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MA327 Álgebra Linear - Gabarito Prova 1
Aplicada em 05/09/
Turmas 8h-10h
Questão 1 Seja M 2 × 2 (R) o espaço vetorial das matrizes reais 2 × 2 e considere os seguintes subconjuntos:
U = {A ∈ M 2 × 2 (R) : traço A = 0}, W = {A ∈ M 2 × 2 (R) : A^2 = A}.
Lembrar que se A = a^ b c d
, então o traço de A é o valor a + d.
- [1 ponto] Mostrar que U é subespaço vetorial de M 2 × 2 (R).
- [1 ponto] Mostrar que W não é subespaço vetorial de M 2 × 2 (R).
SOLUÇÃO:
- Vamos verificar que U é não vazio, que U é fechado pela soma e fechado pela multiplicação por escalar.
Temos que U é não vazio, pois
∈ U. Sejam A, B ∈ U e λ ∈ R, temos que traço A = 0 e
traço B = 0. Assim, traço (A + B) = traço A + traço B = 0 + 0 = 0
e traço (λA) = λtraço A = λ · 0 = 0.
Portanto, A + B ∈ U e λA ∈ U.
Logo, U é subespaço vetorial de M 2 × 2 (R).
- Para mostrar que W não é subespaço, basta mostrar que uma das propriedades de espaço vetorial falha. Vamos mostrar que W não é fechado pela soma.
É claro que I ∈ W , pois I^2 = I. Porém,
(I + I)^2 = (2I)^2 = 4I^2 = 4I ̸= I + I,
ou seja, I + I /∈ W. Logo, W não é subespaço vetorial de M 2 × 2 (R).
Questão 2 Considere v 1 = (1, 2 , 0 , 1), v 2 = (1, 0 , 3 , 3), v 3 = (0, 2 , − 1 , 0) e v 4 = (1, 0 , 0 , 0) em R^4. Seja S = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }.
- [1 ponto] Encontre uma base para o subespaço gerado por S e calcule sua dimensão.
- [1 ponto] Complete a base encontrada no item anterior a uma base de R^4.
- [1 ponto] Sejam U = [{v 1 , v 2 }] e W = [{v 3 , v 4 }]. Verifique que dim U = dim W = 2. Calcule dim(U ∩ W ) sem encontrar explícitamente o subespaço U ∩ W ; justifique.
SOLUÇÃO:
Daremos duas soluções para os itens 1. e 2.
Solução 1: Vamos verificar se S é linearmente independente ou se algum vetor é combinação linear dos demais.
Sejam a, b, c, d ∈ R tais que av 1 + bv 2 + cv 3 + dv 4 = 0. Como av 1 + bv 2 + cv 3 + dv 4 = a(1, 2 , 0 , 1) + b(1, 0 , 3 , 3) + c(0, 2 , − 1 , 0) + d(1, 0 , 0 , 0) = (a + b + d, 2 a + 2c, 3 b − c, a + 3b),
obtemos o sistema linear
a +b +d = 0 2 a +2c = 0 3 b −c = 0 a +3b = 0
a +b +d = 0 a = −c b = 13 c a +3b = 0
cuja solução é a = −c, b = 13 c, d = 23 c, sendo c ∈ R variável livre. Como as constantes a, b, c, d não são necessariamente todas nulas, temos que S não é linearmente independente. Tomando c = 1, temos que −v 1 + 13 v 2 + v 3 + 23 v 4 = 0 e, portanto,
v 3 = v 1 − 13 v 2 − 23 v 4.
Assim, [S] = [{v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }] = [{v 1 , v 2 , v 4 }].
Precisamos verificar se S′^ = {v 1 , v 2 , v 4 } é linearmente independente. Sejam A, B, C ∈ R tais que Av 1 + Bv 2 + Cv 4 = 0. Como
Av 1 + Bv 2 + Cv 4 = A(1, 2 , 0 , 1) + B(1, 0 , 3 , 3) + C(1, 0 , 0 , 0) = (A + B + C, 2 A, 3 B, A + 3B),
obtemos o sistema linear (^)
A +B +C = 0
2 A = 0
3 B = 0
A +3B = 0
obtemos o sistema linear (^)
A +B +C = 0
2 A +D = 0
3 B +E = 0
A +3B +F = 0.
Vamos tomar E, F ∈ R como variáveis livres. Da terceira equação, temos B = −^13 E e, substituindo esse resultado na quarta equação, A = E − F. Com isso, obtemos D = − 2 A = − 2 E + 2F da segunda equação e C = −A − B = −^23 E + F da primeira equação.
Portanto, a solução é A = E − F, B = −^13 E, C = −^23 E + F, D = − 2 E + 2F , sendo E, F ∈ R variáveis livres.
Tomando E = 1, F = 0, temos que v 1 − 13 v 2 − 23 v 4 − 2 e 2 + e 3 = 0 e, portanto,
e 3 = −v 1 +^13 v 2 +^23 v 4 + 2e 2.
Tomando E = 0, F = 1, temos que −v 1 + v 4 + 2e 2 + e 4 = 0 e, portanto,
e 4 = v 1 − v 4 − 2 e 2.
