Álgebra de Boole (L), Notas de estudo de Álgebra

Baixe Álgebra de Boole (L) e outras Notas de estudo em PDF para Álgebra, somente na Docsity!

Departamento Regional de São Paulo

Matemática

Álgebra de Boole

ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”

CAI - CURSO DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL

Y A B

Y AB AB

CAI - Curso de Aprendizagem Industrial

Matemática - Álgebra de Boole

 SENAI-SP, 2004

Trabalho organizado pela Escola SENAI “Almirante Tamandaré”, a partir dos conteúdos extraídos da Intranet do Departamento Regional do SENAI-SP.

1ª edição, 2004

Coordenação Geral Luiz Gonzaga de Sá Pinto

Equipe Responsável

Coordenação Celso Guimarães Pereira Estruturação Ilo da Silva Moreira Revisão Márcia Aparecida Perroni Silva

SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Regional de São Paulo Escola SENAI “Almirante Tamandaré” Av. Pereira Barreto, 456 CEP 09751-000 São Bernardo do Campo - SP Telefone: (011) 4122- FAX: (011) 4122-5877 (ramal 230) E-mail: [email protected]

Cód. 120.10.

INTRODUÇÃO

George Boole, matemático inglês do século XIX (1815-1864), desenvolveu a teoria da lógica binária com a intenção de explicar o funcionamento do pensamento humano.

Julgava ele que a dinâmica do pensamento tinha, como base, três operações lógicas (produto, soma e inversão) que, combinando entre si, desencadeavam desde o mais simples até o mais complexo raciocínio.

Essas três operações lógicas utilizam apenas dois símbolos aritméticos (0 e 1) que devem ser entendidos não como números, mas como estados lógicos antagônicos. Considerando, por exemplo, o símbolo 1 como representativo da ocorrência de um fato, o símbolo 0 será a negação dessa ocorrência, ou seja, a não ocorrência dele.

A tabela abaixo apresenta outras situações às quais podemos atribuir os estados lógicos 0 e 1.

Tabela

Estados lógicos

Situações

1 SIM VERDADEIRO LIGADO ACESO ABERTO MOVIMENTO 0 NÃO FALSO DESLIGADO APAGADO FECHADO REPOUSO

Assim, partindo de apenas 3 operações lógicas e 2 símbolos, foi possível construir toda uma teoria algébrica composta de vários teoremas e tabelas que tiveram, posteriormente, grande aplicação na eletrônica e na computação.

OPERAÇÕES BOOLEANAS

São três as operações lógicas criadas por Boole:

Operação Produto (. )

Representada pelo operador E

Define-se que:

0.0 = 0 (lê-se: zero e zero igual a zero)

0.1 = 0

1.0 = 0

1.1 = 1

Operação Soma ( + )

Representada pelo operador OU

Define-se que:

0 + 0 = 0 (lê-se: zero ou zero igual a zero)

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

TABELA - VERDADE

A tabela-verdade é um quadro que, devidamente preenchido, gera todos os estados lógicos assumidos pelas variáveis da função lógica.

Construção

Deve conter linhas e colunas suficientes para alojar todas as combinações possíveis de todos os estados lógicos das variáveis binárias independentes, incluindo os estados lógicos resultantes.

Disposição

O número de colunas deve incluir o número de variáveis binárias independentes, as operações lógicas intermediárias e uma saída relativa aos valores resultantes.

Exemplo

Função lógica: Y = A. ( B + C )

Variáveis independentes: A, B, C (n = 3)

Variável dependente: Y

Tabela-verdade

nº de linhas = 2 n^ + 1 (1ª)

nº de colunas = 7

A B C B C B + C Y = A. ( B + C )

Exercícios

Construa a tabela-verdade para as seguintes funções lógicas:

1. Y = (A + B). C

2. Y = AB + AB + B C

P 16 : A + A. B = A (absorção)

P 17 : A + A. B = A + B (absorção do complemento)

P 18 : A. ( A + B ) = A

P 19 : A. ( A + B ) = A. B

P 20 : ( A + B ). ( A + B ) = A

P 21 : A B + B C + A C = A B + B C + A C (translação do complemento)

Observação

O ponto (.), que indica a operação booleana E, foi omitido do P 21. A omissão é sempre válida.

