UFPE – ´
AREA 2 – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM´
ATICA
´
ALGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010
SEGUNDA CHAMADA
Nome: Turma:
1. (2,0 pts) Determine para que valores reais de ao subespa¸co W= [(1,0,2),(1,1,1),(0,1, a)]
´e tal que W⊥6={0}.
2. Seja Vespa¸co vetorial com produto interno <, > eT:V→Vuma transforma¸c˜ao
linear. Mostre que:
(a) (0,8 pts) Se T´e auto-adjunto e ortogonal, ent˜ao T2=I, ou seja T2(v) = T(T(v)) =
v, ∀v∈V.
{Sugest˜ao: Calcule kT2(v)−vk}.
(b) (0,7 pts) Se T∗:V→V´e um operador linear tal que < u, T (v)>=< T∗(u), v >,
ent˜ao o operador linear S:V→Vdefinido por S(v) = (T+T∗)(v) ´e auto adjunto.
3. Seja T:P2→R2definida por
T(p(x)) = (p(0), p(1)).
(a) (0,4 pts) Enuncie o Teorema do N´ucleo e da Imagem.
(b) (0,8 pts) Determine uma base para Ker(T).
(c) (0,8 pts) Determine uma base para Im(T).
(d) (0,5 pts) Diga se T´e injetora. Justifique.
4. (2,0 pts) Seja V=R2com produto interno
<(x1, y1),(x2, y2)>=x1x2−x1y2−x2y1+ 2y1y2.
Seja β={(1,0),(0,1)}e [T]β
β=−1 0
0−1a matriz da transforma¸c˜ao linear
T:R2→R2na base β.T´e ortogonal? T´e auto-adjunto? Justifique.
5. Seja T:R3→R3dado por T(x, y, z )=(x+ 2y, −x−y+z, y +z).
(a) (0,5 pts) Determine os autovalores de T.
(b) (1,0 pt) Determine os autoespa¸cos associados.
(c) (0,5 pts) Diga se T´e diagonaliz´avel. Justifique.
OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUEST˜
OES ´
E PARTE INTE-
GRAL DA PROVA; N ˜
AO FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. N˜
AO ´
E PER-
MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-
CIONAIS. N ˜
AO ´
E PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.
USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORR˜
AO.
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