2011 apost calculo3, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Turma:_________________ Data _____/_____/

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///4RC05 V1N1C1U5 R1831R

Esta APOSTILA, como ocorre com todo e qualquer trabalho

humano, deve – é evidente – conter falhas e imperfeições.

Não devemos, porém, temer o erro. O escritor suíço Henri-

Frédéric Amiel (1821-1881) afirmou que o erro só é perigoso

quando contém grande parcela de verdade. Gotthold Ephraim

Lessing, filósofo alemão (1729-1781), um século antes do

judicioso Amiel, já havia exarado esta sentença notável: Aquele

que teme o erro é o primeiro a errar.

Tudo que merece estudo não se lê facilmente, tudo que

adianta alguma coisa exige esforço e meditação.

Malba Tahan

“Agrada-me mais a dúvida do que o saber”, dizia Dante. E

esta é a essência da Matemática. Completa, séculos depois,

Benjamin Franklin: “Muita gente lamenta ter estudado isso ou

aquilo. Consideram tempo perdido ou esforço inútil. Em relação a

matemática, porém, não houve, até hoje, quem lastimasse o

tempo empregado em seu estudo. O arrependimento só brotou

no espírito daqueles que não poderiam ter levado, em

adiantamento, os estudos da Matemática”.

Salientando a importância do ensino da parte histórica da

Matemática opinou Felix Klein (1849-1925), um dos mais insignes

didátas na matéria: “O professor que ensina a Matemática

desligada de sua parte histórica comete verdadeiro atentado

contra a Ciência e contra a cultura em geral”.

LUTE!!!

Diga em voz alta: Insisto! Persisto! Não Desisto!

Lutar sempre, Vencer talvez, Desistir Jamais!!!

“Posso todas as coisas nAqule(DEUS) que me fortalece”

Filipenses 4.

“ Os VENCEDORES não são os que nunca sofrem derrotas,

mas sim os que nunca desistem” Edwin Louis Cole

ABRAHAM LINCOLN

12/02/1809 a 15/04/

16º Presidente dos Estados Unidos da América Republicano(1861-1865)

P E R S E V E R A N Ç A

Ele fracassou nos negócios em 1831. Tentou um outro negócio em 33. Fracassou. Sua noiva morreu em 35. Teve um colapso nervoso em 36. Em 43 ele candidatou-se para o Congresso e foi derrotado. Tentou em 48 e foi derrotado novamente. Tentou se candidatar para o Senado em 55. Perdeu. No ano seguinte, candidatou-se a vice-presidente e perdeu. Em 59 candidatou-se ao Senado novamente e foi derrotado.

Em 1860, o homem que assinava A. Lincoln foi eleito o

16° presidente dos Estados Unidos.

A diferença entre as realizações mais ousadas da história e seus mais assombrosos fracassos está simplesmente em sua

FORTE VONTADE DE PERSISTIR.

“A probabilidade de fracassarmos na luta não nos deve deter no impulso de combater por uma causa justa.”

"é melhor calar-se e deixar que as pessoas pensem que você é um idiota do que falar e

acabar com a dúvida." (Abraham Lincoln)

Julgar os outros é perigoso. Não tanto pelos erros que podemos cometer a respeito deles, mas pelo que podemos revelar a nosso respeito. Voltaire PACIÊNCIA E PERSEVERANÇA!!!!! Aprenda que a PACIÊNCIA requer muita prática! Só o tempo e o esforço trazem a competência Alcançado o sucesso deve-se manter o que foi conseguido, e não exaltá-lo!

Toma em conta que um grande amor, ou uma grande realização

implicam grandes riscos

“ ...os físicos aprenderam a fazer as perguntas corretas. E fazer a pergunta

certa é freqüentemente mais do que a metade do caminho que conduz a

solução do problema” Werner Heisenberg(1901-1976)

“DEUS NÃO JOGA DADOS” Albert Einstein

O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador

PARTILHE O TEU SABER, É UMA FORMA DE ALCANÇAR A IMORTALIDADE!!!

Avalia o teu sucesso por tudo o que tiveste de renunciar para

alcançar!

“Deus nos fez para atingirmos, como águias, elevadas alturas, mas nos

contentamos com vôos rasantes dos pardais.”

O músculo mais potente do corpo humano é a LÍNGUA. A MORTE e a VIDA

estão no poder da LÍNGUA, e aquele que a ama comerá do seu fruto. Provérbios.18.

A saber: SE COM TUA BOCA CONFESSARES AO SENHOR JESUS, e em teu

coração creres que Deus o ressuscitou dos mortos, SERÁS SALVO. Visto que

com o coração se crê para a justiça, e com a boca se faz confissão para a

salvação. Romanos 10.9-10 significa Terás a vida eterna, sua alma viverá!

Tudo tem uma razão. As vezes as coisas acontecem por uma razão. Algo

ruim força uma coisa boa, ou para um bem maior

TRABALHE como se você não precisasse do dinheiro. AME como se você

nunca tivesse sido magoado. DANCE como se ninguém estivesse

observando.

O maior risco da vida é não fazer nada!!!

Em tudo que a natureza opera, ela nada faz bruscamente! Lamarck

Segue os três Rs: R espeito por ti, R espeito pelos outros e R esponsabilidade

por todos os teus atos

Lembra-te que não ter tudo o que se deseja é por vezes

um magnífico golpe de sorte.

DEUS NÃO CHAMA AQUELES QUE SÃO EQUIPADOS. ELE EQUIPA AQUELES QUE

SÃO CHAMADOS, E ELE SEMPRE ESTARÁ LÁ PARA AMAR E GUIAR VOCÊ A

GRANDES COISAS!

F E L I C I D A D E S!!!

Marcos Vinícius Ribeiro

08 de fevereiro de 2011.

DO MEU TELESCÓPIO, EU VIA DEUS CAMINHAR! A MARAVILHOSA DISPOSIÇÃO E HARMONIA DO UNIVERSO SÓ PODE TER TIDO ORIGEM SEGUNDO O PLANO DE UM SER QUE TUDO SABE E TUDO PODE. ISTO FICA SENDO A MINHA ÚLTIMA E MAIS ELEVADA DESCOBERTA. ISAAC NEWTON

Quanto mais alto alguém está, mais dificuldade tem em manter o equilíbrio. Provérbio popular

Ninguém é bom por acaso; a virtude deve ser aprendida.(Sêneca, filósofo latino, (4 a.C. até 65 d.C)

"Os verdadeiros sábios se dão a conhecer pelos bons princípios de seus atos, pela intocável moral de suas atitudes e, pelo fato de servirem de exemplo dos ensinamentos que transmitem".

"Só quem entende a beleza do perdão pode julgar seus semelhantes" (Sócrates)

"Muitos homens iniciaram uma nova era na sua vida a partir da leitura de um livro" (Henry David Thoreau)

"Bom mesmo é ir a luta com determinação, abraçar a vida com paixão e vencer com ousadia, pois o triunfo pertence a quem se atreve... A vida é muita pra ser insignificante!" (Andréa Aoki)

"Os obstáculos que surgem em seu caminho, não são para impedir seus passos, são desafios para serem superados"

"Se seus sonhos estiverem nas nuvens, não se preocupe, pois eles estão no lugar certo; agora construa os alicerces"

"Sorria! Sorrir abre caminhos, desarma os mal-humorados, contamina. Mas sorria com a alma, não apenas com os lábios" (Léa Waider)

"Ideais são como estrelas. Você nunca as alcança, mas como os marinheiros, nós definimos nosso curso por elas" (Carl Schurz)

"Um homem que quer reger a orquestra precisa dar as costas à platéia" (James Crook)

"A alegria e o amor são as duas grandes asas para os grandes feitos". (Goethe)

"A experiência é uma coisa maravilhosa. Ajuda-o a reconhecer um erro quando você comete de novo". (Stephen R. Covey) "Só há duas maneiras de viver a vida: A primeira é vivê-la como se os milagres não existissem. A segunda é vive-la como se tudo fosse um milagre". (Albert Einstein)

"Às vezes, é fácil abrir mão da realidade, mas não é fácil abrir mão de um sonho... Acredite no seu sonho! E seja feliz"

"A maior parte de nossa felicidade depende de nossa atitude e não das circunstâncias".(Martha Washington)

"Gestos são mais importantes que palavras".

"Uma coletânea de pensamentos são uma farmácia moral onde se encontram remédios para todos os males". (Voltaire)

"Não existe grandeza quando a simplicidade, bondade e a verdade estão ausentes". Leon Tolstoi

"A vida feliz consiste na tranqüilidade da mente". (Cícero)

Aquele que deseja construir torres altas deveria permanecer longos tempos nos fundamentos. (Anton Bruckner)

"Deus nos dá as nozes. Mas não as quebras". (Provérbio Alemão)

"Não desanimes com as quedas: elas nos mostram que o chão está longe de ser o nosso lugar". (Horivaldo Gomes)

"Jamais desista daquilo que você realmente quer fazer. A pessoa que tem grandes sonhos é mais forte do que possui todos os fatos". ( H.J. Brown)

"Um grande artista pode pintar um quadro maravilhoso em uma pequena tela". (Warner)

Nunca decidas antes de ouvir ambas as partes.(Aristóteles)

Prefiro uma gota de sabedoria a toneladas de Riquezas – Anaxágoras

O desejo mede os obstáculos; a vontade os vence – Alexandre Herculano, escritor português 1810-

Começai por admirar o que Deus nos mostra, e não terás tempo de procurar o que Ele nos oculta (Alexandre Dumas, romancista Frances, 1803-1870)

A H I S T Ó R I A D O B U R R O

Um dia, o burro de um camponês caiu num poço. Não chegou a se

ferir, mas não podia sair dali por conta própria. Por isso o animal chorou

fortemente durante horas, enquanto o camponês pensava no que fazer.

Finalmente, o camponês tomou uma decisão cruel: concluiu que o burro já

estava muito velho e que o poço já estava mesmo seco, precisaria ser tapado

de alguma forma. Portanto, não valia a pena se esforçar para tirar o burro de

dentro do poço. Ao contrário, chamou seus vizinhos para ajudá-lo a enterrar

vivo o burro. Cada um deles pegou uma pá e começou a jogar terra dentro do

poço. O burro não tardou a se dar conta do que estavam fazendo com ele, e

chorou desesperadamente. Porém, para surpresa de todos, o burro quietou-

se depois de umas quantas pás de terra que levou. O camponês finalmente

olhou para o fundo do poço e se surpreendeu com o que viu. A cada pá de

terra que caía sobre suas costas o burro a sacudia, dando um passo sobre

esta mesma terra que caía ao chão. Assim, em pouco tempo, todos viram

como o burro conseguiu chegar até a boca do poço, passar por cima da borda

e sair dali trotando. A vida vai lhe jogar muita terra, todo o tipo de terra.

Principalmente se você já estiver dentro de um poço. O segredo para sair do

poço é sacudir a terra que se leva nas costas e dar um passo sobre ela. Cada

um de nossos problemas é um degrau que nos conduz para cima. Podemos

sair dos mais profundos buracos se não nos dermos por vencidos.

USE A TERRA QUE TE JOGAM PARA SEGUIR ADIANTE!

RECORDE AS 5 REGRAS PARA SER FELIZ:

1. Liberte o seu coração do ódio.

2. Liberte a sua mente das preocupações.

3. Simplifique a sua vida.

4. Dê mais e espere menos.

5. Ame mais e... aceite a terra que lhe jogam, pois ela

pode ser a solução, não o problema.

