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SCEM JOHN K. BAUMGART Tópicos de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA para uso em sala de aula ÁLGEBRA NUIRIA 0.229.419-8 Livros & Limos DO LIVRO NOVO AO USADO COMPRA — VENDA — TROCA Especializada em CIÊNCIAS BUMANAS E SOCIAIS R. Deodoro, 191 -S, 02/04 C.P. 3317 FONEIDAX PRISMA 88030-020 — Florianópolis — SC Lelo no Hall de CCH. (UFSC) Fone 33-4096 UFSC-BU toma, * A g E * National Council ot Tesches of Mabe 1969) : GO (Obra publicada em 1 volume. Título original: ES MDDIEE Historial Toi for the Muthematis Cisroom) E e Copyright desta edição: o omato ATUAL EDITORA LTDA,, 1994. EDITORA AFILIADA Todos os direitos reservados, Dados Internacionais de Catalogação na Pablicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Baumaart, John K. História da álgebra / John K. Baumgart; trad, Hiygino H. Domingues. — São Paulo : Atual, 1992. — (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula ; v. 4) Bibliografia. ISBN 8570564546 1. Álgebra — História 2. Matemática (2º grau) 3. Matemática — História 1. Título. IL. Série. - 9-1786 CDD-s10.9 Série: Tópicos de História da Matemática para nso em sala de aula, ÁLGEBRA dede ta Regi Pp giras) 3 GG) prumo: pára Pesa Arca adora editoria: Sandra Lucia Abrano “ Assistente editorial: Maria de Lourdes Chaves Ferreira “hefe de preparação de texto e revisão: Noé G. Ribeiro Chefe de arte: Zildo Braz Gerente de produção: Amonio Cabello Q. Filho Colaboradores: Hygino H. Domingues (tradução) a Monica Stahel (revisão da tradução) 5 IO Capa: Sylvio de Ulhôs Cintra Filho a Composição e arte final: K.L.N. . Fotolito: Binhos/Fotoset. o ATUAL EDITORA LTDA. Rua José Antônio Coelho, 785 04011-062 — São Paulo — SP Tel.: (011) 5785-1544 ISBN 85-7056.454-6 NOS PEDIDOS TELEGRÁFICOS BASTA CITAR O CÓDIGO ADRMS214D LOLIES Apresentação Nos últimos anos, vem se notando nos meios matemáticos preocu- pados com o ensino um certo empenho em valorizar a história da matemáti- ca como recurso didático. Como reflexo disso podem-se observar hoje desde textos de história da matemática inseridos em livros escolares destinados a níveis elementares até a incorporação de disciplinas especificas sobre o assunto nos currículos de algumas faculdades. Uma única pergunta se justificaria a respeito dessa tendência: por que somente agora? A matemática, desde os seus primórdios, entrelaça-se tão in- timamente com a história da civilização, sendo mesmo uma das alavancas principais do progresso humano, que sua história é não só altamente motiva- dora em termos de ensino como também muito rica em aspectos culturais. Uma resposta satisfatória à pergunta feita certamente não caberia em pou- cas linhas. Mas, sem dúvida, um de seus pontos seria a limitação bibliográ- fica que nos cerca, muito em particular quanto à matéria em consideração. A presente série vem, assim, atender oportunamente uma área muito específica e muito importante. Pois trata-se dos cinco capítulos que compre- endem a matemática elementar (cada um deles correspondendo a um volu- me da série) do livro Historical Topics for the Mathematics Classroom, do respeitável National Council of Teachers of Mathematics dos Estados Uni- dos, feito com a finalidade de “usar a história da matemática no ensino da matemática”. Procurou-se, na elaboração do referido livro, contemplar, entre outras, As seguintes proposições: a) a criação de um texto que independesse de pré-requisitos específicos por parte do leitor; b) a inclusão, sempre que possível, de assuntos de valor matemático significativo para todos os níveis escolares; c) o fornecimento de material com possibilidades de uso imediato na sala de aula; d) a possibilidade de servir de motivação para professores e alunos com vistas a estudos correlatos; e) a possibilidade de servir de referên- cia para cursos superiores relativos à história da matemática e ao ensino da matemática. O conteúdo histórico prevalece amplamente em cada volume, mas a forma em que é apresentado e disposto difere bastante daquelas costumeira- mente encontradas nos livros sobre o assunto, até para atender às especifici- dades das proposições citadas. Assim é que cada volume consta de duas par- tes. A primeira é uma visão geral, com o objetivo de dar ao leitor um qua- dro tão amplo quanto possivel do desenvolvimento histórico da área focaliza- da; a segunda, levando em conta a importância que muitas vezes têm os de- talhes em história, é formada de cápsulas que visam “tornar facilmente aces- «síveis fatos pertinentes relativos a importantes teoremas, conceitos e avanços em matemática”. Essas cápsulas, embora possam ser lidas independentemen- te, servem de complementação à visão geral que as precede e muitas vezes incluem referências para leituras adicionais. Numa área é possível que o leitor encontre menos ênfase do que a que talvez gostasse de encontrar: a das biografias. É inquestionável que a vida dos grandes matemáticos (como seres humanos) desperta grande curiosidade nos alunos e episódios ou anedotas a respeito podem ser, quando bem utiliza- dos em sala de aula, de grande valor didático. Mas é exatamente esse mate- rial o mais comumente disponivel. Em vista disso optou-se por dar mais espa- soa tópicos que, embora importantes, não são tão explorados nos livros existentes. De maneira agradável, em linguagem simples mas rigorosa, esta obra conduzirá o leitor a alguns dos episódios mais interessantes de uma das gran- des aventuras intelectuais do homem. Da primitiva enumeração à idéia abs- trata de número; dos cálculos com seixos ao computador eletrônico; da geo- metria subconsciente à axiomática formalizada; das tabelas de sombras obti- das com gnômons à expansão em séries de potências das funções trigonomé- tricas; da álgebra retórica e imediatista dos egípcios à