Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Métropole groupe 3 1juin 1992 \
EXER CIC E 1 5 points
Dans le plan orienté, ABC désigne un triangle rectangle isocèle en A, avec
³−−→
AB , −−→
AC ´=π
2.
Le point I est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle ABC. On
désigne par : rAla rotation de centre A et d’angle π
2,
rCla rotation de centre C et d’angle π
4
1. a. Construire le point A′, image de A par rC.
b. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’application com-
posée rC◦rA(on pourra écrire chaque rotation comme composée de ré-
flexions convenablement choisies).
c. Montrer que IA′= IA et que les droites (IA′) et (AB) sont parallèles.
2. La droite (CI) coupe (AB) en E ; les droites (A′E) et (BI) se coupent en K.
On désigne par hCl’homothétie de centre C et de rapport 1
p2,
par hKl’homothétie de centre K et de rapport −p2.
a. Déterminer hC(B) et hC(E).
En déduire que −→
BE =−p2−→
IA′.
b. Quelle est l’image de B par hK◦hC?
c. Reconnaître l’application hK◦hCet en déduire que les points C et K sont
alignés avec le milieu M du segment [BE].
EXER CIC E 2 4 points
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct ³O, −→
u,−→
v´. L’unité graphique est
de 2 cm.
On considère la parabole (P) de foyer O et de directrice la droite (D) d’équation x=1.
1. Écrire une équation de (P) et dessiner (P).
2. Soit M un point de (P), H le projeté orthogonal de M sur (D), I le milieu du
segment [OH], A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 2.
Montrer que ³−−→
MI , −−→
MH ´=³−−→
HO , −−→
HA ´+kπ, avec k∈Z.
En déduire que ³−−→
MO , −−→
MH ´=³−−→
HO , −−→
HB ´+kπ, avec k∈Z.
3. On choisit θ∈[0 ; 2π[, tel que ³−−→
MO , −−→
MH ´=θ+2kπ, avec k∈Z.
On désigne par zet hles affixes respectives de M et H.
Montrer que z−h
z=h−2
h=eiθ, et que θest différent de zéro.
En déduire que z=2
¡1−eiθ¢2.
1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg
