Análise Matemática I
Primitivação de funções
(continuação)
Joana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
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7.2 - Primitivação, Notas de estudo de Engenharia Química
Primitivação
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Análise Matemática IPrimitivação de funções
(continuação)Joana Peres
MIEQ – 2009/
Joana Peres / Análise Matemática I
Primitivas de funções polinomiais
Factorização de um polinómio de coeficientes reais
em que os coeficientes
(^
c
xc
x c x c x c x
P^
n n n n^
=^
− −^
{^
} 0 1 2 1
,^
c
c
c
c
c^
n n^
−^
são números reais, com
cn
P(
x)^
é um polinómio de grau
com coeficientes reais se
∈^
0
n
Definição O^
li ó
i
P
(^ )
d^
t
O^ polinómio
P(
x)^
pode ter:
raízes reais
raízes complexas
simples
múltiplas
p+qi p-qi
par conjugado
P(
x)^
é divisível por
(x
2 +bx+c
em que
(^2) b -4c<
P(
x)^
é divisível por
(x - a
simples
múltiplas
Joana Peres / Análise Matemática I
Primitivação de funções polinomiais
^
Se a função polinomial
f^ (
x)^
estiver escrita na sua
forma expandida
(isto é,
não-factorizada)
− −^
=^
0 0 1 2 2 1 1
n
c
xc
xc
x
c
x
c
x
f^
n n n n^
^
a sua primitiva é imediata
C
xc
x
c
x
c
x n
c
x n
c
dx
x
f
n n n n^
=^
−
∫^
0 2 1 3 2 1 1
(^
Joana Peres / Análise Matemática I
Primitivação de funções polinomiais
^
Se a função polinomial
f^ (
x)^
estiver escrita na sua
forma factorizada
^
temos primeiro de expandir a função. Se for necessário utilizamos a fórmula do binómio de Newton
(triângulo de Pascal) :
^
excepto se a primitiva for do tipo
−
−
−
−^
Ζ∈
- − − + − + + =
+^
0
1
(^33)
(^22)
1
,
(^3). (^2). 1
) 2 )( 1 (
) (^1) ( (^2). 1
) (^
n y
nxy
y x n nn y x nn y nx x y x^
n n n n n n
n^
"
−
−
−
−^
Ζ∈
± + − − − − + − =
−^
0
1
(^33)
(^22)
1
,
(^3). (^2). 1
) 2 )( 1 (
) (^1) ( (^2). 1
) (^
n y
nxy
y x n nn y x nn y nx x y x^
n n n n n n
n^
∓
"
^
neste caso, utilizamos o método da
substituição directa
Joana Peres / Análise Matemática I
(^
)^
dx x f x f^
k^
∫^
(^
)^
(^
∫
∫^
k C
xf k
C y k dy y
dxx f dy
xf y
dx x f x f
k
k
k
k^
)^1
1
1
∫^
+^
dx
x x x^
10
2
Exemplo Calcule a primitiva
Decomposição de fracções racionais em fracções parciais
Definição
As fracções racionais dos quatro tipos seguintes designam-se por
fracções
parciais
(ou
elementos simples
^
Tipo I
:^
IR
A
a
a
A x
−^
com,
^
Para primitivar
funções racionais
^
temos de aprender a decompor univocamente uma fracção numa somade fracções mais simples também chamadas de fracções parciais.
^
Tipo II
:^
N
k
IR
A
a
a
x
A
k^
−^
e
com,
^
Tipo III
:^
e
com,
2
2
+^
c
b
IR
N
M
cb
c
bx
x
N
Mx
^
Tipo IV
:^
e 2
e
com,
2
2
+^
c
b
l
IR
N
M
c
b
c
bx
x
N
Mx
l Joana Peres / Análise Matemática I
Decomposição de fracções racionais em fracções parciais
Teorema da decomposição em fracções parciais
Seja
uma fracção racional
regular e irredutível
, e suponhamos
conhecida a
factorização do polinómio
P (
x ).