abrangência ilimitada das estruturas algébricas modernas — estas as cinco grandes vertentes dessa aventura focalizada nos volumes que compõem a presente série. E dessa incursão certamente ficará, a par de uma admiração ainda maior pela argúcia e pela perseverança do espírito humano, a lição de que a matemática de fato é, conforme palavras do historiador Morris Kline, “o método por excelência para investigação, representação e domínio da nature- za”, Pois “nos campos em que ela é eficaz, é tudo o que temos; se não é a própria realidade, é aquilo que mais perto da realidade podemos obter”. Voltando às considerações iniciais, acreditamos que não seria excesso de otimismo, em face das características da presente obra, acreditar que ela poderá contribuir significativamente para consolidar o papel da história da matemática no ensino, abrindo-lhe inclusive mais espaço. Ou seja, contribuir para que o movimento atual de valorização didático-cultural da história da matemática não seja apenas mais uma moda passageira em nosso ensino. O tradutor * Introdução: uma visão geral Sumário Cápsula 1 — Equações e as maneiras como são escritas. Cápsula 2 — O teorema binomial . Cápsula 3 — Frações contínuas .... Cápsula 4 — Oughtred e a régua de cálculo Cápsula S — Método de Horner Cápsula 6 — Solução da equação polinomial de grau três a graus maiores 46 Cápsula 7 — Vetores Cápsula 8 — Determi Cápsula 9 — Álgebra booleana .... Cápsula 10 — Congruências (mod m) Cápsula 11 — Números complexos (A história de v-1) Cápsula 12 — Quatérnions .. Cápsula 13 — A álgebra grega primitiva Cápsula 14 — Álgebra hindu .. Cápsula 15 — Álgebra arábica, 820-1250 Cápsula 16 — Álgebra na Europa, 1200-1850 Cápsula 17 — Função Cápsula 18 — Indução Cápsula 19 — Teorema fundamental lg: Cápsula 20 — A regra de sinais de Descartes Cápsula 21 — Funções simétricas Cápsula 22 — Discriminantes .. 9 Cápsula 23 — Juro € anuidades 96 Cápsula 24 — Notação exponencial 98 Cápsula 25 — Regra de falsa posição Bibliografia citada no texto Índice remissivo PRINCIPAIS CORRENTES NO FLUXO DA ÁLGEBRA -300 628 825 1100 1202 1450 1494 1545 1572 1600 1700 EGITO Papiro Rhind BABILÔNIA ábulas de Argila! GRÉCIA | Pitágoras Euclides Arquimedes Apolônio Pare, GRÉCIA II Diofanto Papus ss NA? ) 4 [EUROPA Fibanacei-Liber abaci Imprensa Pacioli-Suma Ferrari, Tataglia, Cardano Bombelli Vito Newton IMPÉRIO ÁRABE |ALKhowarizmi Omar Khayyam Especialmente numerais indo-arábicos f ] ] t ] f 1 í ' I ! ' 1 l 1 1 t ! I , 1 1 ' y : & j mo toma, + Khwarizm “NE NS Atos, patitônia 4 Siracusa * Bagdá Alexandria ARÁBIA ) ] I ] ] t f 1 ] t ] 1 ] ] I 1 ] I ÍNDIA Brahmagupta Bhaskara ÍNDIA Talvez valha a pena um último comentário filológico a respei- to de um aspecto mais leve. Os árabes marroquinos introduziram a palavra aigebrista (“restaurador [isto é, consertador] de ossos que- brados”) na Espanha moura. Como consertar ossos quebrados e sangrias eram serviços adicionais oferecidos em barbearias, o bar- beiro local era conhecido como aigebrista. Daí, também, os mas- tros de barbearia* vermelhos. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a pa- lavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos — para mencionar apenas algu- mas. De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronoló- gica como conceitual. Equações algébricas e notação A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gra- dual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral com co- eficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução ““geral'” das equações cúbicas e quárticas (c. 1545) e o inspirado tratamento das equações polino- miais em geral feito por François Viete, também conhecido por Vie- ta (1540-1603). O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usa- das abreviações de palavras) € o simbólico. No último estágio a no- tação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se ra- zoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton (c. 1700). É interes- sante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem **'3.1416'” co- mo aproximação de x, e muitos europeus escrevem **3,1416”*. O sím- bolo “”* é usado às vezes para “aproxima-se de um limite” e às vezes para “é aproximadamente igual a”. Em alguns países euro- peus “=” significa “menos”. + No original, barber poles. Mastros com listras diagonais vermelhas que indicam as barbea- rias, em países como os Estados Unidos e a Ingláterra. (N.T.) Álgebra babilônica — estilo retórico Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, pare- ce apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela re- -gião. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. E um exemplo típico dos problemas encontra- dos em escrita cuneiforme, em tábulas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi (c. 1700 a.C.). A explanação, naturalmen- te, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna paralela à di- reita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. [1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura. [2] [Dado] 32 soma; x+y=k 252 área. x =P)JT (a) [B] [Resposta] 18 compri- mento, 14 largura. [4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16). ja 16 x 16 = 256 256 — 252 = 4 A raiz quadrada de 4 é 2. 16 + 2 = 18 comprimento. + +t=x. 16 — 2 = 14 largura. + —-t=2. [5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura. p k k = . D+n(=-r 18 x 14 = 252 área. (5 )(5 ) k =H p=P=). 4 xy Note-se que (1) o problema é formulado, (2) os dados são apre- sentados, (3) a resposta é dada, (4) o método de solução é explica- do com números e, finalmente, (5) a resposta é testada. A “receita”” acima (como B. L. Van der Waerden /65/ cha- ma o método de solução) é usada repetidamente em problemas se- melhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões. Antes de tudo, não é a maneira como resolveriamos hoje o sis- tema (A). O procedimento-padrão nos atuais textos escolares de ál- gebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substitui- ção. