Baixe 11 - Integrais Múltiplos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity!
Capítulo # 11
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS:
INTEGRAIS MÚLTIPLOS
11.1 Integrais duplos em domínios
rectangulares de IR
11.2 Integrais duplos em domínios limitados
arbitrários de IR
11.3 Aplicações de integrais duplos
11.4 Integrais duplos em coordenadas polares
11.5 Superfícies paramétricas e área superficial
11.6 Integrais triplos em domínios limitados
arbitrários de IR
11.7 Aplicações de integrais triplos
11.8 Integrais triplos em coordenadas
cilíndricas e esféricas
11.9 Integrais múltiplos impróprios
11.A Mudanças de variáveis e Jacobianos
CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS
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11.1.2 Definição do integral duplo em domínios rectangulares
Começaremos por fazer a definição do integral duplo para o caso de o domínio
R ter a forma mais simples possível: um rectângulo com os lados paralelos aos
eixos coordenados no plano Oxy.
Seja então f(x,y) uma função definida e limitada (isto é, sem descontinuidades
infinitas) em todos os pontos do seguinte rectângulo compacto R ⊂ IR
R = {(x,y) ∈ IR
: a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d}
Se efectuarmos uma partição arbitrária do intervalo [a,b] em m sub-intervalos
(a = x 0
< x 1
< ... < x m
= b) e outra partição arbitrária do intervalo [c,d] em n
sub-intervalos (c = y 0
< y 1
< ... < y n
= d) resulta uma partição do rectângulo R
em k = (m x n) sub-rectângulos R i
, designada por P = {R i
}, em que 1 ≤ i ≤ k:
Como medida do tamanho dos sub-rectângulos R i
da partição P, define-se a
malha (ou norma) da partição, representada por |P|, como sendo comprimento da
maior diagonal de todos os sub-rectângulos R i
que constituem a partição P.
11.1 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS RECTANGULARES DE IR
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Se escolhermos um ponto arbitrário de coordenadas (x
i
, y i
) associado a cada
sub-rectângulo R i
, o conjunto S = {(x i
, y i
) ∈ R
i
}, com 1 ≤ i ≤ k, é aquilo que
chamamos uma selecção associada à partição P do rectângulo R.
Se representarmos a área do sub-rectângulo R i
por ∆A i
, a soma de Riemann
para a função f(x,y), associada com a partição P do rectângulo R e a selecção S
escolhida para essa partição, é definida pelo seguinte somatório:
i= 1
k
∑
f(x i
, y i
) ∆A
i
Interpretação geométrica de f(x
i
, y i
) ∆A
i
Se f(x
i
, y i
) > 0, o produto f(x i
, y i
) ∆A
i
representa o volume de um paralelepípedo
com área da base ∆A i
e altura f(x i
, y i
); se
f(x
i
, y i
) < 0, o produto f(x i
, y i
) ∆A
i
representa o simétrico do volume do mesmo
paralelepípedo.
Portanto, a soma de Riemann acima definida pode ser interpretada em termos
geométricos como sendo a soma algébrica dos volumes dos paralelepípedos que
são definidos pela partição P do rectângulo R e pela selecção S associada a P.
Exemplo 11.1 Interpretação geométrica de uma soma de Riemann para a
função f(x,y) = 4 + xy, definida na seguinte restrição de IR
R = {(x,y) ∈ IR
: 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}
11.1 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS RECTANGULARES DE IR
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A interpretação geométrica do integral duplo é uma consequência imediata desta
definição e da interpretação geométrica das somas de Riemann: se f(x,y) ≥ 0 em
R, o integral duplo representa o volume do sólido “paralelepipédico” delimitado
pelo gráfico da função f(x,y) e pelo rectângulo R; se f(x,y) ≤ 0 em R, o integral
duplo representa o simétrico do volume desse sólido; finalmente, se f(x,y)
mudar de sinal em R, o integral duplo representa a diferença dos volumes da
parte do sólido situada acima do plano Oxy e da parte do mesmo sólido situada
abaixo do plano Oxy.
Exemplo 11.2 Interpretação geométrica do integral duplo
R
∫∫
(4 + xy) dA,
em que R = {(x,y) ∈ IR
: 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}.
O valor numérico do integral duplo
R
∫∫
(4 + xy) dA é igual ao volume do
sólido “paralelepipédico” representado na figura seguinte, o qual é delimitado
“em cima” pelo gráfico da função f(x,y) = 4 + xy, e “em baixo” pelo domínio
rectangular R onde a função está definida, já que se tem f(x,y) ≥ 0, ∀ (x,y) ∈ R
CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS
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O problema de saber quais as funções que são integráveis num domínio
rectangular R é um problema muito importante, cuja análise detalhada está fora
do âmbito desta cadeira. Limitar-nos-emos assim a dar uma resposta parcial a
este problema, sem a demonstrarmos: a continuidade de f(x,y) em R é uma
condição suficiente (mas não necessária) para que exista o integral duplo dessa
função em R.
