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Insiemi - Geometria analitica

Lucidi 1

Luca Guerrini

Numeri naturali, interi, razionali ed irrazionali

Lo studio della matematica comincia con i numeri. I numeri base sono i numeri naturali (simbolo N) : 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; : : : detti anche interi positivi. 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; : : : sono i numeri pari; 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; : : : sono i numeri dispari. Gli interi positivi insieme allo 0 ed ai numeri 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; : : : (interi negativi) formano i numeri interi (simbolo Z) : 0;  1 ;  2 ;  3 ;  4 ;  5 : : : I numeri razionali (simbolo Q) sono i numeri che possono essere scritti nella forma a=b, dove a ed b sono entrambi interi e b 6 = 0, come per esempio il numero 2 = 3. Si osservi che un numero intero e anche un numero razionale (per esempio 3 = 3= 1 ; 4 = 8=2): E possibile dimostrare che^  p 2 ; la misura della diagonale di un quadrato di lato 1 ; non e un numero razionale in quanto non puo essere espresso per mezzo di una frazione di numeri interi. I numeri non esprimibili tramite il rapporto di due numeri interi si chia- mano numeri irrazionali.

Numeri complessi

Se applicate ai numeri reali, le quattro operazioni aritmetiche di base (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) danno sempre come risultato un numero reale. L'unica eccezione e data dalla impossibilita di dividere per 0 : a= 0 (impossibile) non e de nita per alcun numero reale a. In particolare, se a = 0, allora 0 = 0 (indeterminato) non e de nito come alcun numero reale.

Se pero vi chiedessero ad esempio di risolvere a^2 = 1 ; ossia trovare un numero reale a che moltiplicato per se stesso dia 1 ; ecco che nascereb- bero i primi problemi. Nell'insieme R la radice quadrata del numero 1 non esiste (le radici pari non sono de nite per numeri negativi).

Esistono quindi numeri che non sono reali. Da cui l'esigenza di esten- dere ulteriormente i numeri reali introducendo il valore i =

p 1 (unita immaginaria) ed avere i numeri complessi (simbolo C).

Identita di Eulero

La seguente uguaglianza (identita di Eulero)

ei^ + 1 = 0

e considerata tra le formule piu belle ed eleganti della matematica (alcuni la chiamano l'equazione di Dio), perche mette in relazione tutti i numeri piu importanti:

0 ed 1 le fondamenta dell'aritmetica

 il numero piu importante della geometria

e il numero chiave dell'analisi matematica

il numero immaginario i

Numeri primi

Un numero primo e un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per se stesso. La successione dei numeri primi comincia con 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; : : :

L'importanza dei numeri primi sta nella possibilita di costruire con es- si, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi (teorema fondamentale dell'aritmetica). Per esempio, 10 = 2  5 ; 12 = 2  2  3.

In diversi fenomeni la natura sembra scegliere i numeri primi. Per esem- pio, sezionando una banana, il frutto all'interno appare diviso in 3 parti, tagliando una mela a meta nel senso trasversale si possono osservare 5 logge contenenti i semi del frutto.

I numeri primi sono in niti. Non e tuttavia chiaro se i numeri primi sono distribuiti completamente a caso tra tutti gli altri o se, al contrario, la loro distribuzione segue qualche legge sconosciuta.

Funzione di Riemann e distribuzione dei numeri primi

Nel 1859 Bernhard Riemann mostro che esiste una relazione tra la dis- tribuzione dei numeri primi e la distribuzione degli zeri di una certa fun- zione (la funzione zeta). Alcune formule vennero scritte da Riemann senza dimostrazione.

L'ipotesi di Riemann e una congettura (a ermazione probabilmente vera anche se non dimostrata) matematica sulla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta (veri cata con i computer per un miliardo e mezzo di numeri primi), ed e considerata il problema aperto piu impor- tante della matematica. Rientra nei cosidetti sette problemi del millennio (uno di questi, \La congettura di Poincare" e stato risolto nel 2002):

Si tratta di una questione abbastanza importante dal punto di vista matematico, considerato che i numeri primi rivestono un ruolo fondamen- tale negli algoritmi di crittogra a informatica ed in quelli che generano sequenze di cifre casuali.

10100 = Google

I fondatori di Google, Larry Page e Sergey Brin, erano alla ricerca di un nome con cui si potesse rappresentare la capacita di organizzare l'immensa quantita di informazioni disponibili sul Web.

Sembro perfetto come metafora della vastita del web utilizzare un nome gia esistente: googol, termine coniato dal nipote di 9 anni del matematico statunitense Edward Kasner nel 1938 , per riferirsi al numero rappresentato da 1 seguito da 100 zeri, cioe pari a 10100 (Google quindi si ispira a un numero con \cento zeri").

