Análise Matemática I
Cálculo Integral
Joana Peres
Joana
Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
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8.1 - Cálculo Integral, Notas de estudo de Engenharia Química
Cálculo Integral
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Análise Matemática I
Cálculo Integral
Joana PeresJoana Peres
MIEQ – 2009/
Joana Peres / Análise Matemática I
Definição de partição Seja
f
x
)^
uma função
limitada
em [
a
,b
], mas não necessariamente contínua ou
positiva nesse intervalo, em que
a
b
Chamamos
partição
do intervalo [
a
,b
] a qualquer conjunto P formado por
n
pontos de [
a
,b
] tais que:
b x x x x x x x a
n
n
i
i^
1
1
2
1
0
−
−^
Somas de Riemann "
O intervalo [
a
,b
] fica assim dividido em
n
sub-intervalos:
a
x
0
x
1
x
2
x
i -
x
i^
x
n^
= b
x
n^
-
[^
]^
[^
]^
[^
]^
[^
]n
n
i
i^
x x x x x x x
x^
,^
1 1 2 1 1 0 −
−^
Em geral, estes sub-intervalos de [
a
,b
] não têm todos o mesmo comprimento.
Joana Peres / Análise Matemática I
um qualquer conjunto de pontos {
x
*} do intervalo [ i
a
,b
] tais que a cada sub-
-intervalo de [
a
,b
] corresponde um único ponto de S, isto é,
S
{^
}^
[^
] , : , , , , , ,
,^
1
1
1
2
1
i i i n n i
i^
x x x x x x x x x S
−
−
−^
em que
n
i^
Somas de Riemann
^
Se definirmos: Definição de selecção ^
S é designado por
selecção
associada à partição P de [
a
,b
]
{^
}^
[^
] 1 1 1 2 1
i i i n n i i x
*** 1**
x
*** 2**
x
***** i
x
***** n
a
x
0
x
2
x
i -
x
i^
x
n^
= b
x
n^
-
x
1
Joana Peres / Análise Matemática I
Somas de Riemann
A
soma de Riemann
R para a função
f
x
), associada à partição P do intervalo
[a
,b
] e à correspondente selecção S, é definida da seguinte forma:
i
i
n i
x
x f^
∑=
R
1
def
Definição
R representa a
soma algébrica
das áreas de
todos os rectângulos de altura
f
x
- i
)^
e de base
x
, definidos pela partição P de [ i
a
b
] e pela
Interpretação geométrica da soma de Riemman
x
, i definidos pela partição P de [
a
,b
]^
e pela
selecção S associada a P.A contribuição para a soma de Riemann será:^
positiva
sempre que
f
x
- i
)^
negativa
sempre que
f
x
- i
)^
nula
quando
f
x
- i
)^
Joana Peres / Análise Matemática I
R = soma das áreas dos rectângulos situados acima do eixo Ox
soma das áreas dos rectângulos situados abaixo do eixo Ox.
Somas de Riemann
Algumas propriedades importantes associadas à notação de somatórios,
que é utilizada na definição das somas de Riemann:
n
n i
i^
a
a
a
a
2
1
def
1
∑=
"^ ∑
∑
∑
n
n
n
b
a
b
a
Definição Propriedades
∑
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
i
i
i^
b
a
b
a
1
1
1
∑
∑
=
=
n i
i
n i
i^
a
c
a c
1
1
c n
c n i 1
∑=
∑
∑
- +=
=
+^
k n
k i
i
n i
k i^
a
a
1
1
Joana Peres / Análise Matemática I
Somas de Riemann
Somatórios muito frequentes no cálculo de somas de Riemann:
1
∑=
n n
n
i n i
n n n n n n n i
n i
2 3 2 2 2 1
2
∑=
2
3
3
3
1
3
⎡^ ⎢⎣
∑=
n n
n
i n i
Joana Peres / Análise Matemática I
Definição de integral de
f
x
)^
em
[
a
, b
]
Seja
f
x
)^
uma função
limitada
em [
a
, b
], mas não necessariamente contínua ou
positiva nesse intervalo, em que
a
b
. Se existir o limite quando |P|
0 da
soma de Riemann R para a função
f
x
qualquer que seja a partição P
do
intervalo [
a
,b
], e
qualquer que seja a selecção S associada a P
, diremos que
f
x)
é
integrável
em [
a
,b
], e chamaremos ao referido limite
integral
de
f
x
)^
em [
a
,b
]
(ou “entre
a
e
b
Definição
∑
∫^
=
→
n i
i
i
b a
def
x
x f
dx x f
1
0 P^
lim
Note-se que: ^
o símbolo para representar o integral de
f
x
)^
“entre
a
e
b
” é o mesmo que
é utilizado para representar a primitiva de uma função; ^
a
representa o
limite inferior
de integração;
^
b
representa o
limite superior
de integração;
^
dx
representa a variável de integração;
^
f^
(x
)^
é a função integranda.