Qualquer uma dessas propriedades ou teoremas pode ser demonstrada pela tabela-verdade.

Como exemplo, vamos demonstrar o teorema da absorção (P 16 ), pois trata-se de um excelente recurso para simplificação de expressões lógicas, como veremos mais adiante. Eis a sua demonstração pela tabela-verdade.

A B AB A + AB

Comparando os resultados obtidos na 1 a^ e última coluna, verificamos que são idênticos, o que demonstra o teorema.

A + AB = A

Isso justifica o nome de absorção, ou seja, a variável A aparecendo sozinha absorve qualquer

termo que contenha A multiplicada por outra variável. Assim, uma expressão do tipo:

Y = A + A C + ABD + ACD + BC

Pode ser reduzida a Y = A + BC, pois todos os termos intermediários: A C , ABD e ACD são

absorvidos por A.

O teorema da translação do complemento (P 21 ) também pode ser demonstrado pela tabela- verdade.

Queremos provar que:

A B + B C + C A = A B + B C + C A

Chamaremos o 1° membro de Y 1 e o 2° membro de Y 2.

Portanto, vamos construir duas tabelas-verdades e constatar que os resultados finais são iguais, isto é, Y 1 = Y 2.

A B C A B C A B B C C A Y 1 = A B + B C + C A

Y = A + B + C + ... ⇒ Y = A. B. C. ...

Y = A. B. C. ... ⇒ Y = A + B + C + ...

A demonstração deste teorema é feita também pela tabela-verdade.

Exercícios

Prove que:

1. A B⋅ ≠ A. B

2. A + B ≠ A + B

3. A B C⋅ ⋅ = A + B + C

4. A + B+C= A. B. C

PORTAS LÓGICAS

O estudante de Eletrônica lida com vários componentes: resistores, capacitores, diodos, transistores, indutores e circuitos integrados (CIs). Dentro dos CIs existem dispositivos especiais chamados portas lógicas. Cada porta lógica tem uma ou mais entradas e uma única saída.

Matematicamente, as variáveis binárias independentes (A, B, C, ...) entram na porta lógica, são operadas segundo a sua função específica e a porta apresenta, na saída, a variável dependente Y (função lógica).

Os sistemas digitais mais complexos, tais como os computadores de grande porte, são construídos a partir das portas lógicas básicas. Essas portas operam segundo a álgebra de BOOLE e serão estudadas a seguir.

Todos os símbolos que representam as portas lógicas estão de acordo com as normas da ASA (American Standard Association).

Porta E

(Duas ou mais entradas e uma única saída)

Função lógica: Y = A.B

Porta OU

(Duas ou mais entradas e uma única saída)

Função lógica: Y = A + B

Y

A B A + B

Y

A B AB

A. B

A

B

A

B A + B

Porta NÃO OU

(Duas ou mais entradas e uma única saída)

Função lógica: Y = A +B

Porta OU EXCLUSIVO

(Duas entradas e uma única saída)

Função lógica: Y = A B + A B = A ⊕ B

Porta EQUIVALÊNCIA

(Duas entradas e uma única saída)

Função lógica: Y = AB + A B = A ⊕B

Y

A B A B A B A B A B + A B

Y

A B A + B A +B

Y

A B A B AB A B AB + A B

A

B

A ⊕ B

A

B

A ⊕B

A

B

A +B

Combinação de portas lógicas

Muitos problemas de lógica digital utilizam-se de portas lógicas. Essas portas podem combinar entre si formando estruturas mais complexas às quais chamaremos circuitos lógicos. Cada circuito lógico pode ser representado por uma expressão booleana e esquematizado por um diagrama lógico.

Um circuito muito comum está esquematizado no diagrama abaixo.

Diagrama lógico E-OU

Expressão booleana correspondente: Y =

Tabela-verdade:

A

B

C

Entradas Y Saída

b)

Expressão booleana correspondente: Y =

Tabela-verdade:

c)

A B C Y A B C Y

Expressão booleana correspondente: Y =

Tabela-verdade:

d)

Expressão booleana correspondente: Y =

Tabela-verdade:

A

B

C

Y