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SCHEDA RIASSUNTIVA 1: INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI
★ Un insieme E è limitato se esiste un numero k, non necessariamente appartenente ad E, che è maggiore di tutti gli elementi dell’insieme (in questo caso E è limitato superiormente) e se esiste un numero h, non necessariamente appartenente ad E, che è minore di tutti gli elementi dell’insieme (in questo caso E è limitato inferiormente). ★ L’ estremo inferiore di un insieme E è il più grande dei numeri h e, se appartiene all’insieme, è il minimo di E. L’ estremo superiore di un insieme E è il più piccolo dei numeri k e, se appartiene all’insieme, è il massimo di E. ★ L’insieme dei numeri reali compresi fra altri due numeri a e b si chiama intervallo e si denota con la scrittura: (^) ( a , b ) intervallo aperto, corrispondente all’insieme dei numeri reali x tali che a < x < b (^) [ a , b ] intervallo chiuso, corrispondente all’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b In pratica, la parentesi tonda indica che l’estremo dell’intervallo non appartiene all’insieme, la parentesi quadra indica che gli appartiene. ★ Un intorno di un punto x 0 è ogni intervallo aperto che contiene x 0 al suo interno; in particolare intorno di +∞ è un qualunque intervallo del tipo ( a ,+ ∞ ), intorno di –∞ è un qualunque intervallo del tipo (− ∞ , b ), intorno di infinito è l’unione di un intorno di –∞ con un intorno di +∞. ★ Un punto x 0 si dice di accumulazione per un insieme E se ogni intorno di x 0 contiene infiniti punti di E. ★ Una funzione è una corrispondenza univoca fra un insieme D di elementi x ed un insieme E di elementi y, cioè è una legge che ad ogni elemento di D associa uno e un solo elemento di E. Se D ed E sono insiemi numerici, la legge che lega y ad x si può esprimere mediante una relazione algebrica nella forma y = f ( x ). L’elemento y che corrisponde ad un particolare x si dice immagine di x; ogni elemento x che resta associato ad un elemento y si dice controimmagine. L’insieme D è quindi l’insieme delle controimmagini e costituisce il dominio della funzione, l’insieme delle immagini è il codominio. ★ Se una funzione f(x) è definita in un punto x 0 e si verifica che: f ( x 0 ≥ f ( x ) per ogni x del dominio, allora si dice che x 0 è un punto di massimo assoluto e che f(x 0 ) è il massimo assoluto della funzione f ( x 0 ≤ f ( x ) per ogni x del dominio, allora si dice che x 0 è un punto di minimo assoluto e che f(x 0 ) è il minimo assoluto della funzione.
★ Una funzione f(x) è: monotòna crescente in un intervallo I se ∀ x 1 , x 2 ∈ I con x 1 < x 2 si ha che f ( x 1 )< f ( x 2 ) Se in quest’ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioè se f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ), allora la funzione è monotòna non decrescente, cioè in pratica cresce o tutt’al più si mantiene costante, ma non decresce mai. monotòna decrescente in un intervallo I se^ ∀^ x^1 ,^ x^2 ∈^ I^ con^ x^1 <^ x^2 si ha che f ( x 1 )> f ( x 2 ) Se in quest’ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioè se f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ),, allora la funzione è monotòna non crescente, cioè in pratica decresce o tutt’al più si mantiene costante, ma non cresce mai. pari se f (− x )= f ( x ) ed allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’asse y. dispari se f (− x )=− f ( x ) ed allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’origine.
