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ÁLGEBRA DE BOOLE
POSTULADOS, TEOREMAS E PROPRIEDADES
A aplicação principal da álgebra de Boole é o estudo e a simplificação algébrica de circuitos lógicos. As variáveis booleanas podem assumir apenas dois valores: 0 e 1.
Na realidade uma expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas e o resultado será sempre 0 ou 1.
Consideremos por exemplo: S = A + B
Tanto S, como A, como B só podem assumir os valores 0 ou 1.
POSTULADOS:
Os postulados são utilizados na minimização bem como na manipulação de expressões lógicas.
1 - POSTULADO DA COMPLEMENTAÇÃO:
2 - POSTULADO DA ADIÇÃO:
Este postulado determina as regras da adição na álgebra de Boole, sendo que o circuito lógico desse postulado é representado pela função OR.
A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir:
3 - POSTULADO DA MULTIPLICAÇÃO:
Este postulado determina as regras da multiplicação na álgebra de Boole, sendo que o circuito lógico desse postulado é representado pela função AND.
A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir:
Veja a seguir exemplos para melhor elucidação:
PROPRIEDADES:
a) comutativa b) associativa c) distributiva
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1 – Propriedade comutativa na adição:
A + B = B + A
Tomemos como exemplo a expressão: A + B + C = S Aplicando a propriedade comutativa veremos que as expressões se equivalem: A + C + B = S C + B + A = S B + C + A = S, e assim por diante
Vejamos como fica a montagem da tabela da verdade:
A B C A + C + B C + B + A B + C + A S 0 0 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 0 0 1 0 + 1 + 0 1 + 0 + 0 0 + 1 + 0 1 0 1 0 0 + 0 + 1 0 + 1 + 0 1 + 0 + 0 1 0 1 1 0 + 1 + 1 1 + 1 + 0 1 + 1 + 0 1 1 0 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 1 0 + 0 + 1 1 1 0 1 1 + 1 + 0 1 + 0 + 1 0 + 1 + 1 1 1 1 0 1 + 0 + 1 0 + 1 + 1 1 + 0 + 1 1 1 1 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1
2 – Propriedade comutativa na multiplicação:
A. B = B. A
Tomemos como exemplo a expressão: A. B. C = S
Aplicando a propriedade comutativa veremos que as expressões se equivalem: A. C. B = S C. B. A = S B. C. A = S, e assim por diante
Vejamos como fica a montagem da tabela da verdade:
A B C A. C. B C. B. A B. C. A S 0 0 0 0. 0. 0 0. 0. 0 0. 0. 0 0 0 0 1 0. 1. 0 1. 0. 0 0. 1. 0 0 0 1 0 0. 0. 1 0. 1. 0 1. 0. 0 0 0 1 1 0. 1. 1 1. 1. 0 1. 1. 0 0 1 0 0 1. 0. 0 0. 0. 1 0. 0. 1 0 1 0 1 1. 1. 0 1. 0. 1 0. 1. 1 0 1 1 0 1. 0. 1 0. 1. 1 1. 0. 1 0 1 1 1 1. 1. 1 1. 1. 1 1. 1. 1 1
3 – Propriedade associativa na adição:
Na expressão A + B + C = S, aplicando a propriedade associativa temos várias equivalências, como por exemplo:
A + (B + C)F 0 E 8(A + B) + CF 0 E 8B + (C + B)...
A tabela da verdade abaixo elucida melhor o conceito:
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6 – Propriedade distributiva na multiplicação:
Considerando a expressão: A.(B + C) ou A(B + C)
Obs: normalmente não há necessidade de utilizar o ponto como indicativo da multiplicação.
Aplicando a propriedade distributiva para a multiplicação, teremos:
A.(B + C) = (A.B) + (A.C)
A(B + C) = (AB) + (AC)
A tabela da verdade a seguir mostra a equivalência
A B C A. (B + C) (AB) + (AC) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
TEOREMAS de DE MORGAN
A álgebra de Boole é muito utilizada na simplificação algébrica de circuitos lógicos.
Muitas vezes para otimizar um circuito lógico é preciso fazer a conversão ou comutação de funções OR e AND.
Em outras palavras, isto significa que uma função OR deve ser convertida em uma função AND e vice-versa.
Para essa conversão ou transformação são utilizados os TEOREMAS de DE MORGAN que na realidade servem para obter o complemento de qualquer função booleana.
Teorema 1:
O complemento do produto é igual a soma dos complementos.
Veja na tabela abaixo as equivalências:
Teorema 2:
O complemento da soma é igual o produto dos complementos.
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Veja na tabela a seguir as equivalências:
REGRA GERAL PARA A APLICAÇÃO DE DE MORGAN
Dada a expressão: A + B + C + D
- Converte-se a função OR em AND;
- Complementa-se individualmente cada variável ou termo;
- Complementa-se toda expressão:
Cada variável pode ser considerada como um termo. No exemplo acima, a expressão possui 4 variáveis ou 4 termos.
Por exemplo, no caso da expressão: A + BC + D = S , a mesma possui 4 variáveis mas está expressa em 3 termos.
A = primeiro termo BC = segundo termo D = terceiro termo Aplicando De Morgan nos três termos:
Partindo da expressão A + BC + D = S , podemos aplicar De Morgan apenas no segundo termo:
Teremos então:
EXEMPLO:
Dada a expressão abaixo, utilizar De Morgan :
- Utilizando a regra geral, podemos converter para uma função AND.
- Se aplicarmos De Morgan nos termos BC e AC que estão complementados, tudo poderá ser convertido em função OR. Lembrar que o complemento do produto é a soma dos complementos.
Partindo então da mesma expressão:
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