03. Astronomia - CURSO DE ASTRONOMIA GERAL, Notas de estudo de Física

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IOTA

CURSO DE ASTRONOMIA GERAL

MECÂNICA

CCD

OBA

Sumário

• I Revolução Copernicana
• 1 Ptolomeu
  • 1.1 Mercúrio e Vênus
• 2 Copérnico
• 3 Pós-Copérnico I: Cosmologia
• 4 Pós-Copérnico II: Observadores
  • 4.1 A Elipse
  • 4.2 De volta ao assunto
  • 4.3 Titius e Böde
• 5 Pós-Copérnico III: Físicos
  • 5.1 Descartes
• 6 Newton e o fim da curva
• II Mecânica Clássica
• 7 Mecânica de Newton
  • 7.1 Inércia
  • 7.2 Leis
• 8 Algumas Forças
  • 8.1 Forças Elásticas
  • 8.2 Força Gravitacional
  • 8.3 Forças de Atrito
    • 8.3.1 Arrasto de Forma
    • 8.3.2 Arrasto Viscoso
  • 8.4 Força de Sustentação
    • 8.4.1 Efeito Magnus
• 9 Referenciais Inerciais
  • 9.1 Força de Coriolis
• 10 A Interpretação da Energia
  • 10.1 Máquinas de Carnot
  • 10.2 Conservação de Energia
  • 10.3 Trabalho
• 11 Centro de Massa Curso de Astronomia Geral - CCD/OBA \o/ Volume 3 - Mecânica
• 12 Física de Rotações
• III Mecânica Celeste
• 13 Gravitostática
  • 13.1 Gravidade Subterrânea
  • 13.2 Velocidades Cósmicas
    • 13.2.1 Primeira
    • 13.2.2 Segunda
• 14 Elipse
  • 14.1 Definições
  • 14.2 Propriedades
  • 14.3 Órbitas Elípticas
• 15 Leis de Kepler
  • 15.1 Lei II
  • 15.2 Lei I
  • 15.3 Lei III
• 16 Movimentos Orbitais
  • 16.1 Mudanças de órbita, vários ângulos
  • 16.2 Mudança de planos
  • 16.3 Transferência de Hohmann
  • 16.4 Achatamento e Atmosfera
  • 16.5 Classes de Satélites
  • 16.6 Exercícios
• 17 Órbitas Abertas
  • 17.1 Parábola
  • 17.2 Hipérbole
  • 17.3 Transições Orbitais
• 18 Marés
  • 18.1 Lua e as marés
  • 18.2 Sol e as marés
  • 18.3 Física das Marés
    • 18.3.1 Limite de Roche
• IV Apêndices
• A Funções
  • A.1 Classificação das funções
  • A.2 Funções entre conjuntos numéricos
    • A.2.1 Funções Polinomiais
    • A.2.2 Função Exponencial e Função Logarítmica
    • A.2.3 Funções Trigonométricas
  • A.3 Limite
  • A.4 Derivada
  • A.5 Integral Volume 3 - Mecânica SUMÁRIO
• B Trigonometria
  • B.1 Teorema de Pitágoras
    • B.1.1 Demonstração de Euclides
    • B.1.2 Outra demonstração
  • B.2 Seno, Cosseno, Tangente e Co-Tangente
  • B.3 Círculo Trigonométrico e a extensão das funções trigonométricas
  • B.4 Lei dos Cossenos
    • B.4.1 Demonstração
  • B.5 Radianos
• C Vetores
  • C.1 Operações com vetores
  • C.2 Decomposição de Vetores
  • C.3 Operações com Vetores Decompostos
    • C.3.1 Módulo de vetores decompostos
  • C.4 Produto Escalar
  • C.5 Produto Vetorial

Prefácio

Quanto a mim, estou persuadido de que, se me tivessem ensinado, desde a minha mocidade, todas as verdades cujas demonstrações procurei mais tarde, e se eu não tivesse encontrado nenhuma dificuldade em aprendê-las, talvez nunca chegasse a conhecer outras ou, pelo menos, nunca adquirisse o hábito e a felicidade que penso ter para encontrar sempre novas, à medida em que me aplico a procurá-las.

