Baixe Algebra linear, exercicios e outras Exercícios em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! POLI PROF. CLÁUDIO MACIEL ÁLGEBRA LINEAR I 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS Coordenadas, Mudança de base, Transformação Linear, Núcleo e Imagem, Operações com Transformação Linear e Matriz de uma transformação linear Aluno: ___________________________________________________ Coordenadas. 1º) Determine as coordenadas do vetor v de R2 em relação à base B = { (1,2), (2,3) } sendo: a) v = (4,-3) b) v = (a, b) 2º) Determine as coordenadas do vetor v = (a,b,c) de R3 em relação as bases: a) B = { (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } b) C = { (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0) } 3º) Determine as coordenadas do vetor v = 3t3 – 4t2 + 2t – 5 de P3(t) em relação a base S = { ( t – 1)3, ( t – 1)2, t – 1, 1 }. 4º) Determine o vetor coordenada de de M2 em relação as bases: 5º) Determine as coordenadas do vetor v = 2t2 – 5t + 9 de P2(t) em relação a base S = { t + 1, t – 1, (t – 1)2 }. 6º) Determine as coordenadas de v = (5,3,4) de R3 em relação a base B = { (1, -1, 0), (1,1,0), (0,1,1) } Mudança de Base 1º) Determinar a matriz de mudança da base B = { (1,1,0), (0,1,0), (0,0,3)} para a base canônica do R3. 2º) No espaço R3 considerando as bases B = {e1, e2, e3 } e C = {g1, g2, g3} relacionadas da seguinte maneira: . a) Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B. b) Se as coordenadas de um vetor u de R3 em relação à base B são 1,1 e 2, quais as coordenadas desse vetor em relação à base C? 3º) A matriz de mudança de uma base B do R2 para a base C = { (1,1), ( 0,2 ) } desse mesmo espaço é . Determinar a base B. 4º) A matriz de mudança da base { 1 + t, 1 – t2 } para a base C do mesmo subespaço de P2(R) é . Determine a base C. 5º) Considere as bases B = { e1, e2, e3 } e C = {g1, g2, g3} de R3 relacionadas da seguinte maneira: a) Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B. b) Se as coordenadas de um vetor u de R3 em relação à base B são 1,2 e 3, quais as coordenadas desse vetor em relação à base C? Transformação Linear 1º) Dada a transformação linear F de R2 em R2 definida por F(x,y) = ( 2x –y , x + 3y ), calcular a) F (1,2) b ) F (3,-5 ) c ) F ( 0,0) d ) F(-1 , -1) 2º) Dada o operador linear do R2 , F(x,y) = ( x +y , 3x) e os vetores u = (2,3) e v = (4,1), calcular: a) F(u) b) F(3u) c) F(v) d) F(u + v) e) F( 5u + 2v) 3º) Dados u e v do R2 e uma transformação linear de R2 em R2 tal que F(u) = 2u e F(v)= u + v , expressar em função de u e v : a) F(u – v ) b) F(3u + 7v) c) F(2v) d) F(2v – u ) G (x,y,z) = (x + 2y, y –z , x + 2z) . Determinar ; a) F o G b) Ker (F o G) ; Im (G o F) c) uma base e a dimensão de Ker (F2 o G ) d) uma base e a dimensão de Ker ( F2 o G ) –1 ( se existir a inversa) 8º) Seja F: R2 – R2 dado por F(1,0) = (2,5) e F(0,1) = (3,4) . Determine G = I + F e H = I + F + F2 . ( I é o operador idêntico ) 9º) Verifique se os seguintes operadores lineares do R3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas propriedades. a) F(x,y,z) =( – x ,– y , – z ) b) F(x,y,z) = (z , x , y) c) F(x,y,z) = ( x , 0 , z) d) F(x,y,z) = ( 0 , 0 , x) 10º) Seja F : R2 – R2 deffinido por F(x,y) = ( x , x + y) . a) Determine F2 b) Determine (F2) – 1 , se existir. c) Mostre que F2 – 2F + I = ( F – I)2 = 0 mas que F – I F 0B 9 0. Matriz de uma transformação linear 1º) Seja F : R3 – R2 definida por F(x,y,z) = ( x + z , y – 2z) . Determine (F)B,C sendo B ={ (1,2,1) , (0,1,1) , (0,3, –1) } e C = { (1,5) , ( 2, –1) } . 2º) Determine as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços : a) F: R3 –R2 dada por F(x,y,z) = ( x + y , z) b) F: R2 –R3 dada por F(x,y) = ( x + y , x , x –y ) c) F: R4 –R dada por F(x,y,z,t) = 2x + y –z + 3t) d) F: R –R3 dada por F(x) = ( x ,2x ,2x ) 3º) Calcule o traço da matriz do operador linear do R3 definido por F(x,y) = (x ,x –y , x +z) ( traço = soma dos termos da diagonal principal ). 4º) Seja F F 0C E L(R2) cuja matriz em relação à base B ={ (1,0) ,(1,4) } é Determine a matriz de F em relação à base canônica. 5º) Seja B = { e1 , e2 , e3 } uma base de um espaço vetorial V sobre R. Sendo F , G F 0C EL(V) dados por F(e1) = e1 – e2 , F(e2) = e1 + e3 , F(e3) = e2 , G(e1) =2e1 + e3 , G(e2) = e1 e G(e3)= e2 – 3e1 , determine em relação à base B as matrizes dos seguintes operadores lineares : F , G , F + G , 2F –G , F o G , G o F , F2 + G2 , F –1 e (FoG) –1 (caso existam as inversas ) 6º) Determine o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B = { (1,2) , (0,5)} é 7º) Seja F F 0C E L ( P2( R) , R ) definida por Determine a matriz de F em relação às bases : a) B ={ 1 , t , t2 } e C = {1 } b) B = { 1 ,1 + t , –1 + t2 } e C = { –2 } .

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