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substitui- ção, mas fregiientemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em ter- mos de uma nova incógnita (ou parâmetro) + fazendo x=(k/2)+tey=(k/2)-t Entãoo produto w= (EE -)=(if-eer levava-os à relação (B): kN HP pop, 6) t Em segundo lugar, o problema acima tem significado históri- co porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Eucli- des (que em seus Elementos organizou a maior parte da matemáti- ca existente em seu tempo) seguia o mesmo método de solução — traduzida, entretanto, em termas de segmentos de retas e áreas e ilus- trada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações “diofantinas”. Ele deu início ao simbolismo moder- no introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tan- to intrincado da álgebra geométrica. Na solução desta construção solicitada (ver Fig. 2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do pro- blema equivalente, Conforme indicado por T. L. Heath /EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes: . Bissecte AB em M: Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área = ( igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P: Então é claro que y= + -t + 2 Construa o quadrado MBCD: (+ y + 2 Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante — neste caso, x = (k/2) + t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou, É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão ba- bilônicos tenham sido “refeitos”” desse modo por Euclides, Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra es- ta formulação desajeitada? A resposta (que Van der Waerden /125/ sugere) é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais. Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contor- nar as frações, tratando-as como razões entre inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como v2. Lembremos o “es- cândalo lógico” dos pitagóricos quando descobriram que a diago- nal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou se- ja, diag/lado =» razão de dois inteiros). Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que v2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmen- to de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo line- ar era literalmente linear! De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fa- to, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analí- tica das cônicas — toda fraseada em terminologia geométrica — do que os cursos universitários de hoje. 8 A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação ro- mana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ain- da que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica (experimente-se ler Apolô- nio!), esta não poderia sobreviver somente da tradição escrita; ne- cessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível se- guir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagra- mas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram. Notação algébrica sincopada Todavia, alguns séculos mais tarde o matemático grego Diofan- to deu novo impulso à álgebra na trilha dos antigos métodos babilô- nicos. Diofanto introduziu o estilo sincopado de escrever equações. Estudou e trabalhou na Universidade de Alexandria, onde Euclides ensinara. Pouco se sabe sobre sua vida, exceto o que é dito no se- guinte quebra-cabeça algébrico em versos tirado da Anthologia pala- tina: Aqui jaz Diofanto.”” Maravilhosa habilidade — Pela arte da álgebra a lápide nos diz sua idade: “Deus lhe deu um sexto da vida como infante, Um ducdécimo mais como jovem, de barba abundante; E ainda uma sétima parte antes do casamento; Em cinco anos nasce-lhe vigoroso rebento Lástima! O filho do mestre e sábio do mundo se vai Morreu quando da metade da idade final do pai Quatro anos mais de estudos consolam-no do pesar; Para então, deixando a terra, também ele alívio encontrar. (Responda: quantos anos Diofanto viveu? Oitenta e quatro?) A fama de Diofanto baseia-se em sua Arithmetica, na qual ele apresenta um engenhoso tratamento das equações indeterminadas — geralmente duas ou mais equações em diversas variáveis que têm uma infinidade de soluções racionais. Estas são chamadas, com fre- qiuência, equações diofantinas, embora Diofanto não tenha sido o primeiro a resolver tais sistemas. Sua abordagem é inteligente, mas ele não desenvolveu um método sistemático de encontrar soluções gerais. Sua abordagem segue as linhas babilônicas no sentido de que ele expressa todas as incógnitas em termos de um parâmetro, e depois obtém uma equação envolvendo só o parâmetro. Deixamos Diofanto dando um exemplo de sua álgebra sincopada KI sn/ATe M8 éori Lô; isto é - 22 x8-25 1:4=4 ou V$ + Br — (65X + 4)=4 Note-se o sinal menos, A. (Para uma explanação completa dos símbolos e seus significados, ver [1]*.) Álgebra hindu e arábica A cena transfere-se agora brevemente para a Índia e a civiliza- ção árabe. Pouco se sabe sobre a matemática hindu antes dos sécu- los IV ou V d.C., devido à carência de registros históricos do perío- do antigo. A Índia sofreu numerosas invasões, seguidas da Pax Ro- mana, o que facilitou o intercâmbio de idéias. As realizações babilô- nicas e gregas, em particular, eram conhecidas, ao que parece, pe- los matemáticos hindus. Brahmagupta trabalhou num estilo sincopa- do no qual 5xy + V35 — 12 seria escrito do seguinte modo (o signi- ficado é dado abaixo — ver também [1): ya ka 5 bha kla) 35 ru 12 x y 5 produto irracional número —12 35 “puro” Brahmagupta (c. 628) e Bhaskara (c. 1150) foram os mais preemi- nentes algebristas hindus. Os hindus resolviam equações quadráti- cas