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Conjuntos Numéricos
Conjunto
Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.
Exemplos:
Conjunto dos números naturais pares; Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino fundamental de um determinado colégio; Conjunto dos números primos;
Formas de representar um conjunto
1º caso: Forma de listagem
Exemplo: Conjunto dos números pares positivos P = {2, 4, 6, 8,...}
2º caso: Propriedades dos elementos
Exemplo: Conjunto dos números pares positivo P = { x / x é par e positivo}
3º caso: Diagrama de Venn
Exemplo: Conjunto dos números pares maiores que 2 e menores ou igual a 8.
Relação de Pertinência
Para relacionar elemento com conjunto é utilizado o símbolo de (pertence) e (não pertence).
Exemplo:
Se x pertence a um conjunto A, então dizemos que x A
Se y não pertence a um conjunto A, então dizemos que y A
Conjunto Vazio
Quando um conjunto não possui elementos então dizemos que o conjunto é vazio representado por ou { }.
Exemplo:
= {x; x ≠ x}
Conjunto Universo
Quando um conjunto é formado por todos os elementos então dizemos que o conjunto é o universo U
Exemplo:
U={x; x=x}
Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também é elemento de um conjunto B então dizemos que A B lê-se (A esta contido em B), ou seja, A é subconjunto de B.
Observação importante
A A, todo conjunto esta contido nele mesmo; A, o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto; Se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2n subconjuntos; O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {1,2}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {,{1},{2},{1,2}}.
É comum encontrarmos os números inteiros no dia a dia.
Exemplo:
Quando verificamos a situação de débito ou crédito de uma conta bancária. Quando medimos a temperatura de um líquido Quando utilizamos o elevador de um prédio.
Reta Numérica
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, que crescem da esquerda para a direita, assim -7 é menor que -2, 0 é maior que -6 e assim por diante.
Vamos comparar alguns números inteiros
-3 > -8, lê-se “ -3 é maior que -8” -15 < +10, lê-se “-15 é menor que +10” -200 < 0, lê-se “-200 é menor que 0”
Observação importante:
Zero é maior que qualquer número negativo; Menos um é o maior número negativo; Zero é menor que qualquer número positivo; Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo;
Números opostos ou simétricos
Observe que a distância de -5 até o zero é a mesma do +5 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos.
Exemplos:
-4 é o oposto ou simétrico de 4; 20 é o oposto ou simétrico de -20; -100 é o oposto ou simétrico de 100;
Adição e Subtração de Números Inteiros
Adição :
1º Passo:
Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;
2º Passo:
Sinais iguais conserva-se o sinal e soma. Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai.
Exemplos:
(+7)+(+3)= +7 +3 = + (- 8)+(- 5) = -8 -5 = - 13 (+12) + (-10) = +12 -10 = + 2 (-30) + (+25) = -30 +25 = - 5
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
(-5) x (+7) = - 35 (+5) x (-7) = - 35 (+15) : (-3) = - 5 (-15) : (+3) = - 5
Potenciação de Números Inteiros
Uma potência representa a quantidade (n) de vezes que um número (a) é multiplicado por ele mesmo. Representamos simbolicamente uma potência por an, onde definimos :
a, como a base n , como o expoente.
Exemplo :
(+2)x(+2)x(+2)=+8=(+2)^3 , lê-se “mais dois ao cubo” (-3)x(-3) = +9 = (-3)^2 , lê-se “menos três ao quadrado”
Regras para efetuar uma potência
1ª Caso: Se o e xpoente for zero, a resposta será igual a 1.
Exemplo:
(-3)^0 = 1 (+500)^0 = 1
Observação Importante :
Sem os parênteses haverá mudança no resultado:
Exemplo:
- 3^0 = -
2º Caso: Se o expoente for natural par, a resposta será sempre positiva.
Exemplo:
(-3)^2 = (-3)x(-3)=+ (+2)^4 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2) = +
3º Caso: Se o expoente for natural impar, a resposta terá o mesmo sinal da base.
Exemplo:
(-3)^3 = (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)= - 27 (+2)^5 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2)x(+2)=(+4)x(+4)x(+2)=(+16)x(+2)=+
Observação Importante :
Sem os parênteses haverá mudança no resultado:
(-2)^2 = (-2)x(-2)=+ -2^2 = -(2)x(2)= -
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação é a propriedade inversa da potenciação, logo se 3^2 = 9 então a raiz quadrada de 9 é 3, ou seja,
.
