Álgebra Linear - Pulino, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

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Q

t

Q

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Q =

PULINUS^ !"

Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

Departamento de Matem´atica Aplicada Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica Universidade Estadual de Campinas E–mail: [email protected] www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/

Janeiro de 2012

• 1 Estruturas Alg´ebricas
  • 1.1 Opera¸c˜ao Bin´aria. Grupos
  • 1.2 Corpo Comutativo
  • 1.3 Corpo com Valor Absoluto
  • 1.4 Corpo Ordenado
  • 1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado
  • 1.6 N´umeros Reais
  • 1.7 N´umeros Complexos
  • 1.8 Caracter´ıstica do Corpo
  • 1.9 M´etricas
• 2 Matrizes e Sistemas Lineares
  • 2.1 Matrizes
  • 2.2 Tipos Especiais de Matrizes
  • 2.3 Inversa de uma Matriz
  • 2.4 Matrizes em Blocos
  • 2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia
  • 2.6 Forma Escalonada. Forma Escada
  • 2.7 Matrizes Elementares
  • 2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia
  • 2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
• 3 Espa¸cos Vetoriais
  • 3.1 Espa¸co Vetorial. Propriedades
  • 3.2 Subespa¸co Vetorial
  • 3.3 Combina¸c˜ao Linear. Subespa¸co Gerado
  • 3.4 Soma e Intersec¸c˜ao. Soma Direta
  • 3.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear
  • 3.6 Bases e Dimens˜ao
  • 3.7 Coordenadas
  • 3.8 Mudan¸ca de Base
• 4 Transforma¸c˜oes Lineares ii CONTE UDO´
  • 4.1 Transforma¸c˜oes do Plano no Plano
  • 4.2 Transforma¸c˜ao Linear
  • 4.3 N´ucleo e Imagem
  • 4.4 Posto e Nulidade
  • 4.5 Espa¸cos Vetoriais Isomorfos
  • 4.6 Algebra das Transforma¸´ c˜oes Lineares
  • 4.7 Transforma¸c˜ao Inversa
  • 4.8 Representa¸c˜ao Matricial
• 5 Produto Interno
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Defini¸c˜ao de Produto Interno
  • 5.3 Desigualdade de Cauchy–Schwarz
  • 5.4 Defini¸c˜ao de Norma. Norma Euclidiana
  • 5.5 Defini¸c˜ao de Angulo. Ortogonalidadeˆ
  • 5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier
  • 5.7 Processo de Gram–Schmidt
  • 5.8 Complemento Ortogonal
  • 5.9 Decomposi¸c˜ao Ortogonal
  • 5.10 Identidade de Parseval
  • 5.11 Desigualdade de Bessel
  • 5.12 Operadores Sim´etricos
  • 5.13 Operadores Hermitianos
  • 5.14 Operadores Ortogonais
  • 5.15 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 5.16 Reflex˜ao sobre um Subespa¸co
  • 5.17 Melhor Aproxima¸c˜ao em Subespa¸cos
• 6 Autovalores e Autovetores
  • 6.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear
  • 6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz
  • 6.3 Multiplicidade Alg´ebrica e Geom´etrica
  • 6.4 Matrizes Especiais
  • 6.5 Aplica¸c˜ao. Classifica¸c˜ao de Pontos Cr´ıticos
  • 6.6 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares
  • 6.7 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Hermitianos
• 7 Funcionais Lineares e Espa¸co Dual CONTE UDO´ iii
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 Funcionais Lineares
  • 7.3 Espa¸co Dual
  • 7.4 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz
• 8 Algebra Linear Computacional´
  • 8.1 Introdu¸c˜ao
  • 8.2 Decomposi¸c˜ao de Schur. Teorema Espectral
  • 8.3 Normas Consistentes em Espa¸cos de Matrizes
  • 8.4 An´alise de Sensibilidade de Sistemas Lineares
  • 8.5 Sistema Linear Positivo–Definido
  • 8.6 M´etodos dos Gradientes Conjugados
  • 8.7 Fatora¸c˜ao de Cholesky
  • 8.8 M´etodos Iterativos para Sistemas Lineares
  • 8.9 Sistema Linear Sobredeterminado
  • 8.10 Subespa¸cos Fundamentais de uma Matriz
  • 8.11 Proje¸c˜oes Ortogonais
  • 8.12 Matriz de Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 8.13 Fatora¸c˜ao QR
  • 8.14 Modelos de Regress˜ao Linear
  • 8.15 Solu¸c˜ao de norma–2 M´ınima
  • 8.16 Problemas de Ponto Sela
  • 8.17 Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares
  • Bibliografia