completando. quadrados, e aceitavam números negativos e raí- zes irracionais; também tinham conhecimento de que uma equação quadrática (com raízes reais) tem duas raizes. O trabalho dos hindus com equações indeterminadas era supe- rior ao de Diofanto. Eles tentavam achar todas as soluções inteiras possíveis e foram, talvez, os primeiros a dar métodos gera de solu- ção. O trabalho de Brahmagupta e Bhaskara sobre a chamada equa- ção de Pell, 2 = ax? + 1 (onde a é um inteiro não quadrado perfeito), é excelente. E eles mostraram como obter uma infinidade de solu- ções a partir de uma dada solução x, y (desde que xy = 0). * O número destacado entre colchetes indica a cápsula que trata do assunto. (N.T.) 10 O advento do islamismo forneceu o ímpeto que logo (c. 700) levaria os árabes à conquista da Índia, Pérsia, Mesopotâmia, Nor- te da África e Espanha. Dessa forma, os árabes obtiveram (avida- mente) os escritos científicos de gregos e hindus, que traduziram para o árabe preservando-os assim ao longo da Idade Média da Eu- ropa. Uma de suas aguisições mais brilhantes foi o sistema de nu- merais hindu (muitas vezes chamado arábico), como veremos. Nosso principal interesse durante o período arábico centra-se em al-Khowarizmi porque seus livros (o Al-jabr e o Liber algoris- mi, ambos já mencionados) foram posteriormente traduzidos para o latim (c. 1200), influenciando grandemente a matemática européia. Mas esse trabalho não está à altura de padrões anteriores; como as- sinala Van der Waerden, al-Khowarizmi rejeitou a “erudição gre- ga” e ignorou outros resultados já alcançados. Seu objetivo era es- crever um livro prático sobre resolução de equações. Seu estilo era retórico, e seu trabalho não foi tão bom quanto o dos babilônios e hindus. Alguns leitores poderão ficar agradavelmente surpresos em sa- ber que o autor de Rubaiyat, Omar Khayyam (c. 1100), não foi ape- nas um poeta persa, mas também um matemático de primeira linha do mundo árabe. Ele fez uma importante contribuição à álgebra ao usar a intersecção de cônicas para obter uma solução geométri- ca para certos tipos de equações cúbicas. Quando Toledo, na Espanha moura, caiu nas mãos dos cris- tãos (1085), o Al-jabr de al-Khowarizmi, o Almagesto de Ptolomeu (um trabalho de astronomia), os Elementos de Euclides e muitos outros textos gregos e árabes foram traduzidos para o latim por eru- ditos cristãos que acorreram à Espanha. Todavia, ainda mais impor- tante para a Europa, especiamente a Itália, foi o Liber abaci (1202) de Fibonacci (Leonardo de Pisa), onde o autor resolvia equações no estilo retórico e geral de al-Khowarizmi e defendia veementemen- te o uso dos numerais indo-arábicos, dos quais tomara conhecimen- to em suas viagens a vários países como mercador e comerciante. Que felicidade para a matemática que o caixeiro-viajante Fibo- nacci tivesse esses interesses intelectuais! Não é de surpreender que as câmaras de comércio (em Pisa e cidades-Estado vizinhas da Itália) resistissem de início à adoção dos “novos” numerais hindu-arábicos e, de fato, vissem-nos com des- confiança; mas gradualmente eles foram sendo adotados, e o velho ábaco acabou sendo guardado no ático. Não há nenhuma evidência de que Fibonacci tenha sido intimado a comparecer perante a Co- missão de Atividades não Numéricas! “ 1. ele foi o primeiro a exibir três raizes de uma cúbica particu- lar (suspeitava, na verdade, de que existissem três raizes pa- ra todas as cúbicas, mas estava confuso com as raízes nega- tivas e imaginárias); reconheceu, pelo menos em certo sentido, as raizes 'negati- vas, que chamou “'fictícias"”; 3. teve a curiosidade intelectual de verificar o que aconteceria ao se operar com números como 5 +v— 15, que hoje chama- mos de “complexos” ou “'imaginários”; 4. reconheceu o ““caso irredutível” na solução de uma cúbica; 5. removeu O termo x? de uma equação cúbica (esta remoção teve mais alcance “teórico-geral'”' do que ele imaginava); 6. afirmou que a soma das três raizes de uma cúbica é o opos- to do coeficiente de xº. » O divisor de águas do pensamento algébrico (separando o anti- go fluxo raso da “solução manipulativa de equações” da moderna corrente profunda que começa com propriedades teóricas das equa- ções) concretiza-se no francês François Viete, que foi o primeiro, em sua logística speciosa, a introduzir letras como coeficientes gené- ricos (positivos) e a dar alguns outros toques de acabamento no sim- bolismo que se finalizou e atualizou na época de Newton. Mas as contribuições mais significativas de Viête estavam em sua De aegua- tionum recognitione et emendatione, publicada postumamente, em 1615, Nesse trabalho ele: 1. forneceu transformações para aumentar ou multiplicar as raízes de uma equação por uma constante; 2. demonstrou consciência das relações entre raizes e coeficien- tes de uma equação polinomial; 3. formulou uma transformação que desembaraça um polinô- mio de seu termo vizinho ao de maior grau. O desenvolvimento dos números complexos Antes de tomar o caminho principal do desenvolvimento das estruturas algébricas, seguiremos brevemente o caminho paralelo e concorrente do desenvolvimento do sistema dos números complexos e veremos como um alimentou o outro. A incapacidade de Viete para aceitar os números negativos (para não mencionar os imaginá- 14 rios) impediu-o de obter a generalidade que buscava (e em parte abarcava) para dar, por exemplo, as relações entre coeficientes e ra- ízes de uma equação polinomial. Cardano, também, provavelmente teria feito mais progressos se os números imaginários não o embaraçassem tanto; contudo ele teve a curiosidade e a coragem intelectual de investigar o problema “Divida 10 em duas partes tais que o produto de uma pela outra seja 40”, ainda que o considerasse ““manisfestamente impossível”. Incapaz de refrear