Joana Peres / Análise Matemática I
Definição de integral de
f
x
)^
em
[
a
, b
]
^
Se
f
x
)^
for
integrável
em [
a
,b
], o valor numérico do
integral
não se altera se
mudarmos a letra que representa a variável de integração, ou seja:
∫
∫
∫^
b a
b a
b a^
du u f
dt t f
dx x f^
^
A variável de integração é uma variável “muda”, da mesma forma que o
índice
i
é um índice “mudo” no somatório:
∑
∑
∑
=
=
=
n k
k
n j
j
n i
i^
a
a
a
1
1
1
^
A definição do
integral
de
f
x
)^
em [
a
,b
] é válida apenas se
a
b
^
Extensão da definição para:
a
b
a
b
(^
def^ ≡
∫
a a^
dx x f
∫
∫^
a b
b a^
dx x f
dx x f^
(^
def
“ Trocar os limites de integração num integral éequivalente a trocar o sinal desse integral”
Joana Peres / Análise Matemática I
Interpretação geométrica de integral de
f
x
)^
em
[
a
, b
]
∫−
2 1
(^
dx
x
Exemplo
Em cada caso, calcule o valor numérico do integral dado,
utilizando para o efeito fórmulas conhecidas da geometria elementarpara a área de figuras planas:
∫^
(^10)
2
dx x
Joana Peres / Análise Matemática I
Integração de funções contínuas
Se
f
x)
é uma função
contínua
em [
a
, b
] então
f
x)
é
integrável
em [
a
, b
].
Teorema
∫
∞ →
b a
n
n^
dx x f^
R
lim
Teorema
Se e só se
f
x
)^
for
integrável
em [
a
, b
], teremos que
para toda e qualquer sucessão {R
} de somas de Riemann associadas an
uma sucessão de partições {P
} do intervalo [n
a
,b
] tais que
P
lim
P
lim
∞ →
n
n
Observação Conclui-se destes teoremas que se
f
x
)^
for uma função
contínua
em
[
a
, b
], é
válido (e conveniente) utilizar apenas
partições regulares
do intervalo [
a
,b
],
isto é, partições que produzem sub-intervalos todos com o mesmocomprimento, nomeadamente
n
i
n
a
b
x
xi
,^
Joana Peres / Análise Matemática I
Neste caso:
|P|
x
n
Propriedades básicas dos integrais Linearidade da operação de integração
Teorema
Se
f
x)
e
g
(x
)^
forem
integráveis
em [
a
, b
] então:
∫
∫
∫^
b a
b a
b a^
dx x g
dx x f
dx x g
f^
Teorema
Se
f
x)
for
integrável
em [
a
, b
] então:
IR
c
dx x f
c
dx x f c
b a
b a^
∫
∫^
^
A integração de funções é
linear
, ou seja:
O integral em [
a
, b
] de uma combinação linear de
n
funções {
fi
x
i
n
é igual à mesma combinação linear dos integrais em [
a
, b
] dessas
n
funções,
desde que esses integrais existam todos:
IR
c
dx x f
c
dx
x f c
i
b a^
i
n i
i
b a^
i
n i
i^
∫
∑
∫^
∑
=
=
1
1
Joana Peres / Análise Matemática I
Propriedades básicas dos integrais
Decomposição do intervalo de integração
Teorema
Se
f
x)
for
integrável
em [
a
, b
], [
a
, c
] e [
b
, c
], então:
∫
∫
∫^
b c
c a
b a^
dx x f
dx x f
dx x f^
independentemente da posição relativa dos números
a
, b
e
c
sobre
o eixo real.
Caso
a
c
b
Caso
a
b
c
Joana Peres / Análise Matemática I
Propriedades básicas dos integrais
Expansão/contracção do intervalo de integração
Teorema
Se
f
x
)^
for
integrável
em [
a
, b
] em que
a
b
, então:
∫
∫^
kb ka
x k
k
b a^
IR
k
dx
f
dx x f^
(^
1
em particular, se
k
= -1, obtém-se a chamada
propriedade reflexiva
d
i t
l
d
o integral:
∫
∫^
− −^
b a
b a^
dx x
f
dx x f^
Joana Peres / Análise Matemática I
Propriedades básicas dos integraisTeorema da estimativa do integral
Teorema
Se
f
x)
for
integrável
em [
a
, b
], em que
a
b
, e
m
f
x
)^
M
,^
x
[ a
, b
]
então:
∫^
b a^
a
b M
dx x f
a
b m
Para o caso particular de uma
função contínua
no intervalo fechado [
a
, b
], podemos
sempre escolher os números
m
e
M
como sendo os valores
mínimo
e
máximo
que a
função assume em [
a
, b
], pois temos a garantia que esses valores existem.
Se a função
f
x)
> 0 em [
a
, b
] então
m
> 0 e
M
sendo assim, o valor numérico do integral
(^
∫
b a^
dx x f
FEUP / MIEQ
Joana Peres / Análise Matemática I
Interpretação geométrica do teorema da estimativa do integral^ Área(
abcD)
Área(
abEF)
Estimativa por
defeito
Estimativa por
excesso