René Descartes, Discurso do Método

Estas são as apostilas do Curso de Astronomia Geral do CCD-OBA, versão ι. Nosso obje- tivo principal, com o curso, é enriquecer a formação dos seus participantes. Por “formação”, referimo-nos a um processo que é, em sua essência, individual e único, composto amplamente pelo conjunto de experiências vividas por alguém. Citando Hans-Georg Gadamer, “Não é casual que a palavra formação se pareça, neste aspecto, ao grego physis. Como a natureza, a formação não conhece objetivos que lhe sejam exteriores.” Isso quer dizer que a postura que procuraremos desenvolver se fundamenta na autonomia intelectual: cada indivíduo é senhor sobre a formação de seu próprio conhecimento. Tudo o que podemos fazer, enquanto organizadores do curso, é dar incentivo, buscando fornecer uma visão mais ampla a partir de nossas próprias experiências. Convidamos para este curso pessoas que têm grande vontade de saber, esperamos fornecer conhecimento até elas saciarem essa vontade e, então, perceberem que ter aprendido aquilo tudo não faz sentido se, de alguma forma, não for passado adiante. Com isso o processo se retroali- menta, individual e coletivamente. Individual porque sempre aprendemos muito quando alguém nos ensina, mas aprendemos ainda mais quando nós ensinamos alguém, quando fazemos o es- forço de pôr nosso conhecimento em frases organizadas e compreensíveis. Coletivamente porque os que aprenderem conosco agora estarão ensinando depois, como nós. Essa é precisamente a origem da CCD: ex-alunos da olimpíada que aprenderam muito, sozinhos e com a ajuda de livros, professores e astrônomos, e acabaram decidindo que precisavam escrever e organizar cur- sos com tudo o que sabiam. Dentre os autores desta versão ι do Curso, há nomes de pessoas que, um ano atrás, eram alunos felizes e curiosos pelo que viria a seguir.

Nesse contexto, a Astronomia, por mais encantadora e atraente que seja para a maioria de nós, não é pensada como um fim em si próprio, mas como um lugar de articulação de saberes. Mostramos, ao longo das apostilas, o quanto a astronomia tem a ver com o desenvolvimento da física, da química e da matemática; mas, mais do que isso, quais são suas relações com a histó- ria, a filosofia, as religiões, as diferentes expressões artísticas e, enfim, com as diferentes visões de mundo que surgiram aqui e ali ao longo das histórias humanas. Em suma, não queremos Astronomia pela Astronomia, mas Astronomia por Tudo! Assim, pretendemos desenvolver uma visão melhor e mais completa do mundo natural e, através disso, do mundo humano também. Fazemos isso, em particular, buscando desenvolver as seguintes habilidades/características individuais:

Curso de Astronomia Geral - CCD/OBA \o/ Volume 3 - Mecânica

e os interesses necessários. Nossos objetivos, contudo, já ultrapassaram em muito os objetivos da seleção. É o que esperamos que fique claro ao longo das páginas que se seguem.

Sobre este Volume

Enquanto o Volume 1 foi eminentemente observacional e o Volume 2 é de análise de dados, o Volume 3, Mecânica, é tipicamente teórico. Ele trata de física e faz uma abordagem algébrica etc. A Unidade 1, Revolução Copernicana, tem uma abordagem muito mais histórica e literária do que matemática. Entretanto, alguns dos conceitos discutidos nessa unidade são fundamentais para a compreensão dos aspectos matemáticos discutidos depois. Há também uma discussão geométrica importante (sobre conjunções e oposições, e período sinódico), importante para visão espacial. A Unidade 2 nada mais é que uma revisão e tudo o que se vê de mecânica nas aulas de física do ensino médio: Leis de Newton, Força, Trabalho e Energia. Inicialmente ela tinha sido pensada para aqueles que ainda não tinham visto todo o conteúdo no colégio, mas sua leitura por quem já viu pode ser proveitosa, pois desenvolvemos algumas intuições que normalmente não são desenvolvidas nas aulas regulares. Mas para quem preferir, a unidade pode ser pulada - com exceção de seus dois últimos capítulos, Centro de Massa e Física de Rotações, que não fazem parte da grade curricular do ensino médio. A Unidade 3, enfim, tem a Mecânica Celeste. Ela é razoavelmente pesada do ponto de vista matemático, o que pode ser desestimulante para alguns. Mas não desista!, a recompensa do outro lado vale a pena. O capítulo de Leis de Kepler, em especial, é cheio de demonstrações matemáticas; se não entender as demonstrações, siga a leitura somente pelos seus resultados. O capítulo de Astronáutica é o mais importante para desenvolver intuição sobre órbitas e sobre mecanica celeste, e exige relativamente pouca matemática; mesmo se voce tiver entendido pouco das demonstrações dos outros capítulos, leia este. Os apêndices buscam suprir toda a base matemática necessária para os cinco volumes. Os apêndices A e B, em particular, tratam sobre funções de um modo bastante amplo, começando de definições elementares mas terminando nos conceitos de limite, derivada e integral (que são importantes para a formação matemática geral de um estudante), passando por tópicos interes- santes como a demonstração da fórmula de baskhara. O apêndice de trigonometria vale pelas suas demonstrações, raras em aulas de ensino médio. O apêndice de vetores, por outro lado, não destoa muito do que se vê na escola.