sua curiosidade, ele corajosamente proclamou *“Não obstante operaremos”, e obteve as duas soluções 5 + V—15 e5 — Y— 15 (como se escreveria hoje). Verificou as respostas mos- trando que seu produto é de fato 25 — (— 15), ou 40, frisando que essas respostas (números) são “verdadeiramente sofisticadas'* e con- cluindo (que lástima!) que continuar trabalhando com esses núme- ros envolveria qualquer um numa “aritmética tão sutil quanto inútil”. Somos tentados a dizer que a operação foi um sucesso mas o paciente morreu! Contudo é verdade que Cardano estava à frente de seu tempo. Foi Albert Girard (1629) quem enfocou números negativos e números imaginários com grande ousadia. Ele usava números nega- tivos para resolver problemas geométricos e sugeriu que, aceitando- se também números imaginários como raízes, seria possível afirmar que uma equação admite tantas raízes quanto é seu grau. Enunciou também as relações entre raízes e coeficientes de uma equação poli- nomial e sugeriu que as raizes imaginárias são úteis por tornar es- sas relações gerais. Por exemplo, para a equação x — 4x +3=0, ele deuas raízes 1,1, -1 + V-2e —1 — V—2 (usamos aqui nota- ção moderna). A representação geométrica dos números negativos por René Descartes (1637) ajudou a torná-los mais aceitáveis; e em 1659 Jo- hamn Hudde deu um passo significativo ao usar uma letra numa fórmula para indicar qualquer número real, positivo ou negativo. Os números imaginários foram usados com pleno sucesso por Leonhard Euler no século XVIII; deve-se a ele a fórmula ei = 1. Para muitos matemáticos isso parecia alta magia — mas funciona- va. Todavia, os números imaginários obtiveram aceitação mais am- pla após se chegar à sua representação geométrica, primeiro com Caspar Wessel (1797), depois com Jean Robert Argand (1806) e a seguir com Carl Friedrich Gauss, que, num tratado de 1831, publi- cou a representação geométrica que já tinha obtido em 1811, descri- 15 ta numa carta à F. W. Bessel. Outra definição, puramente aritméti- ca, de número complexo a + bi como um par ordenado (a, b) de números reais sujeita às regras normais de combinar esses pares foi dada por William Rowan Hamilton em 1837. Hoje aceitamos os + números complexos prontamente, mas Gauss teve ocasião de obser- var que “*a verdadeira metafísica de V— 1º é difícil. Seus resultados e sua reputação determinaram a aceitação dos números complexos. A esse propósito é interessante citar Gottfried Wilhelm von Leibniz (1702), que, talvez devido à sua tendência filosófica, fala- va do número imaginário como “aquela maravilhosa criatura de um mundo ideal, quase um anfíbio entre coisas que são e coisas que não são”. Devem-se a Descartes (1637) os termos “*real'* e “imaginário”*, e Euler (1777) introduziu a letra i para V— 1. Augustin Louis Cauchy (1821) contribuiu com os termos “conjugado” e “módulo” e Gauss (1831) introduziu o termo “complexo”. -Os fundamentos da moderna formulação estrutural da ál- gebra, iniciados por Viéte, esperaram cerca de dois séculos para que Niels Henrik Abel (1824) e especialmente Évariste Galois (1831) introduzissem a idéia de grupo, nas demonstrações que realizaram, independentemente, de que uma equação polinomial de grau maior do que quatro não admite uma solução algébrica genérica,/Quan- do dizemos que a equação quadrática ax? + bx + c = O (equação polinomial de grau dois) tem uma solução algébrica geral, isso sig- nifica que cada uma das duas raízes se expressa em termos de um número finito de adições, subtrações, multiplicações, divisões e ex- trações de raízes, efetuadas sobre os coeficientes a, b, c. Assim, as duas raízes são (—b + vb? — 4ac) / 2a e(—-b — vb? — dac) / 2a. De maneira algo semelhante, as três raízes da equação cúbica a + bl + cx +d=0 podem ser expressas em termos dos coeficientes a, b, c, d. Também uma equação quártica está sujeita ao mesmo tipo de tratamento. Contudo, quando o grau da equação polinomial é maior do que quatro, nenhuma solução algébrica geral é possível. O desenvolvimento do conceito de grupo Durante os dois séculos que separam Viête de Abel e Galois, os matemáticos não permaneceram inativos; o conceito de grupo, obviamente, não emergiu de súbito com Abel e Galois, como veremos. 16 O período entre 1600 e 1800 assistiu a desenvolvimentos como a invenção dos logaritmos por John Napier (1614) e Henry Briggs (1615); o trabalho de Pierre de Fermat sobre probabilidade e teoria dos números (1635) e, contemporaneamente, com Descartes, sobre geometria analítica (1637); o início da teoria das probabilidades com Blaise Pascal (1653), numa troca de correspondência com Fermat; trabalhos sobre a série binomial com James Gregory e Isaac New- ton (c. 1670); a fundação do cálculo por Newton e Leibniz (c. 1680); trabalhos iniciais sobre matemática atuarial por Abraham De Moivre (1720); o prolífico trabalho de Euler em análise (1750); e a matemá- tica versátil e notável produzida por Joseph Louis Lagrange (1780), Pierre Simon Laplace (1805), Adrien Marie Legendre (1805), Cauchy (1820) e Gauss (1820). No trabalho de alguns desses homens já se encontra implícita uma percepção do conceito de grupo. E convenien- te a esta altura definir grupo, e ilustraremos a definição com um exemplo de um grupo de permutações, uma vez que os grupos de permutações são historicamente importantes no desenvolvimento desse conceito. Consideremos o conjunto G = (1, a, b, c, d, e), on- de os seis elementos de G são as permutações 123, 132, 213, 231, 312, 321, Isto é, I =(1,2,3)etransforma lem1,2em2e3em3 1,3,2) etransforma | em 1,2em3€e3em2 (2,1, Betransforma lem2,2em le3em3 (2,3, ie transforma | em 2,2em3€e3eml 3, 1, 2)e transforma lem3,2emle3em2 e =(3,2, I)etransforma iem3,2em2e3emi anos na O “produto” ab é assim definido: primeiro a permutação a é efe- tuada e a seguir a