O PEIXE

Somos o que fazemos mas somos principalmente o que fazemos para mudar o que somos. Os japoneses sempre adoraram peixe fresco. Porém as águas perto do Japão não produzem muitos peixes há décadas. Assim, para alimentar a sua população, os japoneses aumentaram o tamanho dos navios pesqueiros e começaram a pescar mais longe do que nunca. Quanto mais longe os pescadores iam, mais tempo levava para o peixe chegar. Se a viagem de volta levasse mais do que alguns dias, o peixe já não era mais fresco. E os japoneses não gostaram do gosto destes peixes. Para resolver este problema as empresas de pesca instalaram congeladores em seus barcos. Eles pescavam e congelavam os peixes em alto-mar. Os congeladores permitiram que os pesqueiros fossem mais longe e ficassem em alto mar por muito mais tempo. Entretanto, os japoneses conseguiram notar a diferença entre peixe fresco e peixe congelado, e é claro, eles não gostaram do peixe congelado. Entretanto, o peixe congelado tornou os preços mais baixos. Então as empresas de pesca instalaram tanques de peixe nos navios pesqueiros. Eles podiam pescar e enfiar esses peixes nos tanques, "como sardinhas". Depois de certo tempo, pela falta de espaço, eles paravam de se debater e não se moviam mais. Eles chegavam cansados e abatidos, porém, vivos. Infelizmente,os japoneses ainda podiam notar a diferença do gosto. Por não se mexerem por dias, os peixes perdiam o gosto de frescor. Os japoneses preferiam o gosto de peixe fresco e não o gosto de peixe apático. Então, como os japoneses resolveram este problema? Como eles conseguiram trazer ao Japão peixes com gosto de puro frescor? Se você estivesse dando consultoria para a empresa de pesca, o que você recomendaria? Quando as pessoas atingem seus objetivos tais como, quando começam com sucesso numa empresa nova, pagam todas suas dívidas ou o que quer que seja, elas podem perder as suas paixões. Elas podem começar a pensar que não precisam mais trabalhar tanto, então relaxam. Elas passam pelo mesmo problema que os ganhadores de loteria que gastam todo seu dinheiro, o mesmo problema de herdeiros que nunca crescem de donas de casa, entediadas, que fcam dependentes de remédios de tarja preta. Para esses problemas, inclusive no caso dos peixes dos japoneses, a solução é bem simples. L. Ron Hubbard observou no começo dos anos 50. O homem progride, estranhamente, somente perante a um ambiente desafiador. Quanto mais inteligente, persistente e competitivo você é, mais você gosta de um bom problema. Se seus desafios estão de um tamanho correto e você consegue, passo a passo, conquistar esses desafios, você fica muito feliz. Você pensa em seus desafios e se sente com mais energia. Você fica excitado em tentar novas soluções. Você se diverte. Você fica vivo! Para conservar o gosto de peixe fresco, as empresas de pesca japonesas ainda colocam os peixes dentro de tanques. Mas, eles também adicionam um pequeno tubarão em cada tanque. O tubarão come alguns peixes, mas a maioria dos peixes chega "muito vivo". Os peixes são desafiados. Portanto, ao invés de evitar desafios, pule dentro deles. Massacre-os. Curta o jogo. Se seus desafios são muito grandes e numerosos, não desista. Se reorganize! Busque mais determinação, mais conhecimento e mais ajuda. Se você alcançou seus objetivos, coloque objetivos maiores. Uma vez que suas necessidades pessoais ou familiares forem atingidas, vá de encontro aos objetivos do seu grupo, da sociedade e até mesmo da humanidade.Crie seu sucesso pessoal e não se acomode nele. Você tem recursos, habilidades e destrezas para fazer diferença !!!! Então, ponha um tubarão no seu tanque e veja quão longe você realmente pode chegar.

Ponha você mesmo o tubarão,

Antes que alguém o faça e você não esteja preparado

C0RR3R4M P3L4 PR414, FUG1ND0 D4 4GU4,

R1ND0 D3 M405 D4D45 3 C0M3C4R4M

4 C0N57RU1R 0U7R0 C4573L0.

C0MPR33ND1 QU3 H4V14 4PR3ND1D

UM4 GR4ND3 L1C40;

G4574M05 MU170 73MP0 D4 N0554 V1D

C0N57RU1ND0 4LGUM4 C

3 M415 C3D0 0U M415 74RD3,

UM4 0ND4 P0D3R4 V1R 3 D357RU1R 7UD

0 QU3 L3V4M05 74N70 73MP0 P4R4 C0N57RU1R.

M45 QU4ND0 1550 4C0N73C3R

50M3N73 4QU3L3 QU3 73M 45 M405 D3 4LGU3M

P4R4 53GUR4R, 53R4 C4P42 D3 50RR1R!

S0 0 QU3 P3RM4N3C3, 3 4 4M124D3, 0 4M0R 3 C4R1NH0.

0 R3570 3 F3170 D3 4R314.

Piadas Matemáticas infames : Sabe o que o Zero( 0 ) disse para o Oito( 8 )? Uau! Que cinto bonito!!! O que o MMC estava fazendo embaixo da escada?. .. Esperando o MDC

Conte, quantas letras "F" tem no texto abaixo

FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY

COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS

Contou? Somente leia abaixo após ter contado os "F". OK? Quantos??? 3??? Talvez 4???

Errado, são 6 (seis) - não e piada! Volte para cima e leia mais uma vez! A explicação está mais abaixo ... O cerebro não consegue processar a palavra "OF". Loucura, não? Quem conta todos os 6 "F" na primeira vez é um "gênio". 3 é normal, 4 é mais raro, 5 mais ainda, 6 quase ninguém.