A natureza é composta por quatro elementos: a terra, fria e seca; a água, fria e úmida; o fogo, quente e seco; o ar, quente e úmido. Cada elemento tende a se agrupar com seus semelhantes, tomando a forma esférica, que é a forma mais simétrica e perfeita. E isto ocorre segundo o peso de cada um, ou seja, a tendência que cada corpo tem de se aproximar do centro do universo; e que é maior ou menor em cada corpo, segundo a substância que o compõe. Assim, o elemento mais pesado é a terra, que sempre se move para baixo. Ele é seguido pela água. Já o ar é ainda mais leve, formando uma camada acima da água, e o fogo, o mais leve de todos, sempre se move para cima. Em volta dela, cobrindo-a, a Esfera da Água^1 Eles ficam em contato direto com a esfera seguinte: a Esfera do Ar. Cobrindo esta vem, por último, a Esfera do Fogo, cujos vestígios podemos ver em algumas ocasiões, como quando aparecem rastros de fogo no céu [meteoros e cometas]. Essa é a constituição geral das Esferas do Mundo Material.

Acima das Esferas Materiais, encontram-se as Esferas Celestiais. São oito ao todo. A mais externa, o limite do universo, é a Esfera das Estrelas Fixas, limite fundamental e definidor da perfeita esfericidade do Universo. Abaixo dela, outras sete esferas cristalinas; cada uma carrega um dos astros luminosos errantes, os planetas. Os planetas são astros que se movem em relação às estrelas fixas, num movimento oblíquo, inclinado em aproximadamente 23 graus em relação ao movimento da Esfera Primeira. Dos sete, dois são corpos extensos: o Sol e a Lua. Os outros cinco, pontuais como as estrelas e batizados com os nomes de antigos deuses, são: Mercúrio, o mais rápido no céu, representando o mensageiro dos deuses; Vênus, o mais brilhante com uma luz branca, bonita, associada à deusa das artes, a mais bela do Olimpo; Marte, o planeta vermelho, associado ao deus das guerras; Júpiter, também muito brilhante, o Deus Supremo, que rege o Universo; e Saturno, com uma cor sólida, de movimento muito lento (completa uma volta em 30 anos), associado ao deus do tempo, pai de Júpiter^2. Eles são ordenados no céu segundo sua velocidade: os mais próximos das Estrelas Fixas têm velocidades menores, afastando-se menos do movimento desta; os mais inferiores desviam-se mais rápido do ciclo das 24 horas. Do mais interno para o mais externo, são: Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno. Os objetos e as esferas celestes não podem ser feitos das mesmas substâncias que o mundo material; enquanto este contém movimento, mudança e degradação, o céu é local da perfeição, da imutabilidade, de tudo o que é sempre igual a si mesmo. E qual outra forma geométrica que a esfera, cujas partes são todas iguais entre si, e cujo movimento de rotação não é um movimento, pois move-se mas nunca muda seu aspecto? As Esferas Celestes, então, são compostas de uma substância perfeita, translúcida e cristalina: o éter. Sua propensão natural é o movimento circular em torno do Centro (não a queda em direção a ele). Assim, este esquema perfeito do universo celestial se mantém pela eternidade, enquanto que o nosso mundo, abaixo da Esfera Lunar, permanece sujeito ao caos e à impermanência.

