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Lista de Exercícios - MA-141 - 04/03/
MATRIZES
Nesta lista Mm×n(R) denotará o conjunto de todas as matrizes m × n com entradas reais.
- Sejam
A =
, B =
(^) e C =
Calcule AB, BC, A^2 e A^2 + BC
- Sejam
A =
(^) e B =
a) Chame C = A.B e verifique que C 1 = AB 1 e que C 2 = AB 2 , sendo que para j = 1, 2 , Cj ( Bj ) é a j-ésima coluna de C (B ). b) De modo análogo verifique que: a segunda coluna de C = A^2 é C 2 = AA 2 (A 2 é a 2a coluna de A). c) Uma generalização do que foi feito em a) e b) pode ser vista da seguinte maneira: Sejam A uma matriz m × n, B uma matriz n × k e C = AB. Se Cj é a j-ésima coluna de C, verifique Cj = ABj onde Bj é a j-ésima coluna de B.
- a) Sejam A e B duas matrizes quadradas n × n. Mostre que:
(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.
b) Suponha agora que: A =
e B =
e verifique que AB 6 = BA e conclua que neste
caso (A + B)^2 6 = A^2 + 2AB + B^2.
c) Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B são duas matrizes quadradas n × n, então (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 se e somente se AB = BA.
- Sejam M 2 × 2 (R) o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 com entradas reais e M =
a) Mostre que: Se A ∈ M 2 × 2 (R) então AM = M A se e somente se A =
a b −b a
b) Mostre que se A, B ∈ M 2 × 2 (R) comutam com M então A e B comutam entre si, i.e, AB = BA.
- a) Determine todas as matrizes D ∈ M 2 × 2 (R) que são diagonais e que satisfazem: DB = BD qualquer que seja a matriz B ∈ M 2 × 2 (R). b) Determine todas as matrizes A ∈ M 2 × 2 (R) que satisfazem:AB = BA qquer que seja B ∈ M 2 × 2 (R). c) Tente generalizar a) e b) para matrizes n × n.
- Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). a) Se A é matriz n × n e A^2 = 0 então A = 0 , aqui 0 é a matriz nula. b) A única matriz n × n simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula. c) Se A é uma matriz n × n e A^2 = In então A = In ou A = −In (In é a matriz identidade n × n). d) Se A e B são duas matrizes n × n e AB = BA, então (AB)p^ = ApBp^ para todo número natural p.
SISTEMAS LINEARES e DETERMINANTES
- Decida quais das matrizes abaixo está na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que não estão encontre as suas respectativas matrizes na forma escada
- Em cada um dos sistemas abaixo encontre, usando o metódo de Gauss, sua solução geral:
4 x +3y −z +t = 4 x −y +2z −t = 0 5 x +2y +z = 4
x +5y +4z − 13 z = 3 3 x −y +2z +5t = 2 2 x +2y +3z − 4 t = 1
x −y +2z −t = 0 3 x +y +3z +t = 0 x −y −z − 5 t = 0
- Seja M =
a 0 b 2 a a 4 4 0 a 2 b
(^) a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a
e b o sistema admite: a) Solução única b) Solução com uma variável livre c) Solução com duas variáveis livres d) Nenhuma solução.
- Considere o sistema AX = B, com
A =
4 1 a^2 − 16
(^) e B =
a + 14
(a) Determine o valor (ou valores) de a para que o sistema tenha solução única. (b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas soluções? (c) Existem valores para a de forma que o sistema não tenha solução?
- Sabendo que o sistema
x +y +z = 1 mx +2y +3z = 0 m^2 x +4y +9z = 1
admite uma única solução, podemos concluir que m
pode assumir todos os valores do intervalo real:
a) [0, 1] b) [1, 2] c) [3, 4) d)[0, 4].
- a) Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cujo gráfico passa pelos pontos P 1 = (0, 10), P 2 = (1, 7), P 3 = (3, −11) e P 4 = (4, −14).
b) Determine coeficientes a, b e c da equação do círculo, x^2 + y^2 + ax + by + c = 0, que passa pelos pontos P 1 = (− 2 , 7), P 2 = (− 4 , 5) e P 3 = (4, −3)
- Considere o sistema (∗) AX = B, com A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1. a) Mostre que: se Y 1 e Y 2 são soluções do sistema homogêneo associado AX = 0 e a e b são números reais então Z = aY 1 + bY 2 também é solução do homogêneo associado.
b) Mostre que: Se X 1 e X 2 são soluções de (∗) então Y = X 2 − X 1 é solução do sistema homogêneo associado AX = 0.
c) Suponha que X 0 é uma solução particular de (∗) e mostre que qualquer solucão X de (∗) é da forma X = X 0 + Y , com Y solução do homogêneo associado.
