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LA PROGRAMMAZIONE LINEARE
È un ambito della ricerca operativa e si occupa di trovare procedimenti e algoritmi per risolvere problemi di
ottimizzazione. Teoria e metodi di calcolo utili per risolvere problemi di ottimo (massimo o minimo) quando la funzione
obiettivo è lineare e i vincoli (equazioni o disequazioni) sono lineari. Si tratta di prendere una decisione e di fare una
scelta in modo da minimizzare un costo, un tempo di lavorazione, spese di affitto, consumo di energia, ecc. oppure
massimizzare il guadagno, i risultati promozionali di una campagna pubblicitaria…
Es. aumentare o no scorte in magazzino? con che mezzi effettuare il trasporto? Come ripartire le diverse quantità nei vari magazzini?
Un problema di programmazione lineare consiste nel minimizzare o massimizzare una funzione obiettivo lineare con un
insieme di vincoli dati da equazioni o disequazioni lineari.
La pl trova applicazione in vari ambiti:
- Produzione industriale (max guadagno o minimo costo)
- Problemi di trasporto
- In generale problemi di massimizzazione di ricavo e vendita di alcune merci
Un problema di pl in 2 variabili si traduce in modello matematico:
§ Funzione obiettivo lineare: esprime costo da minimizzare o ricavo da massimizzare, tutte le variabili hanno
esponente 1.
§ Sistema di vincoli tecnici: equazioni o disequazioni lineari di primo grado
§ Vincoli di segno: le variabili non possono essere negative perché sono funzioni economiche
Si tratta di problemi di ricerca di massimo o minimo. Se le variabili d’azione (o di decisione) sono 2 (x e y, x1 e x2) si usa
il metodo grafico, dove nello spazio è un piano che passa per l’origine.
𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦
(
𝑣𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑖/𝑡𝑒𝑐𝑛𝑖𝑐𝑖
𝑣𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑖/𝑑𝑖/𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜/(𝑥 ≥0,𝑦≥0)
COME DETERMINARE LA SOLUZIONE CON IL METODO GRAFICO?
1- Costruire il modello matematico
2- Si rappresenta graficamente il sistema dei vincoli nel piano ottenendo la regione ammissibile (o il dominio dei
vincoli). Se l’insieme non è vuoto, l’area può essere:
o Un poligono (regione limitata)
o Una regione illimitata che ha per frontiera una spezzata aperta
Ogni coppia (x,y) appartenente al dominio dei vincoli si dice soluzione ammissibile di base.
3- Trovare le coordinate dei vertici della regione ammissibile
4- Dato che è una funzione in due variabili, si possono trovare i punti di max o min con le linee di livello che, in
questo caso, sono un fascio di rette parallele:
o Si rappresenta la linea di livello di
𝑧=0
(retta guida)
o Si trova il vettore H (segmento orientato) avente per origine O (0;0) e per estremo il punto H (a;b). il
vettore H è perpendicolare alla retta
𝑎𝑥+𝑏𝑦=0
e indica il verso (la direzione) in cui cresce la
funzione obiettivo
Dall’andamento delle ldl si deduce se la funzione ha un max o un min. la prima retta del fascio che interseca la regione
ammissibile determina il valore minimo; il valore massimo si trova in corrispondenza della retta che interseca (la regione
ammissibile).
Di conseguenza, se la regione ammissibile è chiusa e limitata ed è un poligono, la soluzione ottima si trova in uno dei
vertici del poligono (oppure in tutti i punti di un lato). Se la regione non è chiusa, potrebbe non esserci un punto di max
o min.
