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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Amérique du Nord
juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
(unité 3 cm).
1. Soit (H ) l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées ( x ; y ) véri- fient l’équation :
3 x 2 − y 2
Montrer que (H ) est une hyperbole dont on déterminera le centre, les som- mets et les asymptotes.
2. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe Z tels que les points A, M et M ′ d’affixes respectives 1, Z et Z 4 soient alignés. (On pourra poser Z = x + i y et exprimer le nombre complexe 1 + Z + Z 2 + Z 4 en fonction de x et y .)
Construire l’ensemble E.
EXERCICE 2 5 points
Soient A, B, C trois points du plan non alignés tels que le triangle ABC ne soit pas
équilatéral.
On désigne par A ′ , B ′ et C ′ les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].
On pose a = BC, b = CA et c = AB.
1. On considère le vecteur
u = a^2
BC 2 + b^2
CA 2 + c^2
AB 2.
Montrer que
u =
a^2 − b^2
AC 2 +
c^2 − a^2
AB 2.
En déduire que
u n’est pas le vecteur nul.
2. Pour tout point M du plan, on pose :
f ( M ) = a
BC ·
M A
′
CA ·
M B
′
AB ·
M C
′ .
a. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, calculer f (O).
b. Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
Montrer que
BC ·
GA
′
b 2 − c 2
En déduire la valeur de f (G).
c. Déterminer l’ensemble D des points M du plan tels que f ( M ) = 0.
PROBLÈME 11 points
A- Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; 1[ par :
f ( x ) =
ln
1 + x
1 − x
1. a. Étudier la parité de f et calculer ses limites aux bornes de l’ensemble de définition.
- Espagne
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
b. Étudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative
(C ) dans un repère orthonormal
O,
ı ,
(unité : 5 cm).
2. Calculer,en cm 2 , l’aire du domaine plan compris entre la courbe (C ) l’axe des
abscisses et la droite d’équation x =
On pourra faire une intégration par parties.
3. Pour tout réel x ∈
[
π 2
[
, on pose :
g ( x ) = f (sin x ).
Montrer que la fonction g est une primitive sur l’intervalle
[
π 2
[
de la fonc-
tion h telle que h ( x ) =
cos x
B- Dans la suite du problème, a désigne un nombre réel de l’intervalle
[
π 2
[
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose :
In ( a ) =
∫ a
0
sin 2 n t
cos t
d t.
1. Montrer que 0 6 In ( a ) 6 a
sin 2 n a
cos a
2. En déduire le limite de In ( a ) lorsque n tend vers +∞.
C- Pour tout entier n entier supérieur ou égal à 1, on définit sur [0 ; a ] la fonction Fn
par :
Fn ( t ) = sin t +
sin^3 t
3
sin^5 t
5
sin^2 n −^1 t
2 n − 1
1. Montrer que Fn est dérivable sur [0 ; a ] et que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; a ] :
F
′ n ( t^ )^ =^
1 − sin 2 n t
cos t
Calculer Fn (0).
2. En intégrant le relation précédente entre 0 et a , montrer que :
Fn ( a ) = g ( a ) − In ( a ).
En déduire la limite de Fn ( a ) quand n tend vers +∞.
3. On considère alors la suite u définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par
un =
3 × 23
5 × 25
(2 n − 1) × 22 n −^1
a. Montrer, en utilisant C b. et B 1., que pour tout entier n supérieur ou égal
à 1, un est une valeur approchée de ln
p 3 à
π
3
p 3
) n
près par défaut.
b. En déduire, sous forme de fraction irréductible, une valeur approchée de ln
p 3 à 10−^2 près par défaut.
Amérique du Nord 2 juin 1991