(^1) Uma questão importante debatida na física medieval foi: se a esfera de Terra é cercada pela de Água, então como vemos amplos espaços de Terr em contato direto com a camada de ar, a atmosfera? Em outras palavras: como pode existir lugares secos? Uma explicação possível é que o centro das esferas de água e de terra não sejam coincidentes; assim, poderia haver uma calota de Terra em uma parte do globo. Outra explicação é a água ser escassa. Assim, considerando as pequenas irregularidades na superfície da Terra, é possível que toda a Água se acumule nas partes mais baixas, deixando ainda espaços de terra seca. (^2) Esses são os nomes latinos dos deuses gregos, herdados da cultura romana. Os nomes gregos são: Mercúrio = Hermes, Vênus = Afrodite; Marte = Ares; Júpiter = Zeus; Saturno = Cronos.

Curso de Astronomia Geral - CCD/OBA \o/ Volume 3 - Mecânica

Introdução Vês aqui a grande máquina do Mundo^3 , Etérea e elemental, que fabricada Assim foi do Saber, alto e profundo, Que é sem princípio e meta limitada. Quem cerca em derredor este rotundo Globo e sua superfície tão limada, É Deus; mas o que é Deus, ninguém o entende, Que a tanto o engenho humano não se estende.

Céu Empíreo, Este orbe que, primeiro, vai cercando onde habitam Os outros mais pequenos que em si tem, as puras almas Que está com luz tão clara radiando, Que a vista cega e a mente vil também, Empíreo se nomeia, onde logrando Puras almas estão daquele Bem Tamanho, que Ele só se entende e alcança, De quem não há no mundo semelhança.

(...)

O Mobile Primeiro Enfim que o sumo Deus, que por segundas (tão leve e tão ligeiro) Causas obra no Mundo, tudo manda. que gira em 24 h E, tornando a contar-te das profundas Obras da Mão Divina veneranda: Debaixo deste círculo, onde as mundas Almas divinas gozam, que não anda, Outro corre, tão leve e tão ligeiro, Que não se enxerga: é o Mobile primeiro.

M. P. arrasta as outras esferas, Com este rapto e grande movimento Vão todos os que dentro tem no seio; causando o dia e a noite. Por obra deste, o Sol, andando a tento, O dia e noite faz, com curso alheio. Nona Esfera, da precessão Debaixo deste leve, anda outro lento, Tão lento e subjugado a duro freio, Que, enquanto Febo^4 , de luz nunca escasso. Duzentos cursos faz, dá ele um passo.

Esfera das Estrelas Fixas Olha estoutro debaixo, que esmaltado De corpos lisos anda e radiantes, Que também nele tem curso ordenado E nos seus axes correm cintilantes. Bem vês como se veste e faz ornado e o zodíaco, Co largo Cinto de ouro, que estelantes seu cinturão. Animais doze traz afigurados, Aposentos de Febo limitados.

Algumas constelações Olha, por outras partes, a pintura (figuras que fazem as estrelas) Que as estrelas fulgentes vão fazendo:

(^3) As marcações à esquerda do poema são nossas. (^4) Febo é outro nome para Apolo, divindade da luz. Aqui, ele provavelmente representa a luz das estrelas.

Volume 3 - Mecânica

Olha a Carreta, atenta a Cinosura^5 , Andrômeda e seu pai, e o Drago horrendo. Vê de Cassiopeia a fermosura E do Orionte^6 o gesto turbulento; Olha o Cisne morrendo que suspira, A Lebre e os Cães, a Nau e a doce Lira.

Enfim, as esferas dos planetas Debaixo deste grande Firmamento, Vês o céu de Saturno, Deus antigo; Júpiter logo faz o movimento, E Marte abaixo, bélico inimigo; O claro Olho do céu, no quarto assento, E Vênus, que os amores traz consigo, Mercúrio, de eloqüência soberana; Com três rostos, debaixo vai Diana^7.

Fechamento Em todos estes orbes, diferente Curso verás, nuns grave e noutros leve; Ora fogem do Centro longamente, Ora da Terra estão caminho breve, Bem como quis o Padre onipotente, Esferas do fogo e do ar Que o fogo fez e o ar, o vento e neve, (mais adentro que as celestes) Os quais verás que jazem mais a dentro Esferas da terra e da água E tem co Mar a Terra por seu centro.

