UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS ALGÉBRICAS – 2019.1
PROFESSOR: ANTONIO EDINARDO DE OLIVEIRA
1) Seja p um número primo ≥ 2 e seja
A = {𝑚
𝑛∈ ℚ: 𝑀. 𝐷. 𝐶 {𝑝, 𝑛} = 1}.
a) Prove que A é um subanel de ℚ.
b) Prove que I = {𝑚
𝑛∈ 𝐴 ∶ 𝑝|𝑚} é um ideal de A.
2) Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que.
a) I + J = {x + y: x ∈ I, y ∈ J} é um ideal de A.
b) I ⋅ J = {∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ⋅ 𝑦𝑖: n ∈ ℕ xi ∈ I, yi ∈ J} é um ideal de A.
3) Seja A um anel comutativo com unidade 1 ∈ A, e seja P um ideal de A. dizemos
que P é um ideal primo de A se P ≠ A e para todo x, y ∉ A, se x ⋅ y ∈ P, então x ∈
P ou y ∈ P. Então prove que.
a) P é um ideal primo de A se, e somente se, A|P é um domínio de integridade.
b) Os únicos ideais primos de ℤ são {0} e os ideais principais pℤ, onde p é um
número primo.
c) Se P é um ideal maximal de A então P é um ideal primo de A.
4) Calcule Aut(ℚ[i]).
5) Prove que os anéis 2ℤ e 3ℤ não são isomorfos.
6) Sejam A e A’ anéis. Defina + e ⋅ no conjunto A × A’ = {(a, a’): a ∈ A, a ∈ A’} de
modo que A × A’ seja um anel com essas operações.
7) Seja f : A → A’ um homomorfismo e J’ um ideal de A’. Prove que f–1(J’) = {a ∈
A: f(a) ∈ J’} é um ideal de A.
8) Prove que o único subcorpo de ℚ é ele próprio.
9) Verifique em cada caso se a aplicação f: A → B é um homomorfismo de anéis.
a) A = B = ℤ e f(x) = x2.
b) A = B = ℤ[√2] e f(a + b√2) = a – b√2.
c) A = ℝ, B = ℂ e f(x) = x⋅i.
