et P 1 sur la figure précédente. (On ne cherchera pas à le justifier par le calcul.) b. Démontrer que P 1 est inclus dans H 1 puis que P 1 est inclus dans D(K, 1) avec D(K, 1) ensemble des points M tels que ‖KM‖ < 1, K étant le point d’affixe −1. c. Démontrer que si M appartient à H 1 alors F (M) appartient à P 1.
3. Soit M 0 un point de H 1. On définit la suite de points ( Mn ) n ∈N par : pour tout n de N, M n + 1 = F (^) (M n ). En utilisant 2. b. et c., montrer que la suite (| zn |) n ∈N converge, zn étant l’affixe de M n et | zn | le module de zn.
Étranger 2 juin 1992