Luís de Camões

Esta imagem do universo tem muito a seu favor. Primeiro, porque suas explicações resumem e formalizam, de forma simples, tudo o que efetivamente vemos nos céus, sem explicações adi- cionais contra-intuitivas (como as que a Física de Newton depois vai dar). De fato, o que vemos todos os dias são os movimentos imutáveis do céu, do Sol, dos planetas, bem como as coisas graves (pesadas) caindo. Por isso sua versão cantada por Camões era importante em Portugal das Grandes Navegações: era (ainda é) o modelo perfeito para sintetizar o conhecimento do céu que os navegadores precisavam ter (hoje em dia, o GPS dispensa essa habilidade). Além disso, era um sistema físico completo, o primeiro universalmente adotado no Ocidente. De fato, como mostra o poema, muito da sua beleza está em fornecer uma imagem compreensível do universo, dada de forma simples à nossa razão. Quatro elementos encapsulados por dez esferas cristalinas; toda a dinâmica do céu é descrita apenas ajustando-se as velocidades e inclinações dos eixos das esferas. Tudo se move a partir do movimento do Mobile primeiro, colocado por Deus para se mover no início, fazendo então todo o resto mover-se segundo sua natureza. Uma máquina como um relógio. Enfim, diante de um tal modelo completo, consistente e intuitivo, não é de se espantar que tenha vigorado desde o século III a.C. até meados do século XVII, ou seja, por vinte séculos! Mas o mundo dos homens sempre está sujeito à mudança, e assim também suas idéias. No século XVII, um novo conjunto de idéias se difundiu, a partir dos textos de Copérnico, Giordano Bruno e outros. A partir de então, lentamente, esta visão de mundo foi sendo abandonada em prol de uma nova imagem. Citando Thomas Kuhn^8 :

(^5) Cinosura é o nome de uma ninfa; corresponde à Ursa Menor. (^6) Orionte é uma forma de escrever Órion (^7) Aqui,Diana, deusa da caça, foi tomada como representação mitológica da Lua. (^8) Boa parte desta unidade foi baseada no livro de Thomas Kuhn, The Copernican Revolution.

Capítulo 1

Ptolomeu

Começamos no grande centro de intercambio e florescimento intelectual que era a Biblioteca de Alexandria no século II. Foi neste século, nesta cidade, que viveram dois nomes importantes, ambos citados no capítulo de história do Volume I. O primeiro foi Euclides, que sistematizou toda a geometria praticada como esporte mental há séculos, na Grécia. Foi ele que criou as noções de axiomas, teoremas, etc. que viriam a ser marcantes na ciência e na matemática modernas. O se- gundo foi Ptolomeu, desta vez um astrônomo – que não estudava algo tão diferente assim, já que os estrudos de astronomia, nesta época, eram uma seqüência natural dos estudos de geometria. De fato, a função da astronomia (astro nomós, a regra dos astros) era calcular posições e períodos dos astros, para assim prever suas configurações. Era a partir das regras de cálculo que eles podiam praticar a verdadeira ciência astronômica (astrologia), que servia para conhecer as impli- cações do comportamento dos astros^1. O grande mérito de Ptolomeu foi, baseando-se no sistema de mundo de Aristóteles, fazer um sistema geométrico-numérico, de acordo com as tabelas de observações babilônicas, para descrever os movimentos do Céu. Com essas características, além de fornecer uma visão de mundo completa, o sistema aristotélico ganhou o importante poder de fazer previsões (de estações do ano, de eclipses, de queda de impérios etc). No Volume 1, estudamos extensivamente a geometria da Esfera das Estrelas Fixas; nos falta um leve complemento, com a geometria das configurações planetárias. De fato, as astrologias ocidentais (babilônica, egípcia, judaica, grega) são baseadas essencialmente no cinturão do zo- díaco e nos sete astros errantes que o percorrem. Assim, para as previsões astrológicas, o que interessa essencialmente são (i) as posições dos planetas com relação às casas zodiacais, e (ii) as posições dos planetas uns com relação aos outros. Com relação às posições entre os planetas, podemos destacar algumas:

• Quando dois planetas estão sobrepostos um ao outro, ou quando estão em um mesmo meridiano (mesma longitude eclíptica), falamos que estão em conjunção.
• Quando estão em meridianos opostos (com 12 h de diferença de longitude eclíptica), estão em oposição.
• Quando estão a 9 h (120o) um do outro na eclíptica, estão em trígono, pois três vezes a distancia entre eles completa o círculo inteiro.
• Quando estão a 6 h (90o) um do outro na eclíptica, como que “perpendiculares”, estão em quadratura, pois estão como o ângulo interno de um quadrado.
• Quando estão a 3 h (60o) um do outro, estão em sextil, pois seis vezes a distancia comple- tam o círculo. (^1) Neste sentido, podemos pensar que a astrofísica (física dos astros) foi quem substituiu a astrologia como a ciência dos céus, em uma época em que esta última não era mais levada a sério.