A INSPIRAÇÃO QUE FALTAVA - POESIA MATEMÁTICA

Um Quociente apaixonou-se Um dia Doidamente Por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável .E viu-a, do Ápice à Base.. Uma Figura Ímpar; Olhos rombóides, boca trapezóide,] Corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua vida Paralela a dela. Até que se encontraram No Infinito. "Quem és tu?" indagou ele Com ânsia radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa." E de falarem descobriram que eram

- O que, em aritmética, corresponde A alma irmãs Primos entre si. E assim se amaram Ao quadrado da velocidade da luz. Numa sexta potenciação Traçando Ao sabor do momento E da paixão Retas, curvas, círculos e linhas senoidais. Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclideanas E os exegetas do Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. E, enfim, resolveram se casar

Constituir um lar. Mais que um lar. Uma Perpendicular. Convidaram para padrinhos O Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equações diagramas para o futuro Sonhando com uma felicidade Integral E diferencial. (olha o CÁLCULO aí !!) E se casaram e tiveram uma secante e três cones Muito engraçadinhos. E foram felizes Até aquele dia Em que tudo, afinal, Vira monotonia. Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum...Freqüentador de Círculos Concêntricos. Viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, Uma Grandeza Absoluta, E reduziu-a a um Denominador Comum. Ele, Quociente, percebeu Que com ela não formava mais Um Todo. Uma Unidade. Era o Triângulo, Tanto chamado amoroso. esse problema ela era a fração Mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade. E tudo que era expúrio passou a ser Moralidade Como aliás, em qualquer Sociedade.

O Q U E A S E S C O L A S N Ã O E N S I N A M :

Aqui estão alguns conselhos que BILL GATES recentemente ditou em uma conferência em uma escola secundária sobre 11 coisas que estudantes não aprenderiam na escola. Ele fala sobre como a "política educacional de vida fácil para as crianças" tem criado uma geração sem conceito da realidade, e como esta política tem levado as pessoas a falharem em suas vidas posteriores à escola.Muito conciso, todos esperavam que ele fosse fazer um discurso de uma hora ou mais, ele falou por menos de 5 minutos, foi aplaudido por mais de 10 minutos sem parar, agradeceu e foi embora em seu helicóptero a jato...

Regra 1: A vida não é fácil - acostume-se com isso.

Regra 2: O mundo não está preocupado com a sua auto-estima. O mundo espera que você faça alguma coisa útil por ele ANTES de sentir-se bem com você mesmo.

Regra 3: Você não ganhará R$ 20.000 por mês assim que sair da escola.Você não será vice-presidente de uma empresa com carro e telefone à disposição antes que você tenha conseguido comprar seu próprio carro e telefone.

Regra 4: Se você acha seu professor rude, espere até ter um Chefe. Ele não terá pena de você.

Regra 5: Vender jornal velho ou trabalhar durante as férias não está abaixo da sua posição social. Seus avós têm uma palavra diferente para isso: eles chamam de oportunidade.

Regra 6: Se você fracassar, não é culpa de seus pais. Então não lamente seus erros, aprenda com eles.

Regra 7: Antes de você nascer, seus pais não eram tão críticos como agora. Eles só ficaram assim por pagar as suas contas, lavar suas roupas e ouvir você dizer que eles são "ridículos". Então antes de salvar o planeta para próxima geração querendo consertar os erros da geração dos seus pais, tente limpar seu próprio quarto.

Regra 8: Sua escola pode ter eliminado a distinção entre vencedores e perdedores, mas a vida não é assim. Em algumas escolas você não repete mais de ano e tem quantas chances precisar até acertar. Isto não se parece com absolutamente NADA na vida real. Se pisar na bola, está despedido, RUA!!!!! Faça certo da primeira vez.

Regra 9: A vida não é dividida em semestres. Você não terá sempre os verões livres e é pouco provável que outros empregados o ajudem a cumprir suas tarefas no fim de cada período.

Regra 10: Televisão NÃO é vida real. Na vida real, as pessoas têm que deixar o barzinho ou a boite e ir trabalhar.

