Exercicios Algebra linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Exercicios Algebra linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Lista 2 - Álgebra Linear 1) Mostre que o espaço Rn constituído dos n-uplas da forma (x1, ..., xn) constitui um espaço vetorial sobre R com a soma dada por (a1, ..., an) + (b1, ..., bn) = (a1 + b1, ..., an + bn) e a multiplicação dada por α(a1, ..., an) = (αa1, ..., αan),∀α ∈ R. (soma e multiplicação usuais de Rn) 2) Seja I um intervalo de R e indiquemos por C(I) o conjunto das funções contínuas denidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g ∈ C(I) e a ∈ R, denem-se f + g e αf do seguinte modo: f + g : I −→ R e (f + g)(t) = f(t) + g(t), ∀t ∈ I αf : I −→ R e (αf)(t) = αf(t), ∀t ∈ I. Mostre que C(I) é um espaço vetorial sobre R em relação a esse par de operações. 3) Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Mostre que U × V = {(u, v)|u ∈ Uev ∈ V } é um espaço vetorial em relação ao seguinte par de operações: (I) (u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) (II) α(u, v) = (αu, αv). 4) Seja V = {(x, y)|x, y ∈ R} com a adição usual de R2 e a multiplicação por escalares dada por α(x, y) = (αx, 0). V é um espaço vetorial sobre R? Por que? 5) Seja V = R2. Então V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre V : (I)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, y1 + y2) e α(x, y) = (x, αy), ∀α ∈ R e (II)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e α(x, y) = (αx, αy), ∀α ∈ R. Diga em cada caso, quais dos 8 axiomas da denição de espaço vetorial não se vericam. 6) Seja V = R2. Denindo (x1, y1)+(x2, y2) = (2x1−2y1,−x1+y1) e α(x, y) = (3αy,−αx),∀α ∈ R. Com estas operações, V é um espaço vetorial sobre R? Justique. 7) Crie um espaço vetorial sobre R em qualquer conjunto não vazio. Prove a sua armação. 8) Prove que se V é um espaço vetorial sobre R, então para cada u ∈ V , tem-se −(−u) = u. 9) Se u,w ∈ V , então existe um único vetor v tal que u+ v = w. 10) Seja V o conjunto dos vetores da geometria analítica. Sendo −→u um vetor xo desse espaço, mostre que W = {α−→u |α ∈ R} é um sub-espaço vetorial de V . 11) Mostre que é sub-espaço de M2(R) o seguinte sub-conjunto: W = {( x y z t ) ∈M2(R)|y = −x } . 12) Seja I um intervalo real e consideremos o espaço vetorial C(I) das funções reais contínuas denidas em I. Mostre que o subconjunto W de C(I) consituído das funções que são deriváveis em todos os pontos de I é um sub-espaço vetorial de C(I). 13) Mostre que W = [A ∈ Mn(R)|AT = TA}, onde T é uma matriz dada xa de Mn(R), é um sub-espaço vetorial de Mn(R). 14) Encontre um conjunto de geradores (sistema de geradores) dos seguintes sub-espaços de R4: (a)U = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y − z + t = 0}; (b)V = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y = z + t = 0}. 15) Consideremos no R3 os seguintes sub-espaços vetoriais: U = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)]. Determinar um sistema de geradores de U ∩ V . 16) Dados os sub-espaços U = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0} do R3, determinar o sub-espaço U ∩ V . 17) São sub-espaços vetoriais de C(I) os seguintes subconjuntos: U = {f ∈ C(I)|f(t) = f(−t), ∀t ∈ R} e V = {f ∈ C(I)|f(t) = −f(−t), ∀t ∈ R} (conjunto das funções contínus pares e ímpares, respectivamente, denidas no intervalo I). Mostre que C(I) = U ⊕ V . 18) Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaços do R3? a)W = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0} b)W = {(x, y, z) ∈ R3|x ∈ Z} c)W = {(x, y, z) ∈ R3|y é irracinal} d)W = {(x, y, z) ∈ R3|x− 3z = 0}