⃝cPetronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP

Estruturas Alg´ebricas

Conte´udo

1.1 Opera¸c˜ao Bin´aria. Grupos..................... 2 1.2 Corpo Comutativo.......................... 7 1.3 Corpo com Valor Absoluto..................... 10 1.4 Corpo Ordenado........................... 12 1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado.............. 15 1.6 N´umeros Reais............................ 17 1.7 N´umeros Complexos........................ 20 1.8 Caracter´ıstica do Corpo...................... 25 1.9 M´etricas................................ 27

2 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

1.1 Opera¸c˜ao Bin´aria. Grupos

Defini¸c˜ao 1.1.1 (Opera¸c˜ao) Seja IE um conjunto n˜ao vazio. Uma opera¸c˜ao bin´aria em IE ´e uma aplica¸c˜ao, que denotamos por ⋆, que a cada par ordenado (x, y) ∈ IE × IE associa o elemento x ⋆ y ∈ IE.

Defini¸c˜ao 1.1.2 (Fechamento) Seja ⋆ uma opera¸c˜ao bin´aria sobre IE. Dizemos que o subconjunto A ⊆ IE, n˜ao vazio, ´e fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao ⋆ se para todo par ordenado (x, y) ∈ A × A tem–se que x ⋆ y ∈ A.

Exemplo 1.1.1 Considere IN = { 1 , 2 , 3 , 4 , · · · } , o conjunto dos n´umeros naturais. Podemos verificar facilmente que IN ´e fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao + e tamb´em com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao ×.

Exemplo 1.1.2 Considere Z = { · · · , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , · · · } , o conjunto dos n´umeros inteiros. Podemos verificar facilmente que Z ´e fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao

• e tamb´em com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao ×.

Defini¸c˜ao 1.1.3 Uma opera¸c˜ao ⋆ definida em IE pode ter as seguintes propriedades:

• Dizemos que uma opera¸c˜ao ⋆ definida em IE ´e associativa se ∀ x, y, z ∈ IE tem–se que (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z).
• Dizemos que uma opera¸c˜ao ⋆ definida em IE ´e comutativa se ∀ x, y ∈ IE tem–se que x ⋆ y = y ⋆ x.
• Dizemos que o elemento e ∈ IE ´e o elemento neutro da opera¸c˜ao ⋆ se ∀ x ∈ IE tem–se que x ⋆ e = e ⋆ x = x.
• Dizemos que o elemento x ∈ IE ´e simetriz´avel para uma opera¸c˜ao ⋆ com o elemento neutro e se existe um elemento x ∈ E tal que x ⋆ x = x ⋆ x = e.

Exemplo 1.1.3 Considere IE = IR o conjunto dos n´umeros reais. Vamos definir em IE uma opera¸c˜ao ⋆ da seguinte forma: para cada par ordenado (x, y) ∈ IR × IR associamos o elemento x ⋆ y = (x + y) + (x × y). Podemos mostrar facilmente que a opera¸c˜ao ⋆ ´e associativa, comutativa e possui elemento neutro.

Exemplo 1.1.4 Podemos verificar que o conjunto dos n´umeros inteiros Z possui uma estrutura de grupo com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao usual de adi¸c˜ao.

4 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exemplo 1.1.8 O conjunto Q(

2. = { a + b

2 / a, b ∈ Q } tem uma estrutura de grupo multiplicativo abeliano, com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao usual de multiplica¸c˜ao dos n´umeros racionais.

Exemplo 1.1.9 Considere o subconjunto S ⊂ IM (^) n (IR) definido por:

S = { D ∈ IM (^) n (IR) / D ´e uma matriz diagonal invert´ıvel }.

Mostre que (S, ⋆) tem uma estrutura de grupo multiplicativo abeliano, onde ⋆ ´e a opera¸c˜ao usual de multiplica¸c˜ao de matrizes.

Defini¸c˜ao 1.1.6 (Subgrupo) Seja (G, ⋆) um grupo. Dizemos que um subconjunto S ⊂ G n˜ao vazio ´e um subgrupo de G se S for fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao ⋆ e (S, ⋆) tem uma estrutura de grupo.

Exemplo 1.1.10 Dado n ∈ IN , o subconjunto Zn ⊂ Z definido da forma:

Zn = { x ∈ Z / x = n × m ; m ∈ Z }

´e um subgrupo do grupo aditivo (Z, +), onde × ´e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em Z.

Petronio Pulino 5

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1.1 Verifique se (E, ⋆) tem uma estrutura de grupo abeliano. Em caso negativo, dizer quais propriedades n˜ao s˜ao satisfeitas.

(a) E = IN 0 = { 0 , 1 , 2 · · · } e x ⋆ y = x + y

(b) E = Z e x ⋆ y = x + y − 1 (c) E = Z e x ⋆ y = x + y + 1

(d) E = Z e x ⋆ y = 2 × x + y

(e) E = Z e x ⋆ y = x × y

onde + indica a opera¸c˜ao usual de adi¸c˜ao e × indica a opera¸c˜ao usual de multiplica¸c˜ao.

Exerc´ıcio 1.2 Considere o conjunto dos n´umeros reais IR munido da opera¸c˜ao ⋆ definida por x ⋆ y = x + y + 4. Mostre que (IR, ⋆) tem uma estrutura de grupo comutativo.

Exerc´ıcio 1.3 Considere o conjunto dos n´umeros reais IR munido da opera¸c˜ao ⋆ definida por x ⋆ y = x + 2 × y − 4. Verifique se (IR, ⋆) tem uma estrutura de grupo comutativo. Em caso negativo, dizer quais propriedades n˜ao s˜ao satisfeitas.

Exerc´ıcio 1.4 Considere o conjunto dos n´umeros reais positivos IR +^ , isto ´e,

IR +^ = { x ∈ IR / x > 0 } ,

munido da opera¸c˜ao ⋆ definida por x ⋆ y = x + y + 8. Verifique se (IR +^ , ⋆) possui uma estrutura de grupo comutativo.

Exerc´ıcio 1.5 Considere o conjunto dos n´umeros reais positivos IR +^ munido da opera¸c˜ao ⋆ definida por x ⋆ y = x + y − 6. Verifique se (IR +^ , ⋆) possui uma estrutura de grupo comutativo.

Exerc´ıcio 1.6 Considere o subconjunto IR ∗^ dos n´umeros reais definido por:

IR ∗^ = { x ∈ IR / x ̸= 0 } ,

Mostre que (IR ∗^ , ×) possui uma estrutura de grupo multiplicativo abeliano, com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao usual de multiplica¸c˜ao.

Petronio Pulino 7

1.2 Corpo Comutativo

Defini¸c˜ao 1.2.1 Um corpo comutativo ´e um conjunto n˜ao vazio IF munido de duas opera¸c˜oes, denominadas adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, que vamos denotar por + e ×, respectivamente, que satisfazem os seguintes axiomas:

Axiomas de Fechamento (F 1 ) IF ´e fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao. Para todos x, y ∈ IF temos que x + y ∈ IF. (F 2 ) IF ´e fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao. Para todos x, y ∈ IF temos que x × y ∈ IF.

Axiomas da Opera¸c˜ao de Adi¸c˜ao (A 1 ) Associatividade: para todos x, y, z ∈ IF temos que (x + y) + z = x + (y + z). (A 2 ) Comutatividade: para todos x, y ∈ IF temos que x + y = y + x.

(A 3 ) Elemento Neutro: existe um ´unico elemento em IF , denotado por (^0) IF , tal que x + 0 (^) IF = x ; ∀ x ∈ IF.

(A 4 ) Elemento Sim´etrico: todo elemento x ∈ IF possui um ´unico elemento sim´etrico (−x) ∈ IF tal que x + (−x) = 0 (^) IF.

Axiomas da Opera¸c˜ao de Multiplica¸c˜ao

(M 1 ) Associatividade: ∀ x, y, z ∈ IF temos que (x × y) × z = x × (y × z).

(M 2 ) Comutatividade: ∀ x, y ∈ IF temos que x × y = y × x.

(M 3 ) Elemento Neutro: existe um ´unico elemento em IF , denotado por (^1) IF , tal que x × (^1) IF = x para todo x ∈ IF.

(M 4 ) Inverso Multiplicativo: todo elemento x ∈ IF com x ̸= 0 (^) IF possui um ´unico elemento x −^1 ∈ IF tal que x × x −^1 = 1 (^) IF.

(D 1 ) Distributividade: ∀ x, y, z ∈ IF temos que x × (y + z) = (x × y) + (x × z).

E interessante observar que (^ ´ IF, +) tem uma estrutura de grupo aditivo abeliano. Seja o conjunto IF ∗^ = { x ∈ IF / x ̸= 0 (^) IF }. Observamos que (IF ∗^ , ×) tem uma estrutura de grupo multiplicativo abeliano.

8 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Defini¸c˜ao 1.2.2 (subcorpo) Seja IF um corpo. Dizemos que um subconjunto S ⊂ IF , n˜ao vazio, ´e um subcorpo de IF se S possui uma estrutura de corpo com rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao definidas em IF.

Teorema 1.2.1 Sejam a, b, c ∈ IF com a + b = a + c. Ent˜ao b = c.

Demonstra¸c˜ao – Pelo Axioma (A 4 ) de corpo, temos que existe um ´unico elemento d ∈ IF tal que a + d = 0 (^) IF. Desse modo, obtemos

b = (a + d) + b = d + (a + b) = d + (a + c) = (a + d) + c = c ,

utilizando os Axiomas (A 1 ) e (A 3 ) de corpo, completando a demonstra¸c˜ao.!

Essa propriedade ´e denominada Lei do Cancelamento para a Adi¸c˜ao. Em particular, essa propriedade mostra a unicidade do elemento neutro da adi¸c˜ao.

Teorema 1.2.2 Sejam a, b ∈ IF. Ent˜ao, existe um ´unico x ∈ IF tal que a + x = b.

Demonstra¸c˜ao – Pelo Axioma (A 4 ) de corpo, temos que existe um ´unico elemento d ∈ IF tal que a + d = 0 (^) IF. Seja o elemento x = d + b. Assim, temos que

a + x = a + (d + b) = (a + d) + b = (^0) IF + b = b ,

utilizando os Axiomas (A 1 ) e (A 3 ) de corpo, completando a demonstra¸c˜ao.!

Denotamos o elemento x = b − a para indicar a diferen¸ca entre os elementos a e b. Em particular, 0IF − a ´e simplesmente escrito como −a que ´e denominado negativo ou sim´etrico do elemento a. A opera¸c˜ao que a cada par (a, b) ∈ IF × IF −→ a − b ´e denominada subtra¸c˜ao.

Teorema 1.2.3 Sejam a, b, c ∈ IF com a × b = a × c e a ̸= 0 (^) IF. Ent˜ao b = c.

Demonstra¸c˜ao – Como a ̸= 0 (^) IF , pelo Axioma (M 4 ) de corpo, temos que existe um ´unico elemento d ∈ IF tal que a × d = 1 (^) IF. Desse modo, obtemos

b = (a × d) × b = d × (a × b) = d × (a × c) = (a × d) × c = c ,

utilizando os Axiomas (M 1 ) e (M 3 ) de corpo, completando a demonstra¸c˜ao.!

Essa propriedade ´e denominada Lei do Cancelamento para a Multiplica¸c˜ao. Em particular, essa propriedade mostra a unicidade do elemento neutro da multiplica¸c˜ao.

10 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exemplo 1.2.1 O conjunto dos n´umeros racionais

Q =

p q / p, q^ ∈^ Z^ ,^ q^ ̸= 0

tem uma estrutura de corpo, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.

Exemplo 1.2.2 O conjunto dos n´umeros inteiros Z = { · · · , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , · · · } n˜ao possui uma estrutura de corpo, pois o Axioma (M 4 ), da defini¸c˜ao de corpo, n˜ao ´e satisfeito, exceto para n = 1 ou n = − 1.

Exemplo 1.2.3 O conjunto dos n´umeros reais, denotado por IR, tem uma estrutura de corpo, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.

1.3 Corpo com Valor Absoluto

Defini¸c˜ao 1.3.1 Seja IF um corpo. Definimos o valor absoluto em IF como sendo uma aplica¸c˜ao v(·) que associa a cada elemento x ∈ IF um n´umero real v(x), que possui as seguintes propriedades:

(a) v(x) ≥ 0.

(b) v(x) = 0 se, e somente se, x = 0 (^) IF.

(c) v(x × y) = v(x)v(y).

(d) v(x + y) ≤ v(x) + v(y).

Defini¸c˜ao 1.3.2 Seja IF um corpo. A aplica¸c˜ao v(·) que associa a cada elemento x ∈ IF um n´umero real v(x) definida por:

v(x) =

1 se x ̸= 0 (^) IF 0 se x = 0 (^) IF

´e denominada valor absoluto trivial em IF.

Petronio Pulino 11

Lema 1.3.1 Sejam IF um corpo com valor absoluto v(·) e x ∈ IF tal que x n^ = 1 (^) IF para todo inteiro positivo n. Ent˜ao, v(x) = 1.

Demonstra¸c˜ao – Primeiramente vamos observar que v(1 (^) IF ) = 1. De fato,

(1 (^) IF ) 2 = 1 (^) IF × (^1) IF = 1 (^) IF =⇒ v((1 (^) IF ) 2 ) = v(1 (^) IF )v(1 (^) IF ) = v(1 (^) IF ).

Assim, conclu´ımos que v(1 (^) IF ) = 0 ou v(1 (^) IF ) = 1. Note que, se v(1 (^) IF ) = 0, ent˜ao v(a) = 0 para todo a ∈ IF. Portanto, temos que v(1 (^) IF ) = 1.

Finalmente, tomando x n^ = 1 (^) IF , obtemos

v(x n^ ) = v(1 (^) IF ) =⇒ (v(x)) n^ = 1 =⇒ v(x) = 1 ,

o que completa a demonstra¸c˜ao.!

Lema 1.3.2 Seja IF um corpo com valor absoluto v(·). Ent˜ao,

v(−x) = v(x) para todo x ∈ IF.

Demonstra¸c˜ao – Sabemos que

(− (^1) IF ) 2 = − (^1) IF × − (^1) IF = 1 (^) IF × (^1) IF = 1 (^) IF.

Portanto, obtemos v(− (^1) IF ) = 1. Desse modo, temos que

v(−x) = v(− (^1) IF × x) = v(− (^1) IF )v(x) = v(x) ,

o que completa a demonstra¸c˜ao.!

Lema 1.3.3 Seja IF um corpo com valor absoluto v(·). Ent˜ao,

v(x) − v(y) ≤ v(x + y) para todos x, y ∈ IF.

Demonstra¸c˜ao – Considerando x = x + y − y e a propriedade da desigualdade triangular, isto ´e,

v(x + y) ≤ v(x) + v(y) para todos x, y ∈ IF ,

obtemos

v(x) = v(x + y − y) ≤ v(x + y) + v(−y) = v(x + y) + v(y)

Portanto, temos que v(x) − v(y) ≤ v(x + y).!

Petronio Pulino 13

Num corpo ordenado IF , podemos escrever x < y para indicar que y − x ∈ IF +^ , isto ´e, o elemento y − x ´e positivo. De modo an´alogo, escrevemos y > x para indicar que o elemento y ´e maior que o elemento x. Em particular, escrevemos x > (^0) IF para dizer que x ∈ IF +^ , isto ´e, o elemento x ´e positivo. De mesmo modo, escrevemos x < (^0) IF para dizer que o elemento x ´e negativo, isto ´e, o elemento −x ∈ IF +^.

A partir dos axiomas da Defini¸c˜ao 1.4.2 vamos mostrar os axiomas da Defini¸c˜ao 1.4.1.

(O 1 ) Princ´ıpio da Compara¸c˜ao Dados os elementos x, y ∈ IF. Pelo axioma (O 2 ) da Defini¸c˜ao 1.4.2, temos as seguintes possibilidades:

(1) y − x ∈ IF +^ (2) − (y − x) ∈ IF +^ (3) y − x = 0 (^) IF.

Assim, podemos concluir que ou x < y ou y < x ou x = y.

(O 2 ) Transitividade Considere os elementos x, y, z ∈ IF com x < y e y < z. Assim, podemos afirmar que y − x ∈ IF +^ e z − y ∈ IF +^. Pelo axioma (O 1 ) da Defini¸c˜ao 1.4.2, temos que o elemento (y − x) + (z − y) ∈ IF +^. Logo, o elemento z − x ∈ IF +^. Assim, podemos concluir que x < z.

(O 3 ) Consistˆencia da Adi¸c˜ao com a Rela¸c˜ao de Ordem Considere os elementos x, y, z ∈ IF com y < z, isto ´e, o elemento z − y ∈ IF +^. Desse modo, temos que z − y = (z + x) − (y + x) ∈ IF +^. Assim, podemos concluir que y + x < z + x.

(O 4 ) Consistˆencia da Multiplica¸c˜ao com a Rela¸c˜ao de Ordem Considere os elementos x, y ∈ F com (^0) IF < x e (^0) IF < y , isto ´e, x ∈ IF +^ e y ∈ IF +^. Logo, temos que x × y ∈ IF +^ , pelo axioma (O 1 ) da Defini¸c˜ao 1.4.2. Assim, podemos concluir que x × y > (^0) IF.

Portanto, tomando os elementos x, y, z ∈ IF com x < y e (^0) IF < z , isto ´e, y − x ∈ IF +^ e z ∈ IF +^. Pelo axioma (O 1 ) da Defini¸c˜ao 1.4.2, temos que o elemento (y − x) × z ∈ IF +^ , isto ´e, o elemento y × z − x × z ∈ IF +^. Desse modo, podemos concluir que x × z < y × z.

14 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

De modo an´alogo, a partir dos axiomas da Defini¸c˜ao 1.4.1 podemos obter os axiomas da Defini¸c˜ao 1.4.2. Assim, essas defini¸c˜oes s˜ao equivalentes. Para um estudo mais detalhado sobre corpos ordenados podemos consultar a referˆencia [17].

Exemplo 1.4.1 O conjunto dos n´umeros racionais

Q =

p q / p, q^ ∈^ Z^ ,^ q^ ̸= 0

´e um corpo ordenado, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao. O conjunto dos n´umeros racionais positivos Q +^ ´e definido por:

Q +^ =

{ (^) p q

/ p, q ∈ IN

Exemplo 1.4.2 O conjunto Q(

a + b

2 / a, b ∈ Q

´e um corpo ordenado, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.

Exemplo 1.4.3 Considere o seguinte conjunto Z (^) p = { 0 , 1 , 2 , · · · , (p − 1) } , onde p ´e um inteiro positivo, no qual definimos as opera¸c˜oes:

• Adi¸c˜ao: a ⊕ b = c, onde c ´e o resto da divis˜ao da soma a + b pelo inteiro p, isto ´e, a + b = mp + c para algum m ∈ IN ∪ { 0 }.
• Multiplica¸c˜ao: a ⊗ b = d, onde d ´e o resto da divis˜ao do produto ab pelo inteiro p, isto ´e, ab = mp + d para algum m ∈ IN ∪ { 0 }.

Como Z (^) p deve ser fechado com rela¸c˜ao as opera¸c˜oes, temos que c, d ∈ Z (^) p.

Podemos mostrar que Z (^) p tem um estrutura de corpo quanto p ´e um n´umero primo. Considere como exemplo Z 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. Fa¸ca a verifica¸c˜ao que Z 5 satisfaz os axiomas de corpo.

Exemplo 1.4.4 O corpo Z 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } n˜ao ´e um corpo ordenado. De fato, tomando por exemplo 2 + 3 = 0 em Z 5. Entretanto, num corpo ordenado a soma de dois elementos positivos deve ser igual a um elemento positivo. Assim, mostramos que Z 5 n˜ao comporta uma rela¸c˜ao de ordem.