SCHEDA RIASSUNTIVA 2: IL CONCETTO DI LIMITE ED I LIMITI
DELLE FUNZIONI
★ Una funzione ha per limite un numero l finito per x → c (con c finito o infinito) se la disequazione (^) | f ( x )− l (^) |< ε è verificata in un intorno di c. Una funzione ha per limite ∞ per x → c (con c finito o infinito) se la disequazione |^ f^ (^ x^ )|>^ M^ è verificata in un intorno di c. ★ Una funzione f ( x ) possiede: asintoto orizzontale di equazione y = l se lim x → + ∞ f ( x )= l asintoto verticale di equazione x = c se lim x → c f ( x )= ∞ ★ Se lim x → c f ( x )= l (^) e lim x → c g ( x )= l ' (^) e l e l ' sono due valori finiti, allora: lim x → c [ f ( x ) ± g ( x )^ ]= l ± l ' lim x → c [ k ∙ f ( x ) ]= k l (^) con k ∈ R lim
x → c [
f ( x )
g ( x ) ]
= l l ' se l ' ≠ 0 lim x → c [ f ( x ) ∙ g ( x ) ]= l ∙ l '
f ( x ) è di ordine superiore a g ( x ) se lim x → c f ( x ) g ( x ) = 0 f ( x ) è dello stesso ordine di g ( x ) se lim x → c f ( x ) g ( x ) = l ≠ 0 f ( x ) è di ordine inferiore a g ( x ) se lim x → c f ( x ) g ( x )
★ Di due funzioni f ( x ) e g ( x ) entrambe infinite per x → c diciamo che: f ( x ) è di ordine superiore a g ( x ) se lim x → c f ( x ) g ( x )
f ( x ) è dello stesso ordine di g ( x ) se lim x → c f ( x ) g ( x ) = l ≠ 0 f ( x ) è di ordine inferiore a g ( x ) se lim x → c f ( x ) g ( x ) = 0
SCHEDA RIASSUNTIVA 3: LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI
★ Una funzione f ( x ) definita in un insieme D è continua in un punto x 0 di accumulazione per D se lim x → x (^0) f ( x )= f ( x 0 ). Quindi per vedere se una funzione è continua si deve: calcolare^ f^ (^ x^0 ) calcolare lim x → x (^0) f ( x ) verificare che i due valori coincidano ★ Se due funzioni f ( x ) e g ( x ) sono continue nel punto x 0 , allora sono continue in x 0 anche le funzioni: − f ( x ) e |f ( x )| f ( x ) ± g ( x ) f ( x ) ∙ g ( x ) e in particolare k f ( x ) e (^) [ f ( x ) ] n f ( x ) g ( x ) e in particolare 1 g ( x ) e g ( x 0 ) ≠ 0
In conseguenza di ciò sono continue nel loro insieme di definizione: le funzioni polinomiali le funzioni razionali fratte le funzioni logaritmiche ed esponenziali le funzioni goniometriche fondamentali le funzioni composte se sono continue tutte le funzioni componenti. ★ Se una funzione non è continua in un punto x 0 si diche che in x 0 è un punto di discontinuità o anche che è un punto singolare. I punti di discontinuità si possono classificare con il seguente criterio: discontinuità di prima specie se il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi: lim x → x 0 −¿ f ( x )= l 1 ∧ lim x → x (^0) +¿ f ( x )= l 2 ¿ ¿ ¿ ¿ con l 1 ≠ l (^2) discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti dalla sinistra o dalla destra è infinito o non esiste: lim x → x 0 −¿ f ( x )= ∞ ∨ lim x → x 0 +¿ f ( x )= ∞ ∨ ∄ (^) x lim→ x 0 ± f ( x ) ¿ ¿ ¿ ¿ discontinuità di terza specie o eliminabile se esiste finito il limite per x → x (^0) ma tale valore è diverso da quello assunto dalla funzione o se la funzione non esiste in x 0 : lim x → x (^0) f ( x ) ≠ f ( x 0 ) ★ Le proprietà delle funzioni continue sono elencate dai seguenti teoremi: permanenza del segno : se una funzione è continua in un punto x 0 e f (^) ( x (^0) ) ≠ 0 , esiste un intorno di tale punto in cui la funzione assume lo stesso segno di^ f^ (^ x^0 ) esistenza degli zeri : se una funzione f ( x ) è continua in un intervallo (^) [ a , b ] e se f ( a ) e f ( b ) hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto in cui la funzione si annulla di Weierstrass : se una funzione f ( x ) è continua in un intervallo [ a , b ], essa è limitata in tale intervallo ed esiste almeno un punto in cui assume il valore massimo ed almeno un punto in cui assume il valore minimo di Bolzano-Darboux : se una funzione f ( x ) è continua in un intervallo [ a , b ] e se x 1 e x 2 sono due punti di tale intervallo tali che^ f^ (^ x^1 )^ ≠^ f^ (^ x^2 ), allora la funzione assume almeno una volta tutti i valori compresi tra f ( x 1 ) e f ( x 2 ) al variare di x in (x 1 ,x 2 ). Dagli ultimi due teoremi si deduce poi che se f ( x ) è continua in [ a , b ], allora assume almeno una volta ciascun valore compreso tra il minimo e il massimo.