Curso de Astronomia Geral - CCD/OBA \o/ Volume 3 - Mecânica

Assim, por exemplo, Marte e Mercúrio em oposição pode significar algo muito ruim (então é importante prever, para se proteger). Quando dissemos apenas que tal planeta está “em oposi- ção” ou “em conjunção”, estamos pressupondo “oposição / conjunção em relação ao Sol”. Afinal, em relação ao quanto influencia a Terra, o Sol é incomparavelmente o planeta mais importante.

1- Se Marte est´a em oposi¸c˜ao ao Sol, a que horas ele passa pela sua culmina¸c˜ao superior? E se estiver em conjun¸c˜ao?

2- Suponha que vejamos J´upiter em culmina¸c˜ao superior as 20 horas, e saibamos que, naquele dia, ele est´a em posi¸c˜ao de quadratura com rela¸c˜ao a Vˆenus. Onde est´a Vˆenusas 20 horas? A que horas ser´a a culmina¸c˜ao superior de Vˆenus?

Mas como prever as conjunções e oposições? Mais do que isso: como prever em que constela- ções uma tal configuração ocorrerá? A segunda parte é fácil, como já sabemos: grosso modo, um planeta percorre mais ou menos uniformemente a eclíptica em um período bem determinado, que batizamos de período sideral (período com relação às estrelas). Vimos como isso funciona para a Lua, e vimos como seu período sideral difere do período de suas fases, o mês sinódico. Para fazer a ligação entre a Lua e nosso problema, basta percebermos que o período das fases da Lua nada mais é que o período das configurações relativas entre Lua e Sol. Cada Lua Nova é uma conjunção da Lua; cada Lua Cheia, uma oposição. Assim, podemos estender o conceito à relação entre quaisquer dois planetas, chamando isso de período sinódico de um planeta em relação ao outro. Assim, seguindo o que fizemos para a Lua, é intuitivo pensar que o período sinódico entre dois astros depende somente do período sideral de cada um deles. Podemos formalizar isso de um modo geométrico simples. Sejam dois corpos L e R que executem movimentos circulares concêntricos. Vamos supor que eles estejam no mesmo plano, para facilitar a análise (com uma boa aproximação, isso é verdadeiro entre os sete planetas). Suponhamos também que eles se movam com velocidades diferentes: R se move mais rápido, L é mais lento. Para facilitar a visualização, colocaremos R mais próximo do centro, e L mais distante. Se quisermos pensar nos termos aristotélicos, podemos pensar em duas esferas cristalinas ER e EL, concêntricas e com centro na Terra, carregando os corpos R e L, respectivamente. Se quisermos pensar em termos mais contemporâneos, podemos pensar em R e L percorrendo duas órbitas circulares. Seja então ω R a velocidade de rotação (velocidade angular^2 ) da esfera ER (ou do corpo R em sua órbita) e ω L velocidade da esfera EL – veja a figura 1.1. O que estamos interessados em saber, então, é a velocidade relativa entre ambos, isto é, a diferença de velocidades entre eles, ω rel = ω R − ω L. Mas dizer que um corpo tem certa velocidade de rotação ω é o mesmo que dizer que ele completa um ciclo (360◦) em um período P = (^) ω^1. Então, sendo PR o período sideral do planeta mais rápido e PL o período sideral do mais lento, o período S associado à velocidade relativa deles será o que estamos procurando: o período de afastamento relativo entre eles.

ω rel = ω R − ω L ∴ 360

o S

o PR

o PL

S

PR

PL

Assim, temos uma forma simples de calcular períodos sinódicos!

(^2) Lembrando: velocidade angular é a taxa de variação de um ângulo por unidade de tempo, isto é, quantos graus (ou radianos) por segundo um corpo percorre. A idéia é especialmente usada em movimentos circulares.