7.3 - Primitivação, Notas de estudo de Engenharia Química

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Análise Matemática I

Primitivação de funções

(continuação)

Joana Peres

MIEQ – 2009/

Joana Peres / Análise Matemática I

Primitivas de potências de funções trigonométricas

Que estratégia devemos adoptar para calcular as seguintes primitivas:

dx

x

x

n

m

cos

sen

∫

dx

x

g

n

t

∫

∫

dx

x

n

sec

dx

x

x

g

n

m

sec

t

∫

dx x n

sen ∫

∫

dx x n

cos

Substituição racionalizante apropriada

Fórmulas de redução

Recorrer a identidades trigonométricas conhecidas com o

objectivo de obter uma primitiva mais simples

dx

x

g

n

cot

∫

∫

dx

x

n

cosec

dx

x

x

g

n

m

cosec

cot

∫

Joana Peres / Análise Matemática I

Primitivas de potências de funções trigonométricas

Procedimento a adoptar:

dx x

x

n

m

cos

sen ∫

n

é ímpar m

IR

“retirar” um factor

cos

x

de

cos

n

x

aplicar a identidade

fazer substituição directa

y

= sen

x

x

x

2

2

sen

cos

m

é ímpar n

IR

“retirar” um factor

sen

x

de

sen

m

x

aplicar a identidade

fazer substituição directa

y

= cos

x

x

x

2

2

cos

1

sen

ExemploCalcule

Joana Peres / Análise Matemática I

dx x

x

sen

cos

3

2 5

∫

dx x

x

cos

sen

3

2 5

∫

e

Primitivas de potências de funções trigonométricas

Procedimento a adoptar dx x

x

n

m

cos

sen ∫

m

e

n

são pares

m

,^

n

IN

aplicar as identidades trigonométricas

cos

1

sen

(^2)

x

x

cos

1

cos

(^2)

x

x

x

x

x

cos

sen 2

sen

ExemploCalcular a seguinte primitiva:

dx x

x

cos

sen

4

2

∫

) x n m x n m

nx

mx

cos(

cos(

1 2

cos( )

cos(

5

Joana Peres / Análise Matemática I

Primitivas de potências de funções trigonométricas

IN

n

dx x

g

n

∫

t

Procedimento a adoptar No caso de

n

ser ímpar > 1:

“retirar” um factor tg

x

multiplicar e dividir por sec x

aplicar a identidade

sec

t

2

2

x

x

g

fazer a substituição directa

y

= sec

x

ExemploCalcular a seguinte primitiva:

dx x

g t

5

∫

Joana Peres / Análise Matemática I

fórmula de redução para

sec

n

x

Primitivas de potências de funções trigonométricas

Procedimento a adoptar para

n

^2

IN

n

dx x

n n

n

x g x

dx x

n

n

n

∫

∫

−

−

sec

2 1

t

sec

sec

2

2

Dedução:

IN

n

dx x n

∫

sec

dx

x s x n x x

dx x

x

n

x

x

dx x x x ( x n x x

dx x

x

dx x

n

n

n

n

n

n

n

n

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

−

−

−

ec (

sec ) 2

tg

sec

tg

sec ) 2

tg

sec

tg )

tg

sec

sec ) 2

tg

sec

sec

sec

sec

2 2 2 2 2 2

3

2

2

2

IN

n

dx x

n n

n

x g x

dx x

dx x

n

x

x

dx x

n

dx x

dx x

n

dx x

n

x

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

−

−

sec

(^21)

t

sec

sec

sec ) 2

tg

sec

sec ) 2

sec

sec ) 2

sec ) 2

tg

sec

2

2

2

2

2

2

8

Joana Peres / Análise Matemática I

Observação Na prática só se usa

a fórmula de redução

quando

n é ímpar

Primitivas de potências de funções trigonométricas

Procedimento a adoptar:

m

é ímpar n

IR

Se

m

é ímpar então

m

p

+1 então 2

p = m

=

=

=

−

−

−

∫

∫

∫

dx x g

x

x

x

dx x g x x x g

dx x

x

g

n p n m n m

t

sec

sec

tg

t

sec

sec

t

sec

t

1

2

1

1

dx x

x

n

m

sec

tg ∫

“retirar” um factor

sec

x tg x

aplicar a identidade

fazer a substituição directa

y

= sec

x

sec

t

2

2

x x g " = − =

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

=

=

=

=

−

=

=

=

=

=

−

−

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dy

y

y

dx x g

x

dy

x

y

dx x g

x

x

x

dx x g x x x g

dx x g

x

x

x

dx x g x x x g

dx x

x

g

n

p

n

p

n

p

p

) 1

(

t

sec

sec

t

sec

sec

) 1

(sec

t

sec

sec

)

(t

t

sec

sec

tg

t

sec

sec

t

sec

t

1

2

1

2

1

2

Expande-se o binómio de Newton, calculam-se as primitivas imediatasdaí resultantes e, no fim volta-se a substituir

y

por sec

x.