Per il calcolo del limite di una successione valgono teoremi analoghi a quelli studiati per i limiti delle funzioni di numeri reali. ★ Una progressione aritmetica è una successione di numeri reali per la quale la differenza fra un termine ed il suo precedente si mantiene costante ed è uguale ad un numero d che si chiama ragione della progressione. In particolare: il termine^ a^ n si calcola con la formula a (^) n = a 1 +( n − 1 ) ∙ d il termine a (^) s , noto il termine a (^) r , si calcola con la formula a (^) s = a (^) r +( s − r ) ∙ d la somma S (^) n dei primi n termini si calcola con la formula S (^) n = n ∙ ( a 1 + a (^) n ) 2 ★ Una progressione geometrica è una successione di numeri reali per la quale il rapporto fra un termine ed il suo precedente si mantiene costante ed è uguale ad un numero q che si chiama ragione della progressione. In particolare: il termine^ a^ n si calcola con la formula a (^) n = a 1 ∙ q n − 1 il termine a (^) s , noto il termine a (^) r , si calcola con la formula a (^) s = a (^) r ∙ q s − r la somma^ S^ n dei primi n termini si calcola con la formula S (^) n = a (^1) q n − 1 q − 1 il prodotto^ P^ n dei primi n termini si calcola con la formula P (^) n =√( a 1 ∙ a (^) n )^ n
SCHEDA RIASSUNTIVA 5: DERIVATA E DIFFERENZIALE DI UNA
FUNZIONE
★ Il rapporto incrementale della funzione f ( x ) relativo al punto^ x^0 e all’incremento h è dato dall’espressione: ∆ y ∆ x = f (^) ( x 0 + h (^) )− f ( x 0 ) h ★ Calcolando il limite per h → 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f ( x ) nel punto^ x^0 : f ' (^ x^0 )=lim h → 0 f (^) ( x 0 + h (^) )− f ( x 0 ) h
Se questo limite esiste finito, si dice che f ( x ) è derivabile in^ x^0 ; quando il limite non è finito oppure non esiste, si dice che f ( x ) non è derivabile in^ x^0. Una funzione non derivabile può però essere derivabile da sinistra o da destra a seconda che esista finito il limite per h → 0 −¿^ ¿^ oppure per h → 0 +¿^ ¿^ del rapporto incrementale. ★ Dal punto di vista geometrico f ' ( x ), cioè la derivata calcolata nel punto x 0 , rappresenta il coefficiente angolare della retta t tangente alla curva in quel punto. Se la funzione è derivabile, l’equazione della retta tangente in^ P^ (^ x^0 ,^ f^ (^ x^0 ) )^ è quindi: y − f (^) ( x (^0) )= f ' (^) ( x (^0) ) ∙ ( x − x 0 ) (^) con f ' (^) ( x (^0) )= m (^) , coefficiente angolare di t Quando la funzione non è derivabile, si possono presentare i seguenti casi particolari: f ' (^ x^0 )^ →^ ∞^ allora la retta tangente è parallela all'asse^ y La derivata sinistra e quella destra sono finite ma sono diverse, oppure una di esse è finita e l’altra infinita: allora si dirà che in P vi è una tangente a destra e un’altra a sinistra e si dice che P è un punto angoloso La derivata sinistra e quella destra sono infinite di segno opposto: allora la tangente in P è parallela all'asse y e si dice che P è una cuspide ★ Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari: D [ k ]= 0 D [ x α ]= α x α − 1
D [ sin x ]=cos x
D [ cos x ]=−sin x^ D^ [^ ln^ x^ ]=^
1 x D [ e x (^) ] = e x ed i seguenti teoremi: derivata della somma: D [ f ( x )+ g ( x )]= f ' ( x )+ g ' ( x ) derivata del prodotto: D [ f ( x ) ⋅ g ( x )]= f ' ( x ) ⋅ g ( x )+ f ( x ) ⋅ g ' ( x ) D [ f ( x ) ] in particolare D [ k ⋅ f ( x )]= k ⋅ f ' ( x ) con k ∈ R derivata del quoziente:^ D^ ( f ( x ) g ( x ) ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x )− f ( x ) ⋅ g ' ( x ) [ g ( x )] 2 in particolare^ D^ ( 1 g ( x ) ) = − g ' ( x ) [ g ( x )] 2 derivata della funzione composta: D [ g ( f ( x ))]= g ' ( f ( x )) ⋅ f ' ( x ) In particolare se y = f ( x )^ g^ (^ x^ )^ allora y ' = f ( x ) g ( x ) ⋅ [ ( g ' ( x ) ln f ( x )+ g ( x ) ⋅ f ' ( x ) f ( x ) ] Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:
★ I due teoremi di de L’Hôpital si utilizzano per calcolare i limiti che si possono ricondurre alle forme di indecisione 0 0 e
. Essi dicono che: se due funzioni f ( x ) e g ( x ), entrambe definite in un intorno I di un punto x 0 , soddisfano le seguenti ipotesi:
- si annullano entrambe in^ x^0 oppure i loro limiti per^ x^ →^ x^0 sono entrambi infiniti
- sono derivabili in I eccettuato al più^ x^0
- g ' ( x ) non si annulla mai in III eccettuato al più^ x^0
- esiste il limite per^ x^ →^ x^0 del rapporto delle due derivate allora il limite del rapporto delle due funzioni è uguale al limite del rapporto delle due derivate: lim x → x (^0) f ( x ) g ( x ) = lim x → x (^0) f ' ( x ) g ' ( x ) In pratica, tutte le volte che un limite si presenta nella forma 0 0 o
e le due funzioni al numeratore e al denominatore sono derivabili, si può calcolare il limite del rapporto fra le due derivate. ★ Una funzione f ( x ) può essere approssimata nell’intorno di un punto c mediante un polinomio di grado n che si ottiene con la formula di Taylor: P (^) n ( x )= f ( c )^ + f ' ( c ) 1! ( x − c ) (^) + f ' ' ( c ) 2! ( x − c ) 2
f ' ' ' ( c ) 3! ( x − c ) 3
- …+ f ( n ) ( c ) n! ( x − c ) n
SCHEDA RIASSUNTIVA 7: PUNTI ESTREMANTI E PUNTI DI
INFLESSIONE
★ Considerata una funzione f ( x ) definita in un intervallo [ a , b ]: Un punto^ x^0 ∈^ [^ a^ ,^ b^ ]^ è un punto di minimo relativo per f ( x ) se^ f^ (^ x^0 )^ è il valore più piccolo che la funzione assume in un intorno di tale punto, cioè se esiste un intorno di^ x^0 per tutti i punti x del quale^ f^ (^ x^ )^ ≥^ f^ (^ x^0 )^ in questo caso^ f^ (^ x^0 )^ è il minimo relativo della funzione. Un punto x 0 ∈ [ a , b ] è un punto di massimo relativo per f ( x ) se f ( x 0 ) è il valore più grande che la funzione assume in un intorno di tale punto, cioè se esiste un intorno di^ x^0 per tutti i punti x del quale^ f^ (^ x^ )^ ≤^ f^ (^ x^0 ); in questo caso f ( x 0 ) (^) è il massimo relativo della funzione.
★ La derivata prima di una funzione rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva; essa ci consente di conoscere quando una funzione è crescente (derivata positiva) e quando è decrescente (derivata negativa) ed inoltre è utile per calcolare i punti di massimo e di minimo relativi delle funzioni. In particolare, per individuare i punti estremanti si deve: trovare i punti che annullano la derivata prima o quelli in cui essa non esiste studiare il segno della derivata prima dedurre da esso quali punti sono di massimo o di minimo relativi. ★ I punti di massimo o di minimo assoluti di una funzione f ( x ) in un intervallo [ a , b ] sono i punti in cui la funzione assume il valore più grande o il valore più piccolo rispetto a tutti gli altri punti dell’intervallo; essi, se esistono, vanno ricercati tra i massimi o i minimi relativi, oppure fra i valori assunti dalla funzione negli estremi dell’intervallo considerato. ★ La derivata seconda di una funzione rappresenta la concavità della curva: se è negativa la concavità è rivolta verso il basso, se è positiva è rivolta verso l’alto. Essa ci consente poi di trovare i punti di flesso della funzione. In particolare, per individuarli si deve: trovare i punti che annullano la derivata seconda o quelli in cui essa non esiste studiare il segno della derivata seconda dedurre da esso quali punti rappresentano dei flessi. ★ Per trovare i punti di massimo e di minimo relativo ed i punti di flesso di una funzione f ( x ), in alternativa ai metodi precedenti e se esistono le derivate successive di f ( x ) fino a quella di ordine n , si può seguire questa procedura: Si cercano i punti x 0 che annullano la derivata prima e si calcolano le derivate successive in x 0 fino a che se ne trova una che è diversa da zero; se questa è di ordine n , allora:
