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ARMADI
QUANTITA'
(numero)
COSTO
UNITARIO €
SUPERFICIE
UNITARIA
(m^2 )
VOLUME
UNITARIO
(m^3 ) tipo A (X) 8 € 45,00 6,00 30 tipo B (Y) 3 € 120,00 8,00 45
OBIETTIVO
Max volume 375
Risolvere tramite componente aggiuntivo di Excel: risolutore (solver) VINCOLI Superficie<= 72
Costo<=720 € 720,00 € 720, X>=0 8 0 Y>=0 3 0
PROBLEMA: In un ufficio si devono comprare nuovi armadi. La scelta è fra armadi di tipo A e armadi di tipo B. Gli armadi del tipo A costano 45€ ciascuno, occupano 6 m2 di pavimento e hanno un volume di 30 m3. Gli armadi del tipo B costano 120€ ciascuno, occupano 8 m2 di pavimento e hanno un volume di 45 m3. Per l'acquisto degli armadi si hanno a disposizione al massimo 720€; inoltre non si vogliono occupare più di 72 m2 di pavimento. Quanti armadi di ciascun tipo si devono comprare, per massimizzare il loro volume complessivo, rispettando i limiti di budget e di spazio imposti?
_Ricerca del max z (per la ricerca del min z si pone z=-z; min z=-max z)_**
Vincoli: n. 1 n. 2 n. 3 x>= n.4 y>=
x e y variabili d'azione, introduciamo le variabili di scarto t e v. In modo che il modello abbia solo equazioni:
Vincoli: n. 1 n. 2 n. 3 x>= n.4 y>= n.5 t>= n.6 v>=
Nelle equazioni dei vincoli i termini noti sono positivi (72, 720) e le variabili con coefficienti 1 (t, v) possono essere considerate le prime variabili di base
Consideriamo una prima coppia di soluzioni: t=72 e v=720 (variabili di base)
Coefficienti di z
Variabili di base x y t v Costanti dei vincoli
0 t 6 8 1 0 72 0 v 45 120 0 1 720 30 45 0 0 0 risultato iniziale: 30x(x=0)+45y(y=0)+0t(t=72)+0v(v=720) verifichiamo quale variabile tra x e y può entrare nelle variabili di base, attraverso la prova di ottimalità Δ Δx=30-(60+450)= 30 Δy=45-(80+1200)= 45 y variabile entrante perché fornisce il maggior contributo alla funzione obiettivo verifichiamo quale variabile tra t e v può uscire dalla variabile di base, attraverso i rapporti α: α(t)=72/8 9 α(v)=720/120 6 v variabile uscente perché meno "significativa" 120 valore pivot (perno). Si divide la riga del pivot per 120 in modo di rendere 1. Si sottrae la riga di t per la seconda riga in modo da ottenere 0 al posto di 8
Coefficienti di z
Funzione obiettivo: z=30x+45y max
6x+8y<= 45x+120y<=
Funzione obiettivo: z=30x+45y+0t+0v
6x+8y+t+0v= 45x+120y+0t+v=
Tabella 1 (iniziale):
METODO DEL SIMPLESSO
Ricerca del min z
Vincoli: n. 1 n. 2 n. 3 x>= n.4 y>=
A(15/8=1,875; 9/16=0,5625)
B(3; 0)
C(0; 9)
z(A)=39/16=2,4375 MINIMO z(B)= z(C)=
x e y variabili d'azione, introduciamo le variabili di scarto t e v (con segno negativo perché >=). In modo che il modello abbia solo equazioni:
Vincoli: n. 1 n. 2 n. 3 x>= n.4 y>= n.5 t>= n.6 v>=
Nelle equazioni dei vincoli i termini noti sono positivi (3, 18), ma non c'è una coppia di variabili per costituire le variabili di base iniziali Introduciamo due variabili artificiali (h e k) con costo M
Vincoli: n. 1 n. 2 n. 3 x>= n.4 y>= n.5 t>= n.6 v>= n.7 h>= n.6 k>=
9x+2y+0t-v=
Funzione obiettivo: z*=-x-y+0t+0v-Mh-Mk
x-2y-t+0v+h+0k= 9x+2y+0t-v+0h+k=
Funzione obiettivo: z=x+y min
x+2y>= 9x+2y>=
Funzione obiettivo: z*=-x-y+0t+0v
x-2y-t+0v=
Coefficienti di z
Variabili di base
x y t v h k Costanti dei vincoli
-M h 1 2 -1 0 1 0 3 -M k 9 2 0 -1 0 1 18 -1 -1 0 0 -M -M -21M risultato iniziale verifichiamo quale variabile può entrare nelle variabili di base, attraverso la prova di ottimalità Δ Δx=-1+M+9M=10M-1 risultato maggiore, quindi x variabile entrante Δy=-1+2M+2M=4M- Δt=0-M+0=-M Δv=0-M+0=-M Δh=-M-1(-M)+0= Δk=-M+0-1(-M)= verifichiamo quale variabile tra h e k può uscire dalla variabile di base, attraverso i rapporti α: α(h)=3/1 3 α(k)=18/9 2 k variabile uscente perché meno "significativa" 9 valore pivot (perno). Si divide la riga del pivot per 9 in modo di rendere 1. Si sottrae la riga di h per la seconda riga in modo da ottenere 0 al posto di 1
Coefficienti di z
Variabili di base x y t v h k
Costanti dei vincoli
-M h 0 16/9 -1 1/9 1 - 1/9 1 -1 x 1 2/9 0 - 1/9 0 1/9 2 -1 -1 0 0 -M -M -2-M risultato iniziale verifichiamo quale variabile può entrare nelle variabili di base, attraverso la prova di ottimalità Δ Δx=-1-0(-M)-(+1)(-1)= Δy=-1-(16/9)(-M)-(2/9)(-1)=(16/9)M-7/9 risultato maggiore, quindi y variabile entrante Δt=0-M+0=-M Δv=0-(1/9)(-M)-(-1/9)(-1)=M/9-1/ Δh=-M-1(-M)+0= Δk=-M-(-1/9)(-M)-(1/9)(-1)=-(10/9)M+1/
Coefficienti di z
Tabella 2:
Coefficienti di z
Tabella 1 (iniziale):
NOTE: Teorema di Rouche-Capelli
Dato un sistema di m equazioni con n incognite: a 11 x 1 +………………………….a1nxn=b 1
a 21 x 2 +………………………….a2nxn=b 2
……………………………………… …………………………………….. am1x 1 +………………………….amnxn=bm
consideriamo la matrice A dei coefficienti aij Matrice incompleta (mxn)
e la matrice A|b dei coefficienti aij|bi Matrice completa [mx(n+1)]
- Se r(A)<r(A|b) (rango di A minore rango di A|b), il sistema è impossibile, non ha soluzioni
- Se r(A)=r(A|b)=n (rango di A = rango di A|b =n), il sistema ha una n-upla di soluzioni
- Se r(A)=r(A|b)<n (rango di A = rango di A|b <n), il sistema ha infinite soluzioni che dipendono da n-r(A) parametri
Esempi:
x+y=3 r(A)=r(A|b)=2 1 coppia di soluzioni 2x+y=4 x=1; y=
x+y=3 r(A)=r(A|b)=1 infinite coppie di soluzioni 2x+2y=
x+y=3 r(A)=1< r(A|b)=2 nessuna soluzione 2x+2y=