permutação b é efetuada sobre o resultado de a. Assim, a produz (1, 3, 2) e aplicando b a (1, 3, 2) obtemos (2, 3, 1), que é c. Logo, dizemos que ab = c. Note-se que ba = d, de manei- ra que nossa multiplicação neste exemplo não é comutativa. Todos os possíveis produtos são dados na Figura 3. (Para achar o produ- to ab a partir da tábua, use as margens esquerda e superior [nesta ordem] para q e b; o resultado é c, indicado pelas linhas pontilha- das.) Em referência à tabua são facilmente verificáveis as seguintes propriedades, que definem um grupo: 1. O conjunto G é fechado com respeito à multiplicação defi- nida; isto é, o produto de dois elementos quaisquer de G é também um elemento de G. Assim, bc = e, e e é um elemento do conjunto G. 7 Va 4 J.2 8 Totais 3 12 Os egípcios usavam livremente a lei distributiva, ou seja, a(b + c) = ab + ac (como escrevemos hoje), mas sem explicações. Uma ilustração disso ocorre no problema 68 do papiro Rhind /CHA- CE: I, 1047. Para dobrar 3 21/64, que o escriba expressava por 3 + 1/4 + 1/16 + 1/64 (como seria em notação moderna), ele sim- plesmente dobrava cada termo obtendo 6 + 1/2 + 1/8 + 1/32, ou 621/32. Os babilônios (c. 1700 a.C.) também usavam as leis comutati- va e distributiva. Essas leis eram tacitamente assumidas em sua álge- bra retórica quando, para efeitos práticos, usavam fórmulas como (a +b2=a2+2ab+ db Observando a matemática grega, vemos que Euclides estava mais inteirado da natureza explícita da lei distributiva. Na álgebra geométrica do livro II, enunciou e provou a proposição 1: Dadas duas retas, uma das quais é dividida num número qual. quer de partes, o retângulo contido pelas duas retas é igual à soma dos retângulos contidos pela reta não dividida e cada uma das partes da outra, Isto é (ver Fig. 4), área BGHC = área BGKD + área DKLE + área ELHC ou ab+c+d)=ab+ac+ ad 8 D E c a b c d 6 K t H FIGURA 4 Algum tempo depois Diofanto /4/, deu mostras de uma com- preensão interessante a respeito de inversos multiplicativos e o ele- mento neutro ao escrever o seguinte: 20 Todo número multiplicado por uma fração [unitária] tendo es- se número como denominador resulta a unidade [isto é, a(1/e) = 1). A unidade sendo invariável e sempre constante, sua expressão multiplicada por si mesma permanece a mesma expressão. Mas, ao que parece, ele tinha mais dificuldades para captar inver- sos aditivos. Chegou a dizer que a equação 4x + 20 = 4, aqui es- crita em notação moderna, “é absurda, porque o 4 deveria ser ai- gum número maior do que 20”. Ele não estava preparado para acei- tar o número negativo — 4 como raiz. O conceito de grupo não foi reconhecido tão explicitamente como o foram alguns de seus componentes (axiomas); mas, mes- mo assim, foi implicitamente percebido e usado antes de ser coloca- do em evidência por Abel e Galois e antes de Arthur Cayley (1854) definir grupo abstrato em geral. Talvez se possa dizer, como G. A. Miller /1, 430/, que o con- ceito de grupo cíclico é pré-histórico, no sentido de que os anti- gos mediam um círculo usando partes iguais de sua circunferência, ou que os relógios de 24 horas dos egípcios e dos babilônios eram (implicitamente) exemplos de grupos aditivos finitos com o 24 sen- do usado como elemento nulo. E é interessante Andreas Speiser su- gerir que a obra de Euclides contém num plano implícito o que ho- je classificaríamos como teoria algébrica dos números e teoria dos grupos / G. A. MILLER:: 1, 431/. Todavia, é necessário especular menos para avaliar o desenvol- vimento de Viête (1600) a Galois (1831). Durante o século XVII ficou claro para aqueles que trabalha- vam com raízes enésimas da unidade que esses elementos formavam um grupo cíclico multiplicativo e que as raízes enésimas primitivas poderiam ser usadas como geradoras do grupo. Outro exemplo do uso da teoria dos grupos no nível subfor- mal — e um exemplo notável — encontra-se na demonstração de Euler (1760-61) de uma generalização do “pequeno teorema" de Fermat. Ilustraremos as idéias com o exemplo seguinte. Suponhamos que o número composto m = pq seja o produto de dois primos. Tomaremos m = 35 = 5 - 7 = pg. Disponhamos todos os inteiros de 1 a 35 em um quadro retangular, cancelando todos aqueles que são múltiplos de 5 ou 7, como mostra a Figura 5, e reescrevamos os que sobraram como na Figura 6. A chamada função é de Euler, & (m) = & (35) neste caso, é definida de modo a dar o número de inteiros positivos menores que 21 1 2 3 4 & e Zea vm 1.2 3/4 mo 1213 Mo 45 s 12 8 9 16 17 18 19 26 Wo 17 13/19 MM 22 23 24 25 18 22 18 24 =6linhas 26 27 29 36 26 27 23 29 31 32 33 34 35 31 32 33 34 (Ol sS p— 1 = 4 colunas FIGURA 5 FIGURA 6 me primos em relação a m; neste caso, &(m) = 4(35) = 4-6 = = (p -— IXg — 1) = 24, que é o número de inteiros no segundo quadro acima, que tem p — | = 4 colunase q —1 = 6 linhas. O teorema enunciado por Euler assegura que a” — 1 é divisível exata- mente por m, desde que a e m sejam primos entre si. No caso presente isto significa que q2º — 1 é divisível exatamente por 35 desde que es- colhamos um a que não tenha nenhum fator em comum com m = 35. Se tomarmos a = 2, então o teorema de Euler garante que 24 — 1 é divisível exatamente por 35; de fato, (24 — 1)/35 = 479 349, Para provar o teorema, Euler construiu um quadro, como os das Figuras 5 e 6, que mostrava os elementos de um grupo multipli- cativo (módulo m). No nosso exemplo, o módulo é m = 35; e pa- ra multiplicar 11 por? primeiro calculamos o produto usual, 187, e depois o dividimos por m = 35, obtendo o resto 12, que é o cha- mado produto. Por isso dizemos que 11 : 17 = 12 (mod 35); analo- gamente 4 - 9 = 1 (mod 35). O aspecto mais interessante do qua- dro da Figura 6 é que a primeira coluna é ela própria um grupo e, assim, um subgrupo do quadro completo. G. A. Miller /I, 427/ sugere que usando o quadro acima Euler estava, na verdade, num plano- subformal, usando uma idéia que foi posteriormente formulada por Lagrange (1770), que hoje conhecemos como teorema de Lagrange. Esse teorema afirma que o número de elementos, 6, no subgrupo constituído pela primeira co- luna, divide o número de elementos, 24, do quadro completo. Lagrange deu a esta idéia uma formulação explicita e geral e mostrou que o número de elementos de um grupo simétrico é divisi- vel pelo número de elementos de qualquer subgrupo (que é, obvia- mente, um grupo de permutações). Assim seu resultado era válido para grupos de permutações não abelianos, tanto quanto para gru- pos abelianos. 