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Aplicações de Integrais RESUMO Muitas coisas que desejamos saber podem ser calculadas com inte- grais: o volume dos sólidos, o comprimento das curvas, a quantidade de traba- ho necessária para bombear líquidos do subsolo, as forças exercidas contra comportas, as coordenadas de pontos onde objetos sólidos terão equilíbrio. De- finimos todas essas coisas como limites das somas de Riemann de funções con- tínuas em intervalos fechados — ou seja, como integrais — e calculamos esses limites usando o cálculo. EH Volumes por Fatiamento e Rotação em torno de um Eixo Volumes por Fatiamento e Sólidos de Revolução: Secções Transversais Circulares * Sólidos de Revolução: Secções Transversais em Forma de Arruelas Na Seção 4,3, Exemplo 3, estimamos o volume de uma esfera dividindo-a em fatias finas, quase cilíndricas, e somando os volumes dos cilindros no que se mostrou depois uma soma de Riemann. Se soubéssemos naquele mo- mento, poderíamos ter continuado a expressar o volume da esfera como uma integral definida. é Começando identicamente, podemos agora determinar os volumes de mui- tos sólidos por integração. Volumes por Fatiamento Suponha que desejemos determinar o volume de um sólido como o da Figura 5.1. A secção transversal do sólido em cada ponto x no intervalo [a, b] é uma região R(x) de área A(x). Se À for uma função contínua de x, poderemos usá-la para defi- nir e calcular o volume do sólido como uma integral, da maneira a seguir. Secção transversal R(x). Sua área é A(x). Figura 5.1 Sea área A(x) da secção transversal R(x) é uma função contínua de x, podemos determinar o volume do sólido integrando A(x) de a a b. 397 398 Capítulo 5: Aplicações de Integrais Cilindro aproximado com base em R(x) A base do cilindro * Ea região R(x). FORA DE ESCALA Figura 5.2 Vista ampliada da fatia de um sólido entre os planos por x,., € x, € seu cilindro aproximado. Típica secção transversal Figura 5.3 As secções transversais da pirâmide do Exemplo 1 são quadradas. Plano por à, Dividimos [a, b] em subintervalos de comprimento Ax e fatiamos o sólido (como faríamos com um pão) por planos perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição. A k-ésima fatia, que está entre os planos por x,..; & x,, tem aproxi- madamente o mesmo volume que o cilindro compreendido entre os dois planos com base na região R(x;) (Figura 5.2). O volume do cilindro é = área da base X altura = A(x,) X Ax. A soma Dy= Day x 4x é uma aproximação do volume do sólido. Isso é uma soma de Riemann para Atx) em [a, b]. Esperamos que as apro- ximações melhorem conforme as normas das partições tendam a zero, portanto definimos a integral que é o limite dessas somas como o volume do sólido. Definição. . -Velume de:um Sólido O volume de ur sólido compreendido entre os planos;x = q é E cuja área da secção transversal por x é uma função integrável. A) integral de a a. bde A, RR Para aplicarmos essa fórmula, procedemos da maneira a seguir. Como Calcular o Volume pelo Método do Fatiamento Passo 1, Esboce o sólido e uma secção transversal típica. Passo 2. Encontre uma fórmula para A(X). Passo 3. Encontre os limites de'integração. Passo 4, Integre A(x) para determinar o volume. - Exemplo 1 Volume de uma Pirâmide Uma pirâmide com 3 m de altura tem uma base quadrada com 3 m de lado. A secção transversal da pirâmide, perpendicular à altura x m abaixo do vér- tice, é um quadrado com x m de lado. Determine o volume da pirâmide, Solução Passa 1; Um esboço. Desenhamos a pirâmide com sua altura ao longo do eixo x e seu vértice na origem e incluímos uma secção transversal típica (Figura 5.3). Passo 2: Uma fórmula para A(x). A secção transversal em x é um quadrado com x metros de lado, portanto sua área será Aq) =x2, Passo 3: Os limites de integração. Os quadrados vão dex = 0a x =3. Passo 4: Integre para determinar o volume, 400 Capítulo 5: Aplicações de Integrais Figura 5.6 A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 4. 