Regra 11: Seja legal com os CDFs (aqueles estudantes que os demais julgam que são uns babacas, nerds). Existe uma grande probabilidade de você vir a trabalhar PARA um deles Bill Gates, dono da maior fortuna pessoal do mundo, e da Microsoft, a única empresa que enfrentou e venceu a Big Blues (IBM) desde de sua fundação em meados de 1900....A empresa que construiu o primeiro Cérebro Eletrônico (computador) do mundo. Copie, repasse, releia, e mostre a todos que você considera...

C U R V A S D E N Í V E L

Uma técnica para visualizar funções é a utilizada pelos cartógrafos,

nos mapas de contornos, em que todos os pontos têm a mesma elevação,

contorno este chamado de curvas de contorno ou curvas de nível.

Definição: - AS CURVAS DE NÍVEL DE UMA FUNÇÃO F DE DUAS VARIÁVEIS

SÃO AS CURVAS COM EQUAÇÃO F(X,Y) = K, ONDE K É UMA CONSTANTE(NO DOMÍNIO

DE F)

Uma curva de nível f(x,y) = k é o conjunto de todos os pontos do

domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, mostra onde o

gráfico de f tem altura k. Iremos observar na figura do exercício que se

segue, a relação entre as curvas de nível e os traços horizontais. As

curvas de nível f(x,y) = k são apenas traços do gráfico de f no plano

horizontal z = k projetado sobre o plano xy. Assim, se você traçar as

curvas de nível da função e visualiza-las elevadas para a superfície,

poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações

juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem

mais próximas umas das outras. Ela é mais ou menos plana onde as

curvas de nível estão distantes uma das outras.

Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas

topográficos de regiões montanhosas. As curvas de nível são curvas em

que a elevação em relação ao nível do mar é constante. Se você andar

sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá. Outro exemplo

comum é a função temperatura introduzida no início de funções de duas

variáveis. Aqui as curvas são chamadas de curvas isotérmicas e ligam

localidades que tem a mesma temperatura.

Extraído: STEWART, James. Cálculo volume 2. .4ªed. Pioneira, Thomson Learning. 2001. Págs. 878-879.

x Ir para página 37

y

z

Cálculo III – Módulo 01 – 1ª Lista

Prof. Marcos Vinícius Ribeiro Para Aquecer, determine o Domínio das seguintes funções, com U = R:

1. f(x) = 2x^3 2)^ 4 17

2 9 ( )

−

x

x f x

f ( x )= 8 3 x^2 − 13 x − 16

25

3 7 ( ) 2 −

= x

x f x

4

3 10 ( )

2 −

− + +

x

x x f x

f ( x )= ln( x^2 − 7 x ) 7)^ log^

5 6 5

2 ( )

− + −

x x x f x

f ( x )= sec( 2 x −^ π 7 )

Determine o esboço gráfico do domínio das funções e calcule se possível f(2,4) das

seguintes funções de duas variáveis, sabendo que ℜ →ℜ

f :^2

09) f(x,y) = 2 x^^ + y 16) f(x,y) = 4x

− y

1. f(x,y) =

2 2 4 − x − y 17) f(x,y) = 2x + 3y +^ xy

1. f(x,y) = (^22) 25

− x − y

1. f(x,y) = (^22)

4 4

y x

y x −

12) f(x,y) = ln(xy – 1) 19) f (x,y) = log ( 2 x^ +^ y )+ 2 x − y

1. f(x,y) = x + y^2 + ln(1 + xy) (^) 20) f(x,y) = ( ) 2

2

log

y + x

1. f(x,y) = (^) y x^2 x y

x y

• −

1. f(x,y) = xy −^1

2. f(x,y) = (^) x y x

x y

• −

1. f(x,y) = 49

1 x^2 + y^2 −

1. f ( x , y )= 8 9 − 9 x^2 − y^2 +ln( x^2 + y^2 − 4 ) 25)^ f^ (^ x , y )=^8 9 x^2 −^4 y^2 −^36 +ln(^25 − x^2 −^25 y^2 )

24) f^ (^ x , y )=^8 2 x − y +ln(^25 x^2 +^4 y^2 −^100 ) 26)^ f ( x , y )=^8 36 − 36 x^2 − y^2 +ln( x^2 − 9 + y^2 )

27)Exemplo Seja f a função com domínio D dada por f(x,y) = 9 – x^2 – y^2 e D = {(x,y) : x^2 + y^2 ≤ 9}. Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos z = 0, z = 2, z = 4, z = 6 e z = 8.