ExemploCalcular a seguinte primitiva:

dx x

x

g

sec

t

2 1

3

−

∫

10

Joana Peres / Análise Matemática I

Primitivas de potências de funções trigonométricas

Procedimento a adoptar:

n

é par m

IR

∫

∫

∫

−

d

d

d

q m n m n m

t

t

t

2

2

2

2

dx x

x

n

m

sec

tg ∫^ 1.

“retirar” um factor

sec

2

x

aplicar a identidade

fazer a substituição directa

y

= tg

x

t

sec

2

2

x

g

x

Se

n

é par então

n

q

+2 então 2

q = n

"

= ⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dy

y

y

dx x

dy

x g

y

dx x

x

x

g

dx x

x

x

g

dx x

x

x

dx x

x

x

g

dx x

x

g

q

m

q

m

q

m

q m n m n m

) 1

(

sec

t

sec ) 1

tg (

t

sec

)

(sec

t

sec

sec

tg

sec

sec

t

sec

t

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Expande-se o binómio de Newton, calculam-se as primitivas imediatasdaí resultantes e, no fim volta-se a substituir

y

por tg

x.

ExemploCalcular a seguinte primitiva:

dx x

x

g

sec

t

4

3 1

∫

−

Joana Peres / Análise Matemática I

As três substituições trigonométricas

2

2

c

bx

a

b

a

Muitas funções

racionais e irracionais

podem ser primitivadas mais facilmente se as

transformarmos previamente em funções trigonométricas, utilizando para tal umade três

substituições trigonométricas

seguintes.

A substituição trigonométrica

θ

sen a

c

bx

Se na primitiva aparecer a expressão:1.

Fazer a substituição inversa seguinte:

c

bx

arcsen

elevada a um expoente inteiro qualquer

2

2

cos

sen

1

utilizar depois a identidade:

No fim inverter a substituiçãoutilizando o triângulo rectângulo

a

c

bx

d

a

dx b

a

c

bx

a

sen cos

arcsen

em que:

e 0

2

2

∫

x

x

x

x

dx

ExemploCalcule a primitiva

Joana Peres / Análise Matemática I

As três substituições trigonométricas

A substituição trigonométrica

tg a

c

bx

Se na primitiva aparecer a expressão:1.

Fazer a substituição inversa seguinte:

π

θ

π

em que:

elevada a um expoente inteiro qualquer

2

2

c

bx

a

b

a

a

c

bx

a

c

bx tg

arctg

utilizar depois a identidade:

No fim inverter a substituiçãoutilizando o triângulo rectângulo

d

a

dx b

a

c

bx

sec

tg

2

2

2

sec

tg

1

∫

2 3

2

x

x

dx

ExemploCalcule a primitiva

Joana Peres / Análise Matemática I

Se na primitiva

aparecer aexpressão:

fazer a substituição indicada a seguir:

e utilizar depois

a identidade:

no fim inverter a substituição

utilizando o triângulo

rectângulo

As três substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas deverão ser utilizadas sempre que a função que se pretende primitivar contiveruma qualquer das expressões que aparecem na 1ª coluna da tabela seguinte, elevada a uma potência inteira.

θ

θ

2

2

cos

sen

1

2

2

c

bx

a

b

a

θ d

a

dx b

a

c

bx

cos

sen

em que:

a

c

bx

tg

2

2

c

bx

a

b

a

2

2 )

a

c

bx

b

a

2

2

sec

tg

1

2

2

tg

1

sec

d

a

dx b

a

c

bx

tg

sec

sec

a

c

bx

a

c

bx

se ,

se ,

em que:

θ^ d

a

dx b

a

c

bx

sec

tg^2

em que:

FEUP / MIEQ

Joana Peres / Análise Matemática I