Al momento della registrazione, non ricordandosi come si scrivesse esatta- mente la parola googol decisero per \Google". Una loro collega li avvert solo il giorno dopo dell'errore, ma il dominio era ormai registrato e lo lasciarono tale.

Proprieta delle potenze

Potenze con la stessa base (^1) am^
an^ = am+n^ Esempio: 23
24 = 23+4^ = 2^7

(^2) am^ : an^ = a

m an^ = amn^ Esempio:

= 2^7 ^4 = 2^3

(^3) (am)n^ = am
n^ Esempio:

= 2^3
^4 = 2^12

Potenze con lo stesso esponente

(^1) an^
bn^ = (a
b)n^ Esempio: 23
53 = (2
5)^3 = 10^3

2 a

n bn^

 (^) a b

n Esempio:

Queste regole possono essere estese ai casi in cui vi siano piu di due potenze.

Rappresentazione di un insieme per elencazione: Il metodo piu sem- plice per indicare un insieme e quello di elencare i suoi elementi sepa- rati da una virgola entro due parentesi gra e. Un esempio e l'insieme A = fgiallo,rosso,verdeg. In questa rappresentazione dell'insieme l'ordine con cui gli elementi sono elencati non ha importanza.

Rappresentazione di un insieme per caratteristica o proprieta: Non tutti gli insiemi possono pero essere indicati elencandone gli elementi. Un esempio e l'insieme dei numeri pari, i cui elementi sono in niti (non si possono elencare tutti, perche troppo numerosi). In questo caso l'in- sieme viene rappresentato enunciando una proprieta caratteristica dei suoi elementi: fx 2 Z : x e un numero parig:

Rappresentazione gra ca di un insieme: Quando si considerano le re- lazioni tra diversi insiemi risulta utile ricorrere ai diagrammi di Venn, nei quali ogni insieme tramite un cerchio od una curva chiusa, i cui elemen- ti sono rappresenati come punto del piano. Una tale rappresentazione gra ca ha l'unico scopo di fornire una conveniente visualizzazione delle nozioni in questione.

Esempio

La rappresentazione per elencazione dell'insieme A dei colori del semaforo e A = frosso,giallo,verdeg

La rappresentazione per caratteristica dell'insieme A dei colori del semaforo e A = fx : x e un colore del semaforog

La rappresentazione gra ca dell'insieme A dei colori del semaforo e

Esempi

Insieme unione

A = f 0 ; 1 ; 2 ; 4 g ; B = f 1 ; 4 ; 5 ; 7 g ) A [ B = f 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 g

Insieme Intersezione

A = f 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 g ; B = f 0 ; 1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9 g ) A \ B = f 0 ; 1 ; 2 g

Insieme di erenza

A = f 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 g ; B = f 0 ; 1 ; 3 ; 7 ; 8 ; 9 g ) A B = f 2 ; 4 ; 5 g

Insieme prodotto cartesiano

A = f 0 ; 1 g ; B = f 3 ; 4 g ) A  B = f(0; 3); (0; 4); (1; 3); (1; 4)g

Alcuni sottoinsiemi di R : gli intervalli

Siano a e b due numeri reali con a < b: Si chiama intervallo di estremi a e b l'insieme di tutti i numeri reali compresi tra il numero a ed il numero b: Un intervallo si dice

(^1) aperto (e limitato) se e del tipo (a; b); ossia gli estremi a e b non sono inclusi. Per esempio (1; 5): (^2) chiuso (e limitato) se e del tipo [a; b]; ossia gli estremi a e b sono inclusi. Per esempio [1; 5] (^3) chiuso a sinistra (e limitato) se e del tipo [a; b); chiuso a destra (e limitato) se e del tipo (a; b]: Per esempio [1; 5) ed (1; 5]: (^4) illimitato se almeno uno dei due estremi e il simbolo 1 o + 1. Per esempio (1; + 1 ); (1; 5); [1; + 1 ); (1; 5] e (1; + 1 ) = R:

Concetto di funzione

Si de nisce funzione da un insieme X in un insieme Y una regola (legge) f che ad ogni elemento x di X associa (al piu) uno ed un solo elemento di Y (ad un input x e associato un unico output y):

f : X! Y

y = f (x)

X

f ! Y

x 2 X! f (x) 2 Y

L'insieme di partenza X e chiamato dominio (o insieme di esistenza o insieme di de nizione) della funzione.

L'insieme di arrivo Y e chiamato codominio.

Il sottoinsieme f (X) di Y dei valori assunti dalla funzione e detto insieme delle immagini. Risulta f (X)  Y: