G
GE
EO
OM
ME
ET
TR
RI
IA
A
A
AN
NA
AL
LÍ
ÍT
TI
IC
CA
A
E
E
Á
ÁL
LG
GE
EB
BR
RA
A
L
LI
IN
NE
EA
AR
R
Profa. Clayde Regina Mendes
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Álgebra Linear: Matrizes e Operações, Exercícios de Logística
Uma introdução aos conceitos fundamentais de álgebra linear, com foco na definição e operações com matrizes. São abordadas definições como matriz, matriz quadrada, matriz nula, matriz coluna, matriz linha, matriz diagonal, matriz identidade, matriz simétrica, além de operações como adição, multiplicação por escalar e produto de matrizes. O documento também traz exemplos práticos de aplicação desses conceitos, como a construção de tabelas de produção de grãos por região e ano, e o cálculo da quantidade total de vitaminas ingeridas a partir de uma matriz de composição de alimentos. Ao final, são propostos diversos exercícios envolvendo operações com matrizes, como cálculo de determinantes, cofatores e matrizes inversas.
Tipologia: Exercícios
2023
1 / 14
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Álgebra Linear: Matrizes e Operações e outras Exercícios em PDF para Logística, somente na Docsity!
GGEEOOMMEETTRRIIAA AANNAALLÍÍTTIICCAA
E E
Á ÁLLGGEEBBRRAA LLIINNEEAARR
Profa. Clayde Regina Mendes
M MAATTRRIIZZEESS
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3ª ed revista e ampliada. São Paulo:
Harper & Row do Brasil, 1986 – Capítulo 1.
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: teoria e problemas. 3ª ed. revista e
ampliada. São Paulo: Pearson Makron Books, 2004 – Capítulo 3.
Definição1: MATRIZ é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por
exemplo, considere a seguinte tabela:
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Quando abandonamos o significado de cada linha e de cada coluna, temos a matriz:
Definição 2: Duas matrizes são iguais se elas tem o mesmo número de colunas, o
mesmo número de linhas e se todos os seus elementos correspondentes são iguais.
Definição 3: Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas.
Exemplos:
ou [ 8 ]
Definição 4: Matriz nula: todos os elementos são iguais a zero.
OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM MMAATTRRIIZZEESS
Exemplo 1: Considere as duas tabelas a seguir:
Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o ano de 2009
soja feijão arroz milho
Região A 3000 200 400 600
Região B 700 350 700 100
Região C 1000 100 500 800
Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o ano de 2010
soja feijão arroz milho
Região A 5000 50 200 0
Região B 2000 100 300 300
Região C 2000 100 600 600
A partir dessas duas tabelas, construa uma tabela que apresente a produção por
produto e por região dos dois anos em conjunto:
Produção de grãos (em milhares de toneladas)
durante os anos de 2009 e 2010
soja feijão arroz milho
Região A
Região B
Região C
ADIÇÃO: A soma de duas matrizes de mesma ordem (A e B) é uma matriz (que será
denotada por A + B) cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A
e B.
Exemplo: =
Exemplo 2: Considere a seguinte tabela:
Produção de grãos (em milhares de toneladas)
soja feijão arroz milho
Região A 3000 200 400 600
Região B 700 350 700 100
Região C 1000 100 500 800
Supondo a produção constante por produto e por região, construa uma tabela que
apresente a produção por produto e por região em um período de 5 anos.
Produção de grãos (em milhares de toneladas)
em um período de cinco anos
soja feijão arroz milho
Região A
Região B
Região C
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: A multiplicação de uma matriz por um escalar tem
como resultado uma nova matriz em cada um dos elementos da matriz inicial
aparecerá multiplicado pelo escalar.
Exemplo: (^) =
TRANSPOSIÇÃO: Dada uma matriz A, podemos obter a matriz AT^ (ou A’) cujas linhas
são as colunas de A. A matriz AT^ é chamada matriz transposta de A.
Exemplo: Se
A então AT^ =
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
- Calcule:
a. (^)
^ +
b.
- Sejam as matrizes: (^)
A ,
B e (^)
C , determine:
a. 2A + 3B
b. (A·B)·C
c. AT·B
d. A^2
- Determine x e y para que sejam iguais as matrizes (^)
x y
x y 2 3 3
e (^)
.
Para representar cada elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o
primeiro indica em linha e o segundo em que coluna o elemento se encontra;
Cada elemento genérico de uma matriz A é indicado por aij , em que i representa a
linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra;
Uma matriz A , do tipo mxn , será escrita do seguinte modo:
m m m mn
n
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
- Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que aij = i + j.
a. Escreva a matriz A
b. Determine x , y , z e t para que se tenha A x t t z
x y x z =
.
E EXXEERRCCÍÍCCIIOOSS CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARREESS
- Dadas as matrizes (^)
A ,
B e (^)
C , calcule: A+B , A+C ,
B+C e A+B+C.
