Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Pondichéry avril 1988 \
EXER CIC E 1 5 points
1. Soit Ple polynôme de la variable complexe zdéfini par
P(z)=z3−(3+4i)z2−3(1 −4i)z+9.
a. Calculer P(3).
b. Montrer que P(z) peut se mettre sous la forme (z−3)Q(z) où Qest un
polynôme que l’on déterminera.
c. On pose z=Z+2i et Q(z)=Q1(Z).
Déterminer le polynôme Q1puis résoudre dans Cl’équation Q1(Z)=0.
d. En déduire les solutions dans Cde l’équation P(z)=0.
2. On note z1,z2,z3ces solutions de façon que :
Im(z1)<Im (z2)<Im(z3);
on désigne par B, C, D leurs images respectives dans le plan complexe. On
considère en outre le point A d’affixe z0=2−i.
a. Placer les points A, B, C et D sur une figure.
b. Soit Sla similitude directe plane qui transforme A en C et B en D. Donner,
sous forme complexe, l’expression de cette similitude. Préciser le centre
I, le rapport et l’angle de S.
c. Déterminer les images par Sdes points C et D.
3. Soit H=S◦S◦S◦Sla composée de quatre similitudes identiques à S.
Préciser la nature de Het ses éléments caractéristiques.
EXER CIC E 2 6 points
Soit (P) une parabole de foyer F et de directrice (D).
1. On choisit un repère orthonormé (Ox, Oy) tel que F ait pour coordonnées
(2 ; 0) et (D ) pour équation x= −2.
(Pour faire la figure on choisira une unité mesurant deux centimètres.)
Écrire une équation cartésienne de la parabole (P).
2. Soit mun réel donné et T le point de la parabole (P) d’ordonnée met d’abs-
cisse x.
a. Exprimer xen fonction de m.
b. Donner une équation de la tangente à (P) en T en fonction de m.
c. Montrer que, si T et T′sont des points distincts de (P) d’ordonnées res-
pectives met m′, les tangentes à (P) en T et T′sont sécantes ; soit I leur
point d’intersection ; déterminer les coordonnées de I en fonction de m
et m′.
3. mdécrivant R,
a. Quel est l’ensemble des points I tels que les tangentes à (P), (IT) et (IT′)
soient orthogonales ?