11.1.3 Integrais parciais de funções de duas variáveis
Seja f(x,y) uma função definida e limitada num rectângulo compacto R ⊂ IR
com os lados paralelos aos eixos coordenados. Se integrarmos f(x,y) apenas com
respeito a y entre c e d, mantendo x fixo num valor entre a e b, obtemos como
resultado uma função de x, designada por G(x), que é chamada integral parcial
de f(x,y) com respeito à variável y, por analogia com a derivada parcial
∂f
∂y
G(x) ≡
def.
c
d
∫
f(x,y) dy , em que a ≤ x ≤ b
Se integrarmos f(x,y) apenas com respeito a x entre a e b, mantendo y fixo num
valor entre c e d, este integral é uma função de y, designada por H(y), e
chamada integral parcial de f(x,y) com respeito à variável x, por analogia com a
derivada parcial
∂f
∂x
H(y) ≡
def.
a
b
∫
f(x,y) dx , em que c ≤ y ≤ d
Se a função f(x,y) for não-negativa em R, as funções G(x) e H(y) representam a
área de secções rectas do sólido paralelepipédico” delimitado pelo gráfico de
f(x,y) e pelo rectângulo R, secções essas que são normais ao eixo Ox e ao eixo
Oy, respectivamente:
CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS
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11.1.5 Cálculo de integrais duplos utilizando integrais iterados
A importância fundamental dos integrais iterados que acabámos de definir é
evidente do seguinte teorema:
Teorema: Se f(x,y) for contínua num rectângulo R ⊂ IR
cujos lados são
paralelos aos eixos coordenados, então:
R
∫∫
f(x,y) dA =
c
d
∫ a
b
∫
f(x,y) dy dx =
a
b
∫ c
d
∫
f(x,y) dx dy
Ou seja, o cálculo do integral duplo de f(x,y) em R fica reduzido ao cálculo de
um qualquer dos dois integrais iterados de f(x,y) em R, em que a ordem de
integração utilizada para o efeito é teoricamente indiferente: podemos integrar
primeiro com respeito a y e depois com respeito a x (simbolicamente, “dy dx”),
ou então integrar primeiro com respeito a x e depois com respeito a y
(simbolicamente, “dx dy”).
Na prática, porém, acontece frequentemente que uma destas duas ordens de
integração conduz a cálculos mais simples, e então essa deverá ser obviamente a
ordem utilizada para calcular o integral duplo.
Exemplo 11.3 Calcule o integral duplo
R
∫∫
(4x
) dA por dois
processos diferentes, sabendo que R é o rectângulo seguinte:
R = {(x,y) ∈ IR
: 1 ≤ x ≤ 3 ∧ – 2 ≤ y ≤ 1}.
- 1º Processo: integrar 1º com respeito a y e depois com respeito a x:
R
∫∫
(4x
) dA =
∫ 1
∫
(4x
) dy dx =
11.1 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS RECTANGULARES DE IR
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∫
4x
y + 2xy
[ ]
y = − 2
y = 1
dx =
∫
(4x
− 16x) ( )
dx =
∫
(12x
3x
[ ]
1
- 2º Processo: integrar 1º com respeito a x e depois com respeito a y:
R
∫∫
(4x
) dA =
∫ − 2
∫
(4x
) dx dy =
∫
x
y
[ ]
x = 1
x = 3
dy =
∫
(81 + 27y
) − (1 + 3y
( )
dy =
∫
(80 + 24y
) dy =
80y + 8y
[ ]
− 2
Convém referir aqui um caso particular do teorema acima enunciado, em que o
integral duplo de f(x,y) em R é igual ao produto de dois integrais simples, sem
que seja necessário calcular integrais iterados; isso acontece sempre que f(x,y)
for o produto de uma função só de x por uma função só de y:
Corolário: Se f(x,y) = f 1
(x) f 2
(y) for contínua num rectângulo R ⊂ IR
com
os lados paralelos aos eixos coordenados
R
∫∫
f(x,y) dA =
f 1
(x) dx
a
b
∫
f 2
(y) dy
c
d
∫
11.2 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS LIMITADOS ARBITR. DE IR
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11.2 Integrais duplos em domínios limitados arbitrários de IR
11.2.1 Definição do conceito
Seja f(x,y) uma função definida e limitada num domínio limitado arbitrário
R ⊂ IR
, e seja A um rectângulo qualquer com os lados paralelos aos eixos
coordenados que contém R, isto é, R ⊆ A.
Se fizermos uma partição arbitrária Q do rectângulo A em sub-rectângulos, e se
apenas considerarmos os k sub-rectângulos que ficam totalmente dentro de R,
esse conjunto, representado por P = {R i
}, com 1 ≤ i ≤ k, constitui o que se
costuma chamar uma partição interna de R, determinada pela partição Q de A:
A norma |P| desta partição interna é, por definição, igual à norma |Q| da partição
que originou P. Escolhendo um ponto arbitrário (x
i
, y i
) em cada um dos k sub-
que constituem a partição interna P, obtém-se uma selecção S
associada a P.
CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS
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Se representarmos a área do sub-rectângulo R i
por ∆A i
, a soma de Riemann
para a função f(x,y), associada com a partição interna P de R e com a selecção S
escolhida para essa partição, é dada pelo somatório
i= 1
k
∑
f(x i
, y i
) ∆A
i
Se existir o limite desta soma quando |P| → 0, esse limite é, por definição, o
integral duplo de f(x,y) no domínio limitado arbitrário R ⊂ IR
R
∫∫
f(x,y) dA ≡
def.
lim
|P|→ 0
i= 1
k
∑
f(x i
, y i
) ∆A
i
É possível demonstrar-se que é condição suficiente de existência deste integral
que f(x,y) seja contínua em R, e que a fronteira do domínio de integração R seja
formada por um número finito de arcos de curva suaves.
Quanto à interpretação geométrica do integral duplo assim definido, mantém-se
tudo o que atrás dissemos no caso de domínios rectangulares, se substituirmos
agora “paralelepipédico” por “cilíndrico”.
Portanto, se f(x,y) ≥ 0 em R, o integral duplo
R
∫∫
f(x,y) dA representa o
volume do sólido “cilíndrico” T que é delimitado “em cima” pelo gráfico da
função f(x,y) e “em baixo” pelo domínio de integração R, que era o nosso
objectivo inicial ao introduzir o conceito de integral, como afirmámos atrás.
11.2.2 Propriedades básicas dos integrais duplos
As propriedades básicas dos integrais duplos são extensões naturais das
correspondentes propriedades para integrais simples que estudámos atrás, a
saber: linearidade da operação de integração, decomposição do domínio de
integração e o teorema da estimativa do integral duplo.
CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS
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11.2.2.2 Decomposição do domínio de integração
Teorema: Se f(x,y) for integrável em R ⊂ IR
, e se R = R 1
∪ R
, em
que R 1
e R 2
são regiões com interiores disjuntos, então:
R
∫∫
f(x,y) dA =
R
∫∫
f(x,y) dA +
R
∫∫
f(x,y) dA
11.2.2.3 Teorema da estimativa do integral duplo
É possível obter uma estimativa do valor de um integral duplo, se conhecermos
a área do domínio de integração, conjuntamente com um minorante e um
majorante dos valores que a função assume nesse domínio:
Teorema: Se f(x,y) for integrável em R ⊂ IR
, e se m ≤ f(x,y) ≤ M,
(x,y) ∈ R
, então:
m A(R) ≤
R
∫∫
f(x,y) dA ≤ M A(R)
em que A(R) representa a área do domínio R.
11.2 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS LIMITADOS ARBITR. DE IR
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Como consequência imediata deste teorema, obtém-se um método importante
para calcular a área do domínio R por meio de um integral duplo; de facto, se
f(x,y) = 1 em R, podemos escolher m = M = 1, e resulta o seguinte corolário:
Corolário:
R
∫∫
dA = A(R)
11.2.3 Integrais iterados em regiões simples de IR
Uma região R ⊂ IR
diz-se y-simples (ou verticalmente simples) se puder ser
descrita como segue:
R = {(x,y) ∈ IR
: a ≤ x ≤ b ∧ y 1
(x) ≤ y ≤ y 2
(x)}
em que, por hipótese, y 1
(x) e y 2
(x) são funções contínuas em [a,b]:
Se f(x,y) for uma função qualquer definida e limitada em R, o integral parcial de
f(x,y) com respeito a y em R terá agora limites variáveis, y 1
(x) e y 2
(x):
11.2 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS LIMITADOS ARBITR. DE IR
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G(x) =
x
x
xy
dy =
1/3 xy
[ ]
y = x
y = x
= 1/3 (x
x
x
xy
dy dx =
G(x) dx =
1/3 (x
) dx =
x
x
Uma região R ⊂ IR
diz-se x-simples (ou horizontalmente simples) se
R = {(x,y) ∈ IR
: c ≤ y ≤ d ∧ x 1
(y) ≤ x ≤ x 2
(y)}
em que, por hipótese, x 1
(y) e x 2
(y) são funções contínuas em [c,d]:
Se f(x,y) for uma função definida e limitada em R, o integral parcial de f(x,y)
com respeito a x em R terá agora limites de integração variáveis, x 1
(y) e x 2
(y):
CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS
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H(y) ≡
def.
x 1
(y)
x 2
(y)
∫
f(x,y) dx , em que c ≤ y ≤ d
Se agora integrarmos H(y) em [c,d], resulta o integral iterado de f(x,y) associado
a este domínio x-simples ou horizontalmente simples:
x 1
(y)
x 2
(y)
∫ c
d
∫
f(x,y) dx dy ≡
def.
f(x,y) dx
x 1
(y)
x 2
(y)
∫
c
d
∫
dy =
c
d
∫
H(y) dy
Exemplo 11.5 Calcule o integral iterado
cos y
∫ 0
π / 2
∫
x sen y dx dy,
começando por esboçar o domínio de integração.
O domínio de integração é x-simples ou horizontalmente simples, visto que
pode ser descrito da seguinte forma (ver limites de integração):
R = {(x,y) ∈ IR
: 0 ≤ y ≤ π/2 ∧ 0 ≤ x ≤ cos y}