28) Aplicação: A temperatura T em um ponto (x,y) de uma placa de metal plana é dada por T(x,y) = 4x^2 + 2y^2. encontrar as equações das isotermas(curvas de nível) de T em 12, 8, 4, 0 e em seguida, com as equações obtidas, traçar um mapa de contorno. Encontrar a equação dos traços da função, fazendo seus gráficos e por fim esboçar o gráfico da função dada(superfície). Determinar ainda a Imagem da função Diversão: Esboce os gráficos das seguintes funções:

f ( x , y )= 1 − x^2 − y^2

f(x,y) = 4 – x^2 – 4y^2

f(x,y) = x^2 + y^2 – 1

2 2 6

f ( x , y )=^1 9 x + 4 y

f(x,y) = 6 – 2x – 3y

Comparativo das Equações Reduzidas das Cônicas, com centro na origem.

Circunferência Elipse Hipérbole Parábola

Equações

reduzidas

2 2 2 x + y = r 2 1

2

2

2

• = b

y

a

x

2 2

2

b

y

a

x

Exemplo 4x² + 4y² = 100 9x² + 4y² = 36 9x² - 4y² = 36

Coeficientes

de x² e y²

IGUAIS DIFERENTES DIFERENTES

IMPORTANTE:

1. Quando os valores de a e b forem iguais na Elipse, tem–se circunferência.
2. Quando os valores de a e b forem iguais na hipérbole diz–se hipérbole eqüilátera.

Aplicações Práticas

A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil (desprezando a resistência do ar); é utilizada na construção de espelhos parabólicos utilizados, por exemplo,nos faróis de automóveis. Você já lavou um carro com a mangueira? A trajetória que a água fez ao sair da mangueira é um lançamento obliquo, ou seja,uma parábola****. A propriedade reflexiva da parábola possibilita muitas aplicações como, por exemplo na forma do espelho de um holofote se obtém fazendo uma parábola girar em torno de seu eixo. Se uma fonte de luz é colocada no seu foco então por lei da física um raio de luz será refletido ao longo de uma reta paralela ao eixo. Emprega–se o mesmo principio na construção de espelhos para telescópios ou fornos solares. Um raio de luz refletindo em direção ao espelho parabólico, paralelamente ao eixo se refletira no foco. Esta propriedade é também utilizada em antena de sistema de radar, de televisão (parabólica), rádios telescópios e microfones de campo usados em jogos de futebol.

A Elipse é a curva que descreve a órbita dos planetas. Outras aplicações: Construção de refletores odontológicos: o objetivo é concentrar o Maximo de luz onde está trabalhando e também evitar que os raios luminosos incomodem o paciente. De maneira diferente dos holofotes comuns, como os faróis de carro, os holofotes dentários se valem de espelho elíptico para concentrar os raios luminosos emitido pela lâmpada colocada em um dos focos. Construção de aparelho de emissão de raios usados em medicina: Por exemplo, o aparelho de radioterapia cujos raios devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor. Nas salas de sussurro existentes. São construções de forma oval onde estão marcados dois pontos no chão, duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos podem se comunicar em voz sussurrada, inaudível no restante da sala. A forma da sala é de fundamental importância. Ao projeta – la fixam – se dois pontos P e Q que fica na altura da cabeça das pessoas. A seguir toma – se uma elipse que admita P e Q como focos e a sala é construída de tal maneira que qualquer plano que passe por estes pontos intercepte a sala segundo uma elipse congruente com a escolhida. A Circunferência é um caso particular da Elipse. Suas aplicações são múltiplas e conhecidas!

A Hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. Outras aplicações A propriedade da reflexão da hipérbole possibilita muitas aplicações úteis, como por exemplo, considere a superfície obtida girando

• se uma hipérbole em torno da reta que contem seu eixo real ( a superfície de um hiperbolóide de duas folhas) e admitindo – se espelhada a parte externa da superfície, todo o raio de luz incidente a superfície na direção de outro foco. Isso possibilita a criação do sistema de navegação hiperbólico desenvolvido na 2º guerra mundial como ajuda na navegação de navios e é baseado na definição de uma hipérbole. Com este sistema, o navio recebe sinais sincronizados de radio a partir de dois transmissores a grande distância com uma posição conhecida. O receptor eletrônico do navio mede a diferença nos tempos de recepção entre os sinais e usa essa diferença para calcular a distancia 2a.

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