(xR^ xP
^
A^ cada factor linear
(x - a
k), associado a uma raiz real
a^
de multiplicidade
k
de
P(
x), corresponde na decomposição a uma soma de
k^
fracções parciais dos
tipos
I^ e/ou
II :
k
k a
A x
a
A x
a
A x
(^
2 2
1
−^
em que
são constantes a determinar, sendo obrigatoriamentek
A
A
A^
,^
2 1
A^
Ak
l l l
c
bx
x
N
x
M
c
bx
x
N
x
M
c
bx
x
N
x
M
(^
2
2
2
2 2
2
1 1
+^
^
A^ cada factor quadrático irredutível em IR
do tipo
(x
2 + bx + c
l),
associado a um par de raízes complexas conjugadas de multiplicidade
l^ de
P(
x), corresponde na decomposição a uma soma de
l^ fracções parciais dos
tipos
III
e/ou
IV
em que
são constantes a determinar, sendol
Nl
M
N
M
N
M^
,^
2 2 1 1
ou
≠^
l
l^
N
M
obrigatoriamente
Joana Peres / Análise Matemática I
Cálculo dos coeficientes da decomposição em fracções parciais
1.^
decompor a fracção racional em fracções parciais
2.^
reduzir ambos os membros ao mesmo denominador
3.^
igualar os numeradores
4.^
igualar os coeficientes das correspondentes potências de
x^
de
ambos os numeradores
5.^
resolver o sistema de equações lineares nos coeficientesdesconhecidos, cuja solução é única Método dos coeficientes indeterminados^ alternativamente
( evita-se a resolução do sistema de equações
1.^
decompor a fracção racional em fracções parciais
2.^
reduzir ambos os membros ao mesmo denominador
3.^
igualar os numeradores
4.^
na identidade dos numeradores atribuir à variável
x^ os valores
correspondentes
às raízes distintas
de
P(
x), ou
outro valor
qualquer conveniente
Joana Peres / Análise Matemática I
Cálculo dos coeficientes da decomposição em fracções parciais
Métodos específicos ^
a “regra do tapa”
(aplicável às raízes reais simples de
P(
x))
^
Seja
x = a
uma raiz real simples de
P(
x), isto é, 0 )(
com ),( ) ( )(
=^
a Q
x Qa x x P ^
Então
)(xR ( xP
x Qa x
x AQ x R a A x
−^
)(^ xQ a x
x R^
x Qa x
x AQ x R x AQ
^
Queremos determinar
A^
tal que
ax x Q
x R a Q
a R A
⎤ ⎥ ⎦^ =
=^
Observação Este método também é aplicável no caso de uma raiz real de multiplicidade
k
de
P(
x), mas apenas para determinar o coeficiente
≠k
A
Joana Peres / Análise Matemática I
x Sa x x AQ x R^
^
ou seja, queremos que
x = a
seja uma raiz de
x AQ x R^
^
então
−^
a AQ a R^
Primitivação de fracções racionais
^
Primitivas que são resolvidas por substituição directa:^
Qualquer função racional pode sempre ser decompostanuma soma finita de fracções parciais dos tipos I e/ou II e/ouIII e/ou IV
C
x P
dx x P
x P^
∫^
ln )( )(
(^
)^
N
k C
x k P dx x P
x P^
k
k^
′^
+−
∫^
1
^
Primitivas que só podem ser resolvidas depois de decompormos a fracção racional em fracções parciais:
III e/ou IV. Se soubermos primitivar cada um dos quatros tipos de fracçõesparciais, seremos sempre capazes de primitivar qualquer funçãoracional.