22 Em 1799 Paolo Ruffini mostrou que o reciproco do teorema de Lagrange não é verdadeiro, isto é, um grupo de ordem n não ad- mite necessariamente um subgrupo de ordem s só porque s divide n. Mais notável é a demonstração de Ruffint (numa mesma linha de uma demonstração posterior e independente feita por Abel, em 1824) de que é impossível (algebricamente) resolver a equação poli- nomial geral de grau maior do que quatro. Pouco antes de Abel e Galois, Cauchy (1815) publicou seu pri- meiro artigo sobre a teoria dos grupos, envolvendo grupos de per- mutações; e Gauss (1820) formalizou os sistemas módulo m (que são grupos aditivos cíclicos) e foi o primeiro a usar o simbolo espe- cial = para o conceito de congruência — embora, é claro, esse con- ceito não seja criação sua. Hans Wussing sugere que a Disquisitio- nes arithmeticae (1801) de Gauss pode ser considerado como uma virtual fonte de teoria dos grupos implícita; que a determinação dos chamados períodos das funções ciclotômicas é essencialmente equivalente à determinação dos subgrupos do grupo de Galois da equação ciclotômica; e que Gauss, em seu trabalho sobre teoria da composição de formas quadráticas, deduziu todo um conjunto de propriedades que, tomadas axiomaticamente, definem um grupo abeliano. Busca da “solução geral” Antes de descrever o importante trabalho de Abel e Galois, mencionaremos alguns dos acontecimentos que precederam imedia- tamente e influenciaram diretamente as notáveis realizações desses dois jovens matemáticos de talento, ambos falecidos na faixa dos vinte anos. Em 1770, Euler vislumbrou um outro método (diferente do método de Ferrari) para resolver equações quárticas, mas sua expec- tativa otimista de que um método semelhante pudesse resolver uma equação polinomial geral não se confirmou. No mesmo ano, Lagran- ge considerou o problema da resolução de uma equação polinomial geral mediante um estudo comparativo das soluções conhecidas das equações quadráticas, cúbicas e quárticas, e observou que nesses três casos é possível proceder a uma redução da equação a outra de menor grau. Mas, infelizmente, quando Lagrange tentou essa “re- dução” numa equação quíntica, obteve uma equação de grau maior, e não menor. Embora Lagrange não tenha alcançado seu objetivo principal, sua abordagem do problema fez uso das permutações das 23 Sejam 8º, 0”, 8”, ... elementos de um conjunto finito, e de tal natureza que dois deles conjuntamente determinem (com o auxílio de um certo procedimento) um terceiro elemento. Então, denotando por fo resultado desse procedimento, diz-se que 8” existe para quais- quer dois elementos, 0' e 6” (e esses elementos podem ser iguais). Isto é expresso por f(9', 8"). Ademais, 18.0") = 107,07) Jr, HO", 8) = HO. 69,02) Todavia, se 9” e 0” são distintos, então f(O', 0") e J(B', A”) tam- bém são distintos. Desse sistema axiomático completo para grupos abelianos (finitos), Kronecker — ainda trabalhando com um conjunto abstrato de ele- mentos, completamente arbitrário — deduziu as propriedades usuais de um grupo, tais como existência de elemento neutro para o con- Junto, inversos, etc. Introdução e influência dos quatérnions Em 1837, seis anos após Gauss criar sua abordagem dos núme- ros complexos, Hamilton chegou por si próprio à descoberta das mesmas idéias, que aplicou a rotações e vetores no plano, como outros já tinham feito. Num segundo artigo sobre o assunto (1843), generalizou de pares ordenados para n-uplas, com ênfase nas quá- drupias (ou quatérnions), que estendem a álgebra dos vetores do plano para os vetores do espaço. Assim o conceito de número complexo a + bi foi estendido à forma q + bi + cj + dk (a, b,c, d reais), onde P=p=hk?=-l=ijk Amais notável propriedade desses qua- térnions era a não-validade da lei comutativa. Foram necessários quinze anos de trabalho antes de ocorrer a Hamilton que era possi- vel construir um sistema matemático útil e consistente contradizen- do a tradicional lei AB = BA. Este lampejo lhe ocorreu num dia de outubro, quando estava passeando com a esposa ao longo do “Ro- yal Canal”*, em Dublin. Hamilton gravou então as fórmulas funda- mentais numa pedra da ponte Brougham. Hamilton também teve ocasião de comentar a lei associativa em seu Lectures on quaternions (1853). No prefácio ele diz: “Dou muita importância ao princípio ou propriedade associativa”. Natu- ralmente a lei associativa era usada muito antes de ser nomeada, e já tinha sido notada explicitamente em 1830, quando Legendre cha- 26 mou a atenção para ela em seu Théorie des nombres. Legendre es- creveu: “Supõe-se comumente que ao se multiplicar um dado núme- ro € por outro número N, que é o produto dos fatores 4 e B, obtém- se o mesmo resultado ao se multiplicar € por N de uma vez, ou € por A e depois por B”. Simbolicamente Legendre escreveu: CxAB=CAXxB Curiosamente, os nomes atuais das leis comutativa e distributi- va foram dados por F. J. Servois (1814) numa discussão envolven- do funções. Servois observa que se foz = qfz, onde fe q são fun- ções e z é uma variável independente, então as funções se dizem “co- mutativas”. E diz também que, seftx + y+.)