Logo, R^4 = [{v 1 , v 2 , v 4 , e 2 , e 3 , e 4 }] = [{v 1 , v 2 , v 4 , e 2 }]. Como temos um conjunto de quatro vetores gerando R^4 , tal conjunto também deve ser linearmente independente, vamos verificar. Sejam, a, b, c, d ∈ R tais que av 1 + bv 2 + cv 4 + de 2 = 0. Como
av 1 + bv 2 + cv 4 + de 2 = a(1, 2 , 0 , 1) + b(1, 0 , 3 , 3) + c(1, 0 , 0 , 0) + d(0, 1 , 0 , 0) = (a + b + c, 2 a + d, 3 b, a + 3b),
obtemos o sistema linear (^)
a +b +c = 0 2 a d = 0 3 b = 0 a +3b = 0,
cuja única solução é a = b = c = d = 0. Segue que {v 1 , v 2 , v 4 , e 2 } é um conjunto linearmente indepen- dente.
Logo, {v 1 , v 2 , v 4 , e 2 } é uma base para R^4 que contém S′^ (base para o subespaço vetorial gerado por S encontrada no item anterior).
Observação: Todo conjunto gerador de R^4 com 4 vetores é linearmente independente e, portanto, é uma base para R^4. De fato, caso contrário, poderíamos remover os elementos que são combinação linear dos demais, obtemos uma base para R^4 com menos de 4 vetores, o que não é possível.
Solução 2:
Para completar a uma base de R^4 , construímos uma nova matriz a partir das linhas não nulas da matriz escalonada (1), adicionando linhas referentes a vetores da base canônica ao final (mantendo a forma escalonada): (^)
No caso, adicionamos o vetor e 4 = (0, 0 , 0 , 1). Concluímos que {v 1 , v 2 , v 3 , e 4 } é uma base de R^4 que contém {v 1 , v 2 , v 3 }, base encontrada para o subespaço gerado por S.
- Como v 1 e v 2 não são múltiplos um do outro, então {v 1 , v 2 } é linearmente independente e, portanto, é uma base para [{v 1 , v 2 }] = U. Logo, dim(U ) = 2. Analogamente, {v 3 , v 4 } é uma base para W e dim(W ) = 2.
Para calcular a dimensão de U ∩ W , observamos que U + W = [S] e, portanto, dim(U + W ) = dim([S]) = 3 (pelo primeiro item dessa questão). Logo, por um resultado estudado (Teorema 3.6.5 do livro-texto), concluímos que
dim(U ∩ W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U + W ) = 2 + 2 − 3 = 1.
Nomeando p 1 (t) = 1, p 2 (t) = t, p 3 (t) = t^3 , p 4 (t) = t^2 − 2 t, p 5 (t) = t^3 − 4 t. Temos claramente que p 5 (t) = p 3 (t) − 4 p 2 (t) e, portanto, U + W = [{ 1 , t, t^3 , t^2 − 2 t, t^3 − 4 t}] = [{ 1 , t, t^3 , t^2 − 2 t}]. Vamos verificar se { 1 , t, t^3 , t^2 − 2 t} é linearmente independente.
Sejam a, b, c, d ∈ R tais que a + bt + ct^3 + d(t^2 − 2 t) = 0, obtemos o sistema linear
a = 0 b − 2 d = 0 d = 0 c = 0,
cuja única solução é a = b = c = d = 0. Portanto, { 1 , t, t^3 , t^2 − 2 t} é linearmente independente e gera U + W , portanto é uma base de U + W.
Observação: Para encontrar uma base de U + W , poderíamos observar que dim(U ) = 2, dim(W ) = 3 e dim(U ∩ W ) = 1. Assim,
dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) = 2 + 3 − 1 = 4 = dim(P 3 (R))
e, como U + W ≤ P 3 (R), segue que U + W = P 3 (R). Portanto, a base canônica { 1 , t, t^2 , t^3 } é uma base de U + W.
Questão 4 Considere as bases β = {u 1 , u 2 , u 3 } e γ = {w 1 , w 2 , w 3 } de R^3 , relacionadas da seguinte forma
w 1 = u 1 − u 2 − u 3 w 2 = 2 u 2 + 3u 3 w 3 = 3 u 1 + u 3
- [1 ponto] Considere o vetor v ∈ R^3 que tem por coordenadas na base γ a seguinte tripla:
[v]γ =
Determine as coordenadas de v na base β, isto é, calcule [v]β.
- [1 ponto] Entre as opções listadas abaixo, encontre as matrizes de mudança de base [I]βγ e [I]γβ :
(i) A =
, (ii) A− (^1) =
, (iii) (A− (^1) )t (^) =
(iv) At^ =
, (v) nenhuma das anteriores
SOLUÇÃO:
- Pelas coordenadas de v na base γ, temos que v = w 1 +2w 2 +3w 3. Utilizando as relações entre os vetores das base β e γ, obtemos
v = w 1 + 2w 2 + 3w 3 = (u 1 − u 2 − u 3 ) + 2(2u 2 + 3u 3 ) + 3(3u 1 + u 3 ) = 10u 1 + 3u 2 + 8u 3.
Portanto, [v]β =
Observação: Um outro jeito de calcular [v]β é escrever a matriz mudança de base [I]γβ (como no próximo item) e calcular o produto [I]γβ [v]γ
- Construímos a matriz de mudança de base [I]γβ colocando na i-ésima coluna as coordenadas de wi na base β (i = 1, 2 , 3 ). Pelas relações entre os vetores das bases de β e γ, temos
[w 1 ]β =
, [w 2 ]β =
, [w 3 ]β =