∫^
∫
∫
∫^
−^
dx x
dx x
dx
x
x
dx x
x
x
(^
2 2 2 2 2 2
) 1 ( 2
(^
2
2
2 2
−^
x
x
x
x
x
Exemplo:
Joana Peres / Análise Matemática I
Primitivação de fracções parciais de tipo I e II
^
Para primitivar fracções parciais de tipo I e/ou II basta usar a substituição directa
y = x - a
C a x A C y A
dy y A
dx dy
a x y dxa A x
−^
∫
∫^
ln
ln
^
Tipo I
^
Tipo II
:^
C
A
C
y A dy A a x y dx A^
k
⎛^ ⎜⎜
+−
∫
∫^
1
^
Tipo
II :
C a x k C k A y A
dx dy dx a x^
k
k
k^
⎜⎜ ⎝^
−^
−
∫
∫^
1 ) )( (^1) (
1
2
∫^
x dx x x
ExemploCalcule a primitiva
Joana Peres / Análise Matemática I
Primitivação de fracções parciais de tipo III
1.^
“Completa-se o quadrado” no denominador
^
Cálculo da primitiva (A) utilizando uma substituição directa:
∫^
+^
2 (^22)
4
(^22)
2
(^
2
m
x
dx
c
x
dx
c bx x
dx
b
b
b
ln( ) (^2) (
2
2
2
c bx x
dxb x
dy
c bx x y dxc bx x
b x^
^
Cálculo da primitiva (B)
IR x c bx x^
∈ ∀
+^
, 0
2
0 4 2
< −^
c b
em que definimos
porque 0 4
2
2
2
≡^
c b
b c m
2.^
Divide-se o numerador e o denominador por
m
2 e depois calcula-se a
primitiva utilizando uma substituição directa:
+^
∫^
+^
dx
dx
m
x
dx
m bx m
m
m bx m
b^
(^
(^122)
1
(^122)
2 (^22)
2
(^
bx m
m
m
m bx m m
y
dy y
dx
dy
2 1 1 2 1 1
2
arctg
arctg
1 1
y^
=^
Joana Peres / Análise Matemática I
Primitivação de fracções parciais de tipo III
^
O resultado final será:
∫
∫^
dx c bx x
C
b x C dxc bx x
N
Mx
2 (^2
2
1
2
dxc bx x C dxc bx x
b x
C^
2 2
2 1
∫
∫^
C
b m x
m C c bx x C^
⎛^ ⎜ ⎝
=^
1 arctg
)
ln(
2
2 1
Observação Note-se que neste resultado final não aparece qualquer parte racional: apenasum logaritmo e um arco-tangente.
∫^
dx x x
x
ExemploCalcule a primitiva
Joana Peres / Análise Matemática I
Substituições racionalizantes directas
∫^
ℜ^
dx
x
g
x
g^
^
Muitas primitivas podem ser escritas sob a forma
^
é necessário fazer primeiro alguma manipulação algébrica da
^
Este método é frequentemente utilizado quando
g(
x)^
é uma das 6 funções
trigonométricas mas
Substituição racionalizante directa
dxx
g
dy
x
g
y^
(^
é^ necessário fazer primeiro alguma manipulação algébrica da expressão da função integranda antes que ela apareça sob a forma:
(^
x
g
x
g^
ℜ ∫
dxx
tg
ExemploCalcule a primitiva
Joana Peres / Análise Matemática I
Substituições racionalizantes inversas
Algumas substituições racionalizantes inversas mais frequentes
em que os expoentes de
x^ são números racionais (fracções), podem
ser calculadas por meio da
substituição racionalizante inversa
dy
ky
dx
y
x
x
y^
k
k
k^
1
1
sr
nm
x
x
x^
^
Primitivas de
funções irracionais
do tipo
em que
k^ é o
menor múltiplo comum dos denominadores dos expoentes
fraccionários
∫^
+^
dx
x
x
x
(^34) (^23)
(^61)
ExemploUtilize uma substituição racionalizante inversa para calcular
^
transformar uma primitiva
irracional
numa primitiva de uma função
racional
na variável
y. Porquê? ^
todos os expoentes
fraccionários
passaram a ser expoentes
inteiros
^
O que conseguimos com esta mudança de variável?
20
Joana Peres / Análise Matemática I