2 gn Sejuu=9—* =0+é - 9+50) du = 2x dx, integre e substitua novamente. = 18 unidades cúbicas, Sólidos de Revolução: Secções Transversais Circulares A aplicação mais comum do método do fatiamento é para sólidos de revolução. Sólidos de revolução são sólidos cujas formas podem ser geradas pela revolu- ção de regiões planas em torno de eixos. A única coisa que muda quando as secções transversais são circulares é a fórmula para a área A(x). A secção transversal típica de um sólido perpendicular ao eixo de revolu- ção é um disco de raio R(x) e área AGO) = m(raio)? = mIR(OP. Por isso, o método geralmente é denominado método do disco. Eis vários exemplos. Exemplo 4 Um Sólido de Revolução (Rotação em torno do Eixo x) A região entre a curva y = Va 0 = 87 unidades cúbicas. o 2d 2 O eixo de revolução no próximo exemplo não é o eixo x, mas a regra para calcular o volume é a mesma. Integre 77 (raio)? entre os limites apropriados. - Exemplo 5 Um Sólido de Revolução (Rotação em torno da Reta y = 1) Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y = 1, da região definida por y = Vxe pelas retas y = lex =4, Solução Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o só- lido gerado (Figura 5.7). O volume é V= f TIRG)P dx 4 f aiVx — 1P dx RQ=Va-I t a ['r-ova+ nas 1 Pos. 23n N -[5 2 5” “a z unidades cúbicas. 5.1 Volumes por Fatiamento e Rotação em torno de um Eixo 401 Figura 5.7 A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 5. Como Determinar Volumes com Secções Transversais Circulares (Método do Disco) Passo 1, Desenhe a região e identifique a função raio R(x). Passo 2. Eleve R(x) ao quadrado e multiplique por 17. Passo 3. Integre para determinar o volume, Para determinarmos o volume de um sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, de uma região compreendida entre o eixo y e uma curva x = R(y), c=y = d, usamos o mesmo método com x substituído por y. Nesse caso, a sec- ção transversal circular é AQ) = 7 [raio = mr RG)P. 3. Exemplo 6 Revolução em torno do Eixo y Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em tomo do eixo y, da região compreendida entre oeixoy cacurvax=2/y, | sy =4. Solução | Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o só- tido gerado (Figura 5.8). O volume é 4 V= f TIRQP dy = [a -2 [=(3) dy RO) = 4 a 4 1 3 =m[ 4dy=4m|-L =4m|]2 a) y y | d) [5] = 3 unidades cúbicas. Figura 5.8 A região (a) e o sólido (b) di Exemplo 6. egião (a) ido €b) do Exemplo 7 Revolução em torno de um Eixo Vertical Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = 3, da região compreendida entre a parábolax = y) + learetax=3. Figura 5.10 As secções transversais do sólido de revolução gerado aqui são ar- ruelas, não discos, portanto a integral Sê A(x) dx tem uma fórmula ligeiramente diferente. 5.1 Volumes por Fatiamento e Rotação em torno de um Eixo 403 Solução Passo 1: Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse per- pendicularmente ao eixo de revolução (o segmento azul da Figura 5.11). R(g= —x+3 x+3 Figura 5.11 A região do Exemplo LDB 8 cortada por um segmento de reta perpendicular ao eixo de revolução. Quando a região gira em torno do eixo x, o segmento de reta gera uma arruela. Mg=241 sy=t4d Intervalo de (Tax integração Passo 2: Procure os limites de integração determinando as abscissas dos pon- tos de intersecção da curva com a reta na Figura 5.11. 2 +1=-s+3 x+x-2=0 G+a— D=0 x=-2, x=1 Passo 3: Determine os raios interno e externo da arruela que seria gerada pelo segmento de reta se ele girasse em torno do eixo x juntamente com a re- gião. (Desenhamos a arruela na Figura 5.12, mas você não precisa fazer isso.) Esses raios são*as distâncias dos extremos dos segmentos ao eixo de revolução. r Raio externo: RG) =-x+3 Raio interno: y=2+1 Passo 4: Calcule a integral do volume. V= IN T(ERGOP — [ro] dx Valores dos passos 2 c 3 1 = - 2 q? 2 Expressões elevadas ao f - mx + 3 GÉ+ DD dx quadrado e combinadas — x) dx = [ms 6 3 sl! =” [3 —3P — a — il 177 unidades cúbicas, -2 404 Capítulo 5: Aplicações de Integrais Secção transversal em forma de arruela jo extemo: R(x) Raio interno: r(x) Ficura 5.12 Os raios interno e externo da arruela gerada pelo segmento de reta da Figura 5.11. A área de uma arruela é qRº — qr?, Como Determinar Volumes com Secções Transversais em Forma de Arruelas Passo 1. Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atraves- se perpendicularmente ao eixo de revolução. Quando se faz a região girar, esse segmento gera uma secção transversal típica, em forma de arruela, do sólido gerado. Passo 2. Determine os limites de integração. Passo 3. Determine os raios externo e interno da arruela gerada pelo segmento de reta. Passo 4, Integre para determinar o volume. Para determinarmos o volume do sólido obtido com a rotação de uma re- gião em torno do eixo y, usamos os passos enumerados acima, porém integra- mos em relação a y em vez de x. Exemplo 9 Secção Transversal em Forma de Arruela (Rotação em torno do Eixo y) A região compreendida entre a parábola y = x? ea reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Solução Passo 1: Desenhe a região e esboce um segmento de reta através dela per- pendicularmente ao eixo de revolução, nesse caso o eixo y (Figura 5.13). Passo 2: A reta e a parábola se cortam em y = 0 e y = 4, portanto os limites deintegraçãosãoc=0ed=4, Passo 3: Os raios da arruela gerada pelo segmento de reta são RQ) = V>, 0) = y/2 (figuras 5.13 e 5.14), Passo 4, Integre para determinar o volume: a V= [ mIRG)P — [r) dy 4 2 > = ) Ea (4 -— E] ) dy Valores dos passos 2 e 3 o 4 2 2 Tt =q7 f ( — 5) dy=m E — al = êm unidades cúbicas. 406 Capítulo 5: Aplicações de Integrais 2. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=0€x=4. As secções transversais perpendiculares ao eixo x, entre esses planos, vão da parábola y = —N/x à parábola = Vy (a) As secções transversais são discos circulares com diâme- tros no plano xy. (b) As secções transversais são quadrados com bases no plano xy. (e) As secções transversais são quadrados com diagonais no plano x. (d) As secções transversais são triângulos equiláteros com bases no plano xy. Volumes por Fatiamento Determine os volumes dos sólidos nos exercícios 3-10. 3. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=0çx= 4. As secções transversais perpendiculares ao eixo x, no intervalo O = x = 4, são quadrados cujas diagonais vão da parábola y = —V'x à parábola y = V. 4. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x= lex =. As secções transversais perpendiculares ao eixo x são discos citculares cujos diâmetros vão da parábola y=xàparábolay=2 2. 5. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=—lex= 1, As secções transversais perpendiculares ao eixo x são (a) círculos cujos diâmetros se estendem da curva p=-UvVI+icuvay= VI +? (b) quadrados verticais cujos lados da base vão da curva y=-VIi—axlâcuva y= VI + 6. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=—V2/26x= V2/2. As secções transversais são (a) círculos cujos diâmetros se estendem do eixo x à curva y=UVi-x (b) quadrados cujas diagonais se estendem do eixo x à curva y=UVI — + 7. A base de um sólido é uma região entre a enrva y = 2W/senX eo intervalo [0, 7] no eixo x. As seeções transversais perpen- diculares ao ixo x são (a) triângulos egiiláteros com bases que vão do eixo x à curva, como mostra a figura y=2Vsenx aa (b) quadrados com bases que vão do eixo x à curva. 8. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em ml3ex= q/3. As secções transversais perpendiculares ao eixo x são x= (a) discos circulares com diâmetros que vão da curva y = tg x àcurva y = sec x. (b) quadrados cujas bases vão da curva y = tg x à curva y=secx 9. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo y em y=0€y= 2, As secções transversais perpendiculares ao eixo » são discos circulares com diâmetros que vão do eixo y à pa- rábolax = V5y2. 10. A base do sólido é o disco x? + y? = 1. As secções transver- sais por planos perpendiculares ao eixo y entre y = —1ey = 1 são triângulos retângulos isósceles com um cateto no disco. 11. Um sólido torcido Um quadrado de comprimento de lado s situa-se em um plano perpendicular a uma reta L. Um vértice do quadrado situa-se em L. À medida que esse quadrado per- corre uma distância h ao longo de L, ele faz uma revolução em torno de L para gerar uma coluna semelhante a um saca-rolhas com secções transversais quadradas. (a) Determine o volume da coluna, (b) Escrevendo para aprender Qual será o volume se o qua- drado girar duas vezes em vez de uma? Justifique sua res- posta. 12. Escrevendo paro aprender Um sólido situa-se entre planos per- pendiculares ao eixo xem x = 0e x = 12. As secções trans- versais perpendiculares ao eixo x são discos circulares cujos diâmetros vão da reta y = x/2 à teta y = x, como mostra a fi- gura a seguir. Explique por que o sólido tem o mesmo volume que um cone circular reto com raio da base 3 e altura 12. Sólidos de Revolução: Secções Transversáis Circulares Nos exercícios 13-16, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo dado. 13. Em torno do eixo x 14. Emtormo do eixo y 51 407 Volumes por Fatiamento e Rotação em torno de um Eixo 15. Em tomo do eixo y 16. Em torno do eixo x Nos exercícios 17-22, determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas retas e curvas indicadas. W.y=x), y=0, x=2 18. y=4), y=0, 1=2 19.y=V9-%, y=0 20, y=€ 21. y=Vcosx, 00 b . “ raio altura = , 2m (a ssa a a) dx Fórmula da Casca para Revolução em torno de uma Reta Vertical O volume do sólido obtido com a rotação, em torno de uma teta verti- cal, da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de uma função continuay=A()=0,0=a=r=b,é =f” Taio altura Vo |, Ze (as casca À da casca dx y À... Raio da casca E] Espessura da casca = dx 2+ 1% ! fo] Altura f Ta casca fog NV | | i [ * 4 * Intervalo de integração Figura 5.20 A região, as dimensões da casca e o intervalo de integração do Exemplo 2. 52 Modelando o Volume Usando Cascas Cilindricas 413 Exemplo 2 Cascas Cilindricas Girando em torno do Eixo y A região limitada pela curva y = Vê, pelo eixo x e pela reta x = 4 gira em torno do eixo y gerando um sólido. Determine o volume do sólido. Solução Passo 1: Esboce a região e desenhe um segmento de reta através dela parale- lamente ao eixo de revolução (Figura 5.20). Nomeie a altura do segmento (altura da casca) e a distância do eixo de revolução (raio da casca). A largura do segmento é a espessura da casca dx. (Desenhamos a casca na Figura 5.21, mas você não precisa fazê-lo.) 4 Raio da casca Intervalo de integração 4 Fícura 5.21 A casca gerada pelo segmento de reta da Figura 5.20. Passo-2: Determine os limites de integração para a variável espessura (x vai de a=0ab=4)e escreva a integral do volume usando a Fórmula da Casca: b . v= [ 2 (mi (um No) dx a casca À casca 3 4 = f 27 NV) dx, 0 Passo 3: Integre para determinar o volume: 4 V= I) 27(4XV'%) dx 0 4 2,50) 128 = 2m | XP de=2m [22º] -s ” unidades cúbicas. o o Até aqui, usamos eixos verticais de revolução. Para eixos horizontais, subs- tituímos os x por y. Exemplo 3 Cascas Cilindricas Girando em torno do Eixo x A região limitada pela curva y = Nx, pelo eixo x e pela teta x = 4 gira em torno do eixo x gerando um sólido. Determine o volume do sólido. Revolução em torno do Eixo y Nos exercícios 7--14, use o método da casca para determinar o vo- lume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das re- giões limitadas pelas curvas e retas a seguir. Ty=s y=-x2, 4=2 8. »=2x, p=4/2, x=] 9. y=x, y=2-4, x=0Oparaxz0 10.9=2>2), y=24, x=0 H.y=e?, y=0, x=0, x=1 12. y=H0V%, )=0, x=1, x (sena)iz, 0