Representamos simbolicamente um radical por onde definimos :
a, como radicando n , como índice.
Exemplo :
, pois 5 x 5 = 25
Observação importante :
1º) Caso tenha uma expressão com multiplicação e divisão simultaneamente resolvemos primeiro a operação que vier da esquerda para a direita.
Exemplo:
– 8 : 2 x 4 = - 4x = - 16
2º) O conjunto dos números inteiros não é fechado quanto a divisão, ou seja, a divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro.
Exemplo :
(- 8) : (- 3) =? (+20) : (- 7) =?
Por isso foi necessário que se construísse um terceiro conjunto, o conjunto dos números racionais.
Conjunto dos Números Racionais
Representado pela letra Q o conjunto dos números racionais é formado por todo número que pode ser escrito em forma de fração, ou seja,
onde z* são os inteiros não nulos, assim definimos:
a , como numerador b, como denominador
Exemplo :
2, pois 2 = 2/1, onde 2 é o numerador e 1 é o denominador; -1/2 (lê-se “menos um meio”), onde -1 é o numerador e 2 é o denominador; 3/5 (lê-se “três quintos”), onde 3 é o numerador e 5 é o denominador; 0,001 = 1/1000 (lê-se “Um milésimo”), onde 1 é o numerador e 1000 é o denominador; 0,333...=3/9=1/3, onde 1 é o numerador e 3 é o denominador;
Adição e Subtração de Números Racionais
Adição
1º Passo:
Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;
2º Passo:
Denominadores iguais , repetimos o denominador e somamos os numeradores.
Exemplo:
Denominadores diferentes e primos calcula-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois quinto mais três décimos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 5 e 10 obtendo 10 que substituiu os denominadores 5 e 10.
Dividimos 10 por 5 e multiplicamos pelo numerador 2 obtendo 4 o novo numerador da primeira fração
Dividimos 10 por 10 e multiplicamos pelo numerador 3 obtendo 3 o novo numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações quatro décimos com três décimos.
Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.
Observação Importante:
O MMC entre números múltiplos é o maior número entre eles.
Exemplo:
a) mmc(2,4)=4; b) mmc(3,9)=9; c) mmc(20,100)=100;
Denominadores diferentes calcula-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), fatoração simultânea, entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois sextos mais três oitavos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 6 e 8 obtendo 24 que substituiu os denominadores 6 e 8.
Dividimos 24 por 6 e multiplicamos pelo numerador +2 obtendo +8 o novo numerador da primeira fração
Dividimos 24 por 8 e multiplicamos pelo numerador +3 obtendo +9 o novo numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações oito vinte quatro avos com dezessete vinte quatro avos.
Por últimos repetimos o denominador 24 e somamos os numeradores 8 mais 9 obtendo dezessete vinte quatro avos.
Observação Importante:
O MMC utilizando fatoração simultânea.
Exemplo:
mmc(16,18)=2^4 .3^2 = 144
Observação importante :
O processo é o mesmo para os diferentes tipos de denominadores.
Multiplicação e Divisão de Números Racionais
Multiplicação
Ao multiplicarmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador 1 vezes 3 e denominador com denominador 5 vezes 7.
Obtemos o resultado mais três trinta e cinco avos.
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
Divisão
Ao dividirmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração;
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 7 e denominador com denominador 5 vezes 3.
Obtemos o resultado mais sete quinze avos.
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração;
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 4 e denominador com denominador 7 vezes 9.
Obtemos o resultado menos quatro sessenta e três avos.
Radiciação de Números Racionais
Da mesma forma que na potenciação podemos expandir os conceitos de radiciação já vistos anteriormente para números racionais.
Se é um radical em que o radicando a é uma fração do tipo
Então vale as propriedades:
Exemplos:
Também são chamados de números racionais, ou seja, números que podem ser escritos em forma de fração os seguintes números:
Os decimais; As dízimas periódicas simples e compostas;
Exemplo:
Como transformar decimal em fração
Exemplo:
Descrição dos passos
Retira-se a vírgula e divide o número obtido por múltiplos de 10 de acordo com a quantidade de casas depois da vírgula, neste caso por 10, pois havia apenas uma casa após a vírgula que era o número 1.