=k + +. então a função se diz “distributiva”” (Servois usava menos parênte- ses do que usamos hoje). Deve-se mencionar de passagem que Hermann Grassmann criou, simultânea e independentemente, uma teoria até mais geral que a de Hamilton sobre n-upias. Mas as publicações de Grassmann, pesa- das e marcadas por expressões filosóficas, não foram lidas pelos matemáticos a tempo de que suas idéias tivessem o mesmo impac- to que os quatérnions de Hamilton. Com o tempo, os quatérnions revelaram-se menos práticos do que Hamilton acreditara, e foram logo eclipsados por invenções posteriores de aplicação mais fácil. Mas eles começaram a fazer pe- la álgebra o que os conceitos não euclidianos estavam fazendo pe- la geometria. Ao se perceber que AB = BA não era um axioma ir- revogável, os matemáticos começaram a experimentar novos siste- mas, em que outros axiomas também foram mudados. Álgebra booleana e álgebra matricial Foram criadas outras álgebras em que, por exemplo, era possi- velxy = 0Ocomx é Qey * O. Uma aplicação interessante dessa idéia se acha na álgebra da lógica de George Boole, onde se repre- senta por x a classe dos “homens”, por y a classe dos '“não-ho- mens” (que é indicada por 1 — x) e por O a ““classe vazia”. “En- tão”, diz Boole, “x(1l — x) representa a classe cujos membros são ao mesmo tempo “homens” e 'não-homens”, e a equação x(1 — x) = O expressa assim o princípio de que uma classe cujos membros são ao mesmo tempo homens e não-homens não existe... Mas isto equi- vale ao “princípio da contradição” que Arquimedes descreveu co- mo o axioma principal de toda a filosofia.” 27 Os princípios estabelecidos por Boole em suas Leis do pensa- mento (1854) seguem as linhas da “característica universal” — de Leibniz; e seu desenvolvimento por Gottlob Frege (1884) e outros culminou no Principia mathematica (1910-13) de Bertrand Russel e A. N. Whitehead e em toda a atual lógica matemática. É quase desnecessário mencionar a importante aplicação da álgebra booleana à lógica de computadores, devido à popularidade dos computadores na maior parte dos currículos modernos de mate- mática. Hoje em dia os computadores são amplamente utilizados em programação linear, uma técnica diretamente relacionada com a idéia de matriz, que estava implícita no produto ““aberto” ou “inde- terminado” dos números hipercomplexos de Grassmann — como estava também na posterior análise vetorial de Josiah Willard Gibbs. Todavia, Cayley, com quem se iniciou explicitamente a teoria das matrizes, afirmou ter apreendido a noção “ou diretamente da no- ção de determinante; ou como um modo conveniente de expressão”? das seguintes equações x' = ax + by v'=a+d Cayley representou essa transformação por [4] e desenvolveu uma álgebra das matrizes observando propriedades das transformações em equações lineares. Cayley também mostrou (1858) que um quatérnion poderia ser representado sob forma de uma matriz, como se mostrou acima, onde a, b, c, d são números complexos convenientes. Por exemplo, se os quatérnions unitários 1, é, j, k são representados por 10], i 01, 91 e Oi 01 0 -i -10 io o quatérnion 4 + 5i + 6; + 7k pode ser escrito da seguinte maneira: 4+5i 6+ TU -6+7 4-5 Isto levou Peter Guthrie Tait, um discípulo de Hamilton, a concluir erradamente que Cayley tinha usado quatérnions como motivação para matrizes. 28 Em 1925 August Heisemberg descobriu que a álgebra das ma- trizes corresponde exatamente à matemática não comutativa que descreve os fenômenos da mecânica quântica. Em colaboração com James Joseph Sylvester, Cayley (c. 1846) começou a trabalhar também com a teoria dos invariantes algébri- cos, que ficara no ar por algum tempo e que, como as matrizes, re- cebera parte de sua motivação dos determinantes. Vimos como o desejo de uma teoria geral de estrutura (começan- do com a resolução de equações polinomiais e as relações entre suas raízes e coeficientes) levou ao ''completamento” do sistema dos números complexos; e como, por sua vez, uma extensão dos números complexos aos números hipercomplexos criou novas estru- turas. A matemática tinha proliferado a tal ponto, que um aconteci- mento muito bem recebido foi a conferência de Felix Klein (em 1872) charnada Erlanger Programm, em que ele mostrou que q con- ceito de grupo poderia ajudar na classificação de muitos ramos da matemática. Klein aplicou suas idéias com muito sucesso mostran- do que várias espécies de geometria estão inter-relacionados em vir- tude de sua estrutura de grupo. O conceito de grupo também se mostrou útil para sintetizar amplas áreas da álgebra e da geometria, especialmente nos trabalhos de Gaspard Monge, Jean Victor Ponce- let, Arthur Cayley, Alfred Clebsch, Hermann Grassmann e Bernhard Riemann. Desde Klein houve uma proliferação ainda maior, e Howard Eves estima que mais de duas centenas de estruturas algébricas já foram estudadas. Além dos grupos, algumas das estruturas mais co- nhecidas são os anéis, domínios de integridade e corpos. O conjunto dos números reais, munido da adição e da multi- plicação usuais, é o exemplo mais familiar de corpo. Na álgebra or- dinária, em que as letras representam números reais, os axiomas de corpo são pressupostos. Uma das propriedades mais interessan- tes de um corpo usualmente pressuposta na álgebra ordinária (na verdade não é um axioma mas um teorema) é a “'não-existência de divisores do zero”. Esta propriedade é usada para resolver equa- ções quadráticas pelo método da fatoração e garante que, se um produto como (x — 2x — 3) é zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. O conceito de corpo foi usado tanto por Abel como por Ga- lois num plano intuitivo, subformal, em seu trabalho sobre equa- ções polinomiais. Em 1871 Richard Dedekind forneceu uma formu- lação concreta, e a mais antiga exposição da teoria dos corpos do 29 
