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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Antilles–Guyane \
septembre 1991
EXERCICE 1 4 points
Soit un losange ABCD de centre O, et tel que OB = 2OA.
1. Montrer que le barycentre I des points B, C, et D affectés respectivement des coefficients 2, −1 et 1 est le milieu du segment [AB]. 2. Soit k un nombre réel. a. Déterminer et représenter l’ensemble E 1 des barycentres G des points A, B, C et D affectés respectivement des coefficients k , 2, k − 1 et 1 − 2 k. b. Préciser la valeur de k pour laquelle G est un point de la droite (AC). 3. Déterminer et représenter : a. l’ensemble E 2 des points M du plan tels que : (−−→ M A +
M C − 2
M D
M B −
M C +
M D
b. l’ensemble E 3 des points M du plan tels que :
M A^2 + M C^2 − 2 M D^2 = −6OA^2.
EXERCICE 2 4 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, on associe au point M d’affixe z , z 6 = −3i, le point M ′^ d’affixe z ′^ tel que :
z ′^ =
z − 1 + i 3 − i z
1. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que z ′^ soit un nombre réel. 2. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que
∣ z ′
PROBLÈME 12 points
Partie I
1. Soit la fonction numérique g définie pour tout nombre réel x par :
g ( x ) =
x^2 + 2 x + 1 x^2 + 1
a. Étudier les variations de g sur R. On ne demande pas de construire sa représentation graphique, b. Prouver que g ( x ) est bornée sur R+. c. Étudier la fonction g ′^ sur l’intervalle [1 ; +∞[. En déduire que, pour tout x appartenant à [1 ; +∞[, on a :
∣∣ g ′( x )
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
2. Soit la fonction numérique f définie pour tout x réel positif par :
f ( x ) = 1 + ln
[
x^2 + 2 x + 1 x^2 + 1
]
a. Étudier les variations de f. Tracer avec précision la représentation graphique de f dans un repère orthonormal
O,
ı ,
ayant pour unité graphique 5 cm. b. Prouver que, pour tout x réel positif, on a :
1 6 f ( x ) 6 1 + ln 2 < 2.
c. En utilisant le 1., prouver que pour tout x de l’intervalle [1 ; 2], on a :
∣ ∣ f ′( x )
d. Soit m un réel quelconque. Déterminer graphiquement, en discutant selon les valeurs de m , le nombre de solutions positives de l’équation f ( x ) = m. Pour m = 1,5, déterminer graphiquement les valeurs approchées des so- lutions à 10−^1 près.
Partie II On définit une suite ( Un ) n ∈N de la façon suivante :
U 0 =
et pour tout entier naturel n , Un + 1 = f ( Un )
où f est la fonction définie dans la partie I.
1. Placer U 0 sur l’axe des abscisses du repère
O,
ı ,
, puis par un procédé géométrique, représenter sur ce même axe U 1 , U 2 et U 3.
2. Prouver que, quel que soit l’entier naturel non nul n , on a :
1 < Un < 2.
3. Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle [1 ; 2] par :
h ( x ) = f ( x ) − x.
Montrer que h est une fonction décroissante. En déduire que l’équation f ( x ) = x a une seule solution λ comprise entre 1 et 2. Donner une valeur approchée de λ à 10−^2 près.
4. Prouver que pour tout entier n non nul, on a :
| Un + 1 − λ | 6
| Un − λ |
En déduire que | Un − λ | 6
) n − 1 et que la suite ( Un ) n ∈N converge vers λ.
Antilles–Guyane 2 septembre 1991