- se n è pari e f ( n ) ( x 0 )> 0 →^ x^0 è un punto di minimo
- se n è pari e f (^ n^ )( x 0 )< 0 → x 0 è un punto di massimo
- se n è dispari → x 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale Si cercano i punti^ x^0 che annullano la derivata seconda e si calcolano le derivate successive in^ x^0 fino a che se ne trova una che è diversa da zero; se questa è di ordine n , allora:
- se n è dispari →^ x^0 è un punto di flesso
- se n è pari e f (^ n^ )( x 0 )> 0 → in x 0 la funzione è concava verso l’alto
SCHEDA RIASSUNTIVA 2.1: L’INTEGRALE INDEFINITO
★ La funzione F ( x ) è la primitiva di una funzione f ( x ) in un intervallo [ a , b ] se per tutti i punti di tale intervallo è F ' ( x )= f ( x ). Una funzione f ( x ) ha infinite primitive che sono però definite a meno di una costante additiva; l’insieme di tutte le primitive di f ( x ) è il suo integrale indefinito : ∫^ f^ (^ x^ )^ dx^ =^ F^ (^ x^ )+^ c ★ L’integrale indefinito gode di alcune proprietà: si può portare fuori dal simbolo di integrazione una costante moltiplicativa ∫^ k^ ∙^ f^ (^ x^ )^ dx^ =^ k^ ∫^ f^ (^ x^ )^ dx^ con^ k^ ∈^ R l’integrale della somma di due o più funzioni è la somma degli integrali ∫[^ f^1 (^ x^ )^ +^ f^2 (^ x^ )]^ dx^ =∫^ f^1 (^ x^ )^ dx^ +∫^ f^2 (^ x^ )^ dx ★ Per trovare l’integrale delle funzioni elementari basta leggere alla rovescia, con alcuni accorgimenti, la tabella delle derivate: (^) ∫ x k = 1 k + 1 x k + 1 e in particolare ∫ dx = x + c ∫ 1 x dx =ln ∣ x ∣ + c ∫ cos x dx =sin x + c ∫ sin x dx =−cos x + c ^ ∫^ 1 cos 2 x dx =tan x + c ^ ∫^ 1 sin 2 x dx =− cotan x + c ∫ a x dx = 1 ln a a x
- c e in particolare ∫ e x^ dx = e x^ + c ^ ∫^ 1 √^1 −^ x^ 2 dx^ =arcsin^ x^ +^ c ^ ∫^ 1 1 − x 2 dx^ =arctan^ x^ +^ c ★ Gli integrali indefiniti delle altre funzioni si calcolano applicando uno dei seguenti metodi:
di scomposizione : è in sostanza l'applicazione della seconda proprietà degli integrali e si applica quando la funzione f ( x ) è la somma di funzioni elementari di sostituzione : si usa quando, operando un cambio di variabile, si riesce ad ottenere un integrale immediato o facilmente calcolabile; posto x = g ( t ) si sfrutta l'uguaglianza ∫ f ( x ) dx = ∫ f (^) [ g ( t )] ⋅ g ' ( t ) dt per parti : si usa quando la funzione integranda può essere vista come il prodotto di due funzioni, una delle quali è la derivata di una funzione nota; se f ' ( x ) è la derivata della funzione nota e g ( x ) è l'altro fattore del prodotto, la formula di integrazione per parti è la seguente: ∫ f ' ( x ) ⋅ g ( x ) dx = f ( x ) ⋅ g ( x )− ∫ f ( x ) ⋅ g ' ( x ) dx ★ In particolare applicando uno dei metodi di integrazione si ricavano le seguenti formule: ^ ∫^ 1 x 2
- k 2 dx^ =^ 1 k arctan x k
- c (^) e^ ∫^ 1 [ f ( x )] 2
- k 2 dx = 1 k arctan f ( x ) k
- c ^ ∫^ 1 √^ k^ 2 − x 2 dx^ =arcsin x k
- c (^) e^ ∫^ 1 √^ k^ 2 −[ f ( x ) (^) ] 2 dx =arcsin f ( x ) k
- c ★ Per integrare una funzione razionale fratta che non rientri nelle precedenti forme, dopo avere eventualmente eseguito la divisione del numeratore per il denominatore in modo da ottenere una frazione propria, si segue una procedura particolare: si scompone il denominatore della frazione si scrive la funzione come somma di altre frazioni che hanno come denominatori i fattori della scomposizione si integra ciascuna frazione ottenuta.
