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Prova Scritta di Matematica Generale Modulo A - 10 febbraio 2023
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Esercizi del primo gruppo
10 punti
1. (2 punti) Sia f la funzione reale così definita:
f ( x ) = 8 − √^46 · 8 x^ − 5_._ Detto D il suo dominio si ha che: (a) D è limitato superiormente. (b) D è illimitato inferiormente. ( c ) nessuna delle altre risposte è corretta (d) D è limitato.
2. (1 punto) Siano A e B due matrici quadrate di ordine 3 , e sia A non singolare. Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera? (a) ( AB ) T^ = AT^ BT (b) det ( AB )^2 = (det A )^2 (det B )^2 ( c ) det(2 A ) = 2 det A (d) nessuna delle altre risposte é corretta ( e ) det A −^1 = − det A 3. (1 punto) Il sistema lineare A x = 0 con A ( m,n ): (a) è indeterminato se m < n (b) è impossibile ( c ) nessuna delle altre risposte è corretta (d) è sempre determinato se m = n ( e ) non si può dire nulla circa la soluzione se non si conosce l’ordine della matrice A 4. (1 punto) L’elemento c 2 , 2 della matrice C = BA − AB dove A =
[ 4 6
]
e B =
[− 2 − 5
]
vale (a) nessuna delle altre risposte è corretta (b) 34 ( c ) 0 (d) 12 ( e ) − 34 ( f ) − 53
5. (2 punti) L’insieme di definizione della funzione:
f ( x ) =
√ (^3) x − 4 + 3 ln(4 − x^2 ) è: (a) [− 2 , 2] (b) (2 , 4) ( c ) (2 , 4] (d) (− 2 , 2) ( e ) [2 , 4) ( f ) nessuna delle altre risposte è corretta
6. (1 punto) Per quali valori del parametro reale k il sistema lineare seguente risulta impossibile?
5 x + 4 y = 1 6 x + y = k − 4 x + 6 y = 0
(a) k = (^2023) (b) per nessun valore di k ( c ) per ogni valore di k. (d) k ̸= (^2023)
7. (1 punto) Sia A una matrice con 6 righe e 8 colonne. Se rango( A ) = 1, allora: (a) esistono 5 colonne di A linearmente indipendenti (b) le prime 5 colonne di A sono linearmente indipendenti ( c ) una delle colonne di A è il vettore nullo (d) nessuna delle altre risposte è corretta ( e ) ogni colonna di A è multipla di ogni altra colonna di A 8. (1 punto) La rappresentazione analitica dell’insieme di definizione della funzione:
f ( x,y ) = e
( x −4) (^) ln ( y + 3 x ) √ −4 + x^2 + y^2 è: (a)
{−4 + x (^2) + y (^2) ≥ 0 y + 3 x > 0 (b)
{−4 + x (^2) + y (^2) > 0 y + 3 x > 0 ( c ) nessuna delle altre risposte è corretta
(d)
−4 + x^2 + y^2 > 0 y + 3 x > 0 x ≥ 4
( e )
−4 + x^2 + y^2 > 0 y + 3 x > 0 x ̸= 4
3 punti
Esercizio 2. Si considerino i vettori
u =
2 k − 2 2 k − 2 0
(^) , v =
2 k
(^) , w =
2 k 2
(a) (1 punto) Determinare per quali valori di k i vettori u , v e w sono linearmente dipendenti. (b) (2 punti) Per i valori di k trovati, calcolare il rango della matrice ottenuta accostando i tre vettori.
