Durante la prova scritta, della durata di 60 minuti , non sono ammessi appunti, eserciziari, libri o testi di alcun tipo, né l’uso della calcolatrice e di qualsiasi correttore. Il compito deve essere scritto a penna.
Il punteggio è indicato accanto ad ogni domanda. La risposta errata vale 0 punti.
Le soluzioni degli esercizi devono essere scritte esclusivamente su questo foglio negli spazi indicati. Negli esercizi del Secondo Gruppo riportare i passaggi necessari alla comprensione della soluzione. Non verranno accettati fogli di protocollo aggiuntivi.
Per superare la prova è necessario ottenere almeno 4 punti negli esercizi del Primo Gruppo.

Esercizi del primo gruppo

10 punti

1. (1 punto) Il sistema lineare  



3 x − y + 2 z = 6 4 x + y − z = 8 2 x + y = 4

(a) è determinato

(b) è impossibile

( c ) ammette ∞^1 soluzioni

(d) nessuna delle altre risposte è corretta

( e ) ammette esattamente 2 soluzioni

2. (1 punto) Sia A una matrice con 5 righe e 6 colonne. Se rango( A ) = 1, allora: (a) esistono 4 colonne di A linearmente indipen- denti

(b) le prime 4 colonne di A sono linearmente indipendenti

( c ) ogni colonna di A è multipla di ogni altra colonna di A

(d) una delle colonne di A è il vettore nullo

( e ) nessuna delle altre risposte è corretta

3. (1 punto) Si consideri la funzione

f ( x,y ) = ln

1 − x^2 − y^2

Se si indica con Lf ( α ) la curva di livello α della funzione f , allora: (a) Lf (0) ̸= ∅

(b) non esiste α ∈ R tale che Lf ( α ) = ∅

( c ) nessuna delle altre risposte è corretta

(d) Lf ( α ) = ∅ per ogni α ∈ R

( e ) Lf ( α ) = ∅ se e solo se α > − 2

4. (1 punto) Siano f ( x ) pari e g ( x ) dispari, non identicamente nulle. Allora la funzione

h ( x ) = kf ( x ) + 28 g ( x )

(a) nessuna delle altre risposte è corretta

(b) è pari per k = − 29

( c ) è dispari se k = 0

(d) è dispari per ogni valore di k

( e ) non si può rispondere se non si conosce l’espressione di f ( x ) e di g ( x )

5. (1 punto) Si considerino i vettori:

x = [0 , 1 , 1] T^ e y = [1 , 1 , 0] T

Per quale valore del parametro reale k il vettore z = [ k, − 1 , − 3] T^ è combinazione lineare di x e y? (a) nessuna delle altre risposte è corretta

(b) k = − 4

( c ) per nessun valore di k

(d) ∀ k ∈ R

( e ) k = 2

6. (1 punto) Sia A ⊂ R e sia a ∈ A. Allora

(a) a è punto interno di A

(b) se a è punto di frontiera, allora a è di accumulazione per A

( c ) nessuna delle altre risposte è corretta

(d) se a è punto di accumulazione per A , allora a è di frontiera per A

7. (2 punti) Siano

A =

k − 5 0 0 0 5 k 0 0 0 k − 7

B =

7 − k 0 0 0 7 k 0 k − 5 0 5

Per quali valori di k ∈ R, la matrice

C = BAAT^ BT

è invertibile? (a) nessuna delle altre risposte è corretta

(b) per nessun valore di k

( c ) k ̸= 5, k ̸= 7

(d) k ̸= 5, k ̸= 7, k ̸= 0

( e ) per ogni valore di k

8. (2 punti) Sia Df il dominio della funzione

f ( x ) = ln

3 x + 1 4 − 5 x

Quale delle seguenti risposte è corretta? (a) inf Df = 0

(b) max Df = (^45)

( c ) sup Df = (^45)

(d) nessuna delle altre risposte è corretta

( e ) min Df = −

3 punti

Esercizio 2. Si consideri la funzione

f ( x,y ) =

ln(7 − x^2 − y^2 ) + 4 x

xy − (^75) e^4 x −^3 y

(a) (1 punto) Determinare analiticamente il dominio di f ( x,y ).

(b) (2 punti) Rappresentare graficamente il dominio di f ( x,y ).