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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
2 ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS ALGÉBRICAS – 2019. 2
PROFESSOR: ANTONIO EDINARDO DE OLIVEIRA
- Seja ℤ[ √
𝑝] = { x ∈ ℝ; x = a + b √
𝑝, a , b ∈ ℤ}, p primo. Defina + e ⋅ em ℤ[ √
𝑝]
como segue:
( a + b √
𝑝) + ( c + d √
𝑝) = ( a + c ) + ( b + d ) √
( a + b √
𝑝) ⋅ ( c + d √
𝑝) = ( ac + pbd ) + ( bc + ad ) √
Prove que: para todo a , b , c , d ∈ ℤ.
a) a + b √
𝑝 = c + d √
𝑝 se , e somente se, a = c e b = d.
b) ℤ[ √
𝑝], +, ⋅ satisfaz as propriedades (A1) a (A9) da definição de anel, sendo,
portanto, um domínio de integridade.
- No exercício anterior considere ℚ no lugar de ℤ e prove o mesmo que se pede lá,
com a observação de que ℚ [ √
𝑝], +, ⋅ deve satisfazer (A10) na definição de anel.
- Se M.D.C.{ a , m } = 1 prove que:
- Prove que para todo m ∈ ℤ tem-se 𝑚
2
≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 4 ) ou 𝑚
2
- Calcule os divisores de zero nos anéis ℤ 8
e ℤ 18
- Seja f : ℤ → ℤ uma função tal que f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) para todo x , y ∈ ℤ e f ( x ⋅ y )
= f ( x ) ⋅ f ( y ) para todo x , y ∈ ℤ. Prove que f = I ℤ
, função identidade em ℤ, ou f é
identicamente nula.
- Prove que se A , +, ⋅ é um anel qualquer, então são válidas as seguintes
propriedades quaisquer que sejam x , y , z ∈ A :
a) 0 ⋅ x = x ⋅ 0 = 0 d) x ⋅ ( y – z ) = x ⋅ y – x ⋅ z
b) – ( x ⋅ y ) = (– x ) ⋅ y = x ⋅ (– y ) e) ( y – z ) ⋅ x = y ⋅ x – z ⋅ x
c) (– x ) ⋅ (– y ) = x ⋅ y
- Seja A um domínio de integridade e a , b , c ∈ A. Prove que, se a ≠ 0 e ab = bc ,
então b = c.
- Seja p um número primo ≥ 2 e seja
A = {
𝑚
𝑛
Mostre que A é um anel com as operações usuais de fração.
- Seja A um anel tal que x
2
= x para todo x ∈ A. Prove que A é um anel comutativo.
- Seja A um anel qualquer e x ∈ A. se existe n ∈ ℕ – {0} tal que x
n
= 0 dizemos que
o elemento x é nilpotente.
a) Dê exemplos de uma infinidade de elementos nilpotentes em um anel não
comutativo.
b) Prove que se x , y ∈ A , são elementos nilpotentes de A e x ⋅ y = y ⋅ x , então x ±
y é um elemento nilpotente de A.
c) Mostre com um exemplo que a hipótese x ⋅ y = y ⋅ x é essencial em (b).
d) Seja x um elemento nilpotente em A. Mostre que, se A possui unidade, então
o elemento 1 – x possui inverso multiplicativo (calcule uma fórmula para esse
inverso).
- Seja A um anel, B um conjunto e f : B → A uma função bijetiva de B sobre A.
Se para cada x , y ∈ B definimos
x + y = f
( f ( x ) + f ( y )) e x ⋅ y = f
( f ( x ) ⋅ f ( y ))
prove que:
a) B, +, ⋅ é um anel.
b) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) e f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) para todo x , y ∈ B.
- Seja { B i}i ∈ ℕ uma sequência de subanéis de um anel A. Prove que B = ⋂ 𝐵 𝑖
𝑖∈ℕ
é também um subanel de A.
- Mostre, por um exemplo, que uma sequência de subanéis { B i
i
ℕ
de um anel A
nem sempre nos dá que B = ⋃ 𝐵
𝑖
𝑖∈ℕ
é um subanel de A.
- Para qualquer anel A , mostrar que Z ( A ) = { x ∈ A ; xy = yx , ∀ y ∈ A } é um subanel
de A , chamado o centro de A.
- Sejam A um anel e a um elemento fixo de A. Mostrar que B = { x ∈ A ; ax = xa } é
um subanel de A e que Z ( A ) ⊂ B.
- Descreva o centro do anel
A = {(
- Mostre que ℤ 3
não é subanel de ℤ 5
