Lista 2 - Álgebra Linear
1) Mostre que o espaço
Rn
constituído dos n-uplas da forma
(x1, ..., xn)
constitui um espaço
vetorial sobre
R
com a soma dada por
(a1, ..., an)+(b1, ..., bn)=(a1+b1, ..., an+bn)
e a multiplicação dada por
α(a1, ..., an)=(αa1, ..., αan),∀α∈R.
(soma e multiplicação usuais de
Rn
)
2) Seja
I
um intervalo de
R
e indiquemos por
C(I)
o conjunto das funções contínuas denidas
no intervalo
I
e tomando valores reais. Dados
f, g ∈C(I)
e
a∈R
, denem-se
f+g
e
αf
do
seguinte modo:
f+g:I−→ Re(f+g)(t) = f(t) + g(t),∀t∈I
αf :I−→ Re(αf )(t) = αf(t),∀t∈I.
Mostre que
C(I)
é um espaço vetorial sobre
R
em relação a esse par de operações.
3) Sejam
U
e
V
espaços vetoriais sobre
R
. Mostre que
U×V={(u, v)|u∈U ev ∈V}
é um
espaço vetorial em relação ao seguinte par de operações:
(I) (u1, v1)+(u2, v2) = (u1+v1, u2+v2)
(II )α(u, v) = (αu, αv)
.
4) Seja
V={(x, y)|x, y ∈R}
com a adição usual de
R2
e a multiplicação por escalares dada
por
α(x, y)=(αx, 0)
. V é um espaço vetorial sobre
R
? Por que?
5) Seja
V=R2
. Então V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares
de operações sobre
V
:
(I)(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, y1+y2)e α(x, y)=(x,αy ),∀α∈R
e
(II )(x1, y1)+(x2, y2) = (x1, y1)e α(x, y) = (αx, αy),∀α∈R
.
Diga em cada caso, quais dos 8 axiomas da denição de espaço vetorial não se vericam.
6) Seja
V=R2
. Denindo
(x1, y1)+(x2, y2) = (2x1−2y1,−x1+y1)e α(x, y) = (3αy, −αx),∀α∈
R
. Com estas operações,
V
é um espaço vetorial sobre
R
? Justique.
7) Crie um espaço vetorial sobre
R
em qualquer conjunto não vazio. Prove a sua armação.
8) Prove que se
V
é um espaço vetorial sobre
R
, então para cada
u∈V
, tem-se
−(−u) = u
.
9) Se
u, w ∈V
, então existe um único vetor
v
tal que
u+v=w
.