- Sejam as matrizes: (^)
A ,
B e (^)
C , determine:
a. 5A – 2B
b. B.C
c. BT
d. AT.BT
e. (A.B)T
f. A^2 .C
- Dada a matriz quadrada
, seja x o produto dos elementos da diagonal
principal e seja y o produto dos elementos da diagonal secundária. Calcule x – y.
- Sabe-se que (^)
^ =
a c b d
a a b
. Calcule a , b , c e d.
- Se
z x
y
x 10
, calcule x , y e z.
- Determine x e y para que se tenha (^)
x y
x
- Determine a , b , x e y para que as matrizes (^)
x y a b
x y a b 2
e (^)
sejam
iguais.
- Sabendo que (^)
2 b 2 a 3 d
a b b c , determine a , b , c e d.
- Determine m e n para que (^2) 0
I
n
m n m =
Á ÁLLGGEEBBRRAA DDAASS MMAATTRRIIZZEESS QQUUAADDRRAADDAASS
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3ª ed revista e ampliada. São Paulo:
Harper & Row do Brasil, 1986 – Capítulo 3.
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: teoria e problemas. 3ª ed. revista e
ampliada. São Paulo: Pearson Makron Books, 2004 – Capítulo 4.
Definição 1: As matrizes A e B comutam se A.B = B.A. (ESSA CONDIÇÃO SÓ SE
APLICA A MATRIZES QUADRADAS DE MESMA ORDEM).
Exercício 1: Verifique se as matrizes (^)
A e (^)
B comutam. Justifique
sua resposta.
Definição 2 - Matrizes Inversíveis (ou não-singulares): Uma matriz quadrada A
é inversível (ou não-singular) se existe uma matriz B tal que A.B = B.A = I , onde I é
a matriz identidade.
Exercício 2: Sejam (^)
A e (^)
B. Calcule A.B e B.A. A partir desses dois
resultados, você pode afirmar que as matrizes A e B são inversíveis? Justifique sua
resposta.
Exercício 3: Determine a inversa da matriz (^)
A
Definição 3 - Matrizes Triangulares: Uma matriz quadrada A é chamada triangular
superior (ou simplesmente triangular) se todos os elementos abaixo da diagonal
principal são iguais a zero.
Exemplo:
Definição 4 - Matrizes Normais: Uma matriz A é normal se A.AT^ = AT.A.
Exercício 4: Seja (^)
A. Determine AT^ e depois calcule: A.AT^ e AT.A. A partir
desses resultados, você pode afirmar que a matriz A é normal? Justifique sua
resposta.
Definição 5 - Matrizes Ortogonais: Uma matriz A é ortogonal se A.AT^ = AT.A = I
(UMA MATRIZ ORTOGONAL É NECESSARIAMENTE QUADRADA E INVERSÍVEL, COM
INVERSA A-1^ = AT)
Exercício 5: Seja
A. Determine AT^ e depois calcule: A.AT^ e AT.A. A
partir desses resultados, você pode afirmar que a matriz A é ortogonal? Justifique sua
resposta.
E EXXEERRCCÍÍCCIIOOSS CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARREESS
LIPSCHUTZ
a. página 192 – exercícios 4.80 e 4.
b. página 193 – exercício 4.
C COOFFAATTOORR
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n≥2, denomina-se cofator do elemento aij
de A o número real Aij = (-1)i+j.Dij , em que Dij é o menor complementar de A pelo
elemento aij.
Exercício 1: Sendo
A , determine:
a. A 11
b. A 23
M MAATTRRIIZZ DDOOSS CCOOFFAATTOORREESS
Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n. Denomina-se matriz dos cofatores
de A a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo
cofator Aij.
Exercício 2: Dado (^)
A , determine cof (A).
Exercício 3: Dado
B , determine cof (B).
M MAATTRRIIZZ AADDJJUUNNTTAA
Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n. Denomina-se matriz adjunta de A
a matriz transposta da matriz dos cofatores de A , ou seja: adj (A) = [cof (A)]T.
Exercício 4: Determine a matriz adjunta das matrizes A e B dos exercícios 2 e 3,
respectivamente.
U UMMAA AAPPLLIICCAAÇÇÃÃOO IIMMPPOORRTTAANNTTEE DDOOSS DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS
Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n.
A é inversível se e somente se det (A) ≠ 0 e, nesse caso,. ( ) det( )
adj A A
A =
−
Exercício 5: Para cada uma das matrizes a seguir, determine sua inversa, se existir.
a. (^)
B
b.
D
c. (^)
C
d.
A
e.
E
E EXXEERRCCÍÍCCIIOOSS CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARREESS
LIPSCHUTZ
PÁGINA 393 – EX. 7.
PÁGINA 394 – EX. 7.
BOLDRINI
PÁGINA 11 – EX. 1
PÁGINA 12 – EX. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
PÁGINA 90 – EX. 3 (a), 4
PÁGINA 92 – EX. 12