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Análise combinatória e probabilidade básica
Tipologia: Notas de estudo
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Questões de
raciocínio lógico – Aula 3
Emerson Marcos Furtado*
Tópicos abordados:
Análise combinatória
Probabilidade
1. (ESAF) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Matemática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos dessa escola, que lhe diz estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que esse aluno es- teja tendo sérias dificuldades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a:
a) 50%.
b) 25%.
c) 1%.
d) 33%.
e) 20%.
2. (CESPE/UnB) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situa- ção, seguida de uma assertiva a ser julgada. 1. Deseja-se formar uma cadeia de símbolos com os números 0, 1 e 2, de modo que o 0 seja usado três vezes, o número 1 seja usado duas vezes e o número 2, quatro vezes. Nessa situação, o número de cadeias diferentes que podem ser formadas é maior que 1 280.
***** (^) Mestre em Métodos Nu- méricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Licenciadotica pela UFPR.em Matemá- Profes- sor de Ensino Médio de colégios nos estados doParaná e Santa Catarina desde 1992; professor do Curso Positivo de Curiti-ba desde 1996; professor da Universidade Positivo,de 2000 a 2005; autor de livros didáticos destina- dos a concursos públicos,nas áreas de Matemática, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico e Esta-tística; sócio - diretor do Instituto de Pesquisas e ProjetosPráxis, de 2003 Educacionais a 2007; sóciogio Positivo - professor de doJoinville Colé- desde 2006; sócio - diretor daProdução de Materiais Di- empresa Teorema – dáticos Ltda. desde 2005; autor de material didáticopara o Sistema de Ensino do Grupo Positivo, de 2005 a 2009; professor doCEC – Concursos e Editora de Curitiba, desde 1992, lecionando as disciplinasde Raciocínio Lógico, Es- tatística,Matemática Matemática Financeira; e consultor da empresa Result – Consultoria emAvaliação de Curitiba, de 1998 a 2000; consultor em Estatísticaprojetos de pesquisa de- Aplicada com senvolvidos nas áreas so- cioeconômica, de qualida-de, educacional, industrial emembro do Instituto de eleições desde 1999; Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (IPRO-CADE) desde 2008; autor de questões para concur- sos públicos no estado doParaná desde 2003.
atriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefone- ma de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação, recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7.
b) 1/3.
c) 2/3.
d) 5/7.
e) 4/7.
5. (Funrio) Quantos números inteiros, cujos algarismos são todos ímpa- res e distintos, existem entre 300 e 900?
a) 36.
b) 24.
c) 27.
d) 48.
e) 64.
6. (Cesgranrio) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna, retiram-se, sucessi- vamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?
a) 15.
b) 20.
c) 23.
d) 25.
e) 27.
7. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e
de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:
a) 10.
b) 14.
c) 20.
d) 25.
e) 45.
8. (CESPE/UnB) Para formar-se um anagrama, permutam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL é um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas informações, julgue os próximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR. 1. ( ) O número de anagramas distintos é inferior a 100. 2. ( ) O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a 6. 3. ( ) O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a 15. 4. ( ) O número de anagramas distintos que começam com vogal e ter- minam com consoante é superior a 44. 9. (Funrio) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam pela letra C é:
a) 120.
b) 140.
c) 160.
d) 180.
e) 200.
10. (ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dis- postas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro
13. (CESPE/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus ( ), espadas ( ), copas ( ) e ouros ( ). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. 1. ( ) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13. 2. ( ) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52. 3. ( ) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26. 14. (ESAF) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moe- das defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas essas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a: a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 2/3. e) 3/4. 15. (Cesgranrio) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não vicia- do, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: a) 150/216. b) 91/216. c) 75/216. d) 55/216. e) 25/216.
16. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cine- ma. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem comparti- lhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: a) 1 920. b) 1 152. c) 960. d) 540. e) 860. 17. (FCC) Uma escola oferece cursos para a aprendizagem de apenas cin- co idiomas. Sabendo que cada professor dessa escola ministra aulas de exatamente dois idiomas e que, para cada dois idiomas, há um úni- co professor que ministra aulas desses dois idiomas, é correto afirmar que o número de professores dessa escola é: a) 5. b) 7. c) 10. d) 14. e) 20. 18. (CESPE/UnB) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códi- gos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1. ( ) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400 000 protocolos distintos.
21. (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exa- tamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser sele- cionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a:
a) 85.
b) 220.
c) 210.
d) 120.
e) 150.
22. (CESPE/UnB) Cartões numerados sequencialmente de 1 a 10 são co- locados em uma urna, completamente misturados. Três cartões são retirados ao acaso, um de cada vez, e uma vez retirado o cartão não é devolvido à urna. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1. ( ) A probabilidade de os três cartões retirados constituírem, na ordem em que foram retirados, uma sequência ordenada crescente, é inferior a 1/10 3. 2. ( ) Se o primeiro cartão for o número 7 e o segundo for o número 10, então a probabilidade de o terceiro cartão ser um número menor do que 5 é igual a 1/2. 23. (ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de di- ferentes formas como essa fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos, é igual a:
a) 2! 8!
b) 0! 18!
c) 2! 9!
d) 1! 9!
e) 1! 8!
24. (ESAF) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansie- dade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nas- cer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos “nascimento de menino” e “nascimento de menina” são eventos independentes. Desse modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a: a) 2/3. b) 1/8. c) 1/2. d) 1/4. e) 3/4.
Gabarito
1. B
Vamos organizar as informações segundo alguns diagramas, observe:
Matemática (^) História
1%
6% 4%
A partir dos percentuais, podemos calcular os percentuais de alunos que têm sérias dificuldades em apenas uma das disciplinas:
Matemática (^) História
1%
6% 4%
5% 3%
Uma das cadeias a ser construída tem a forma: 000112222.
A quantidade de cadeias que podem ser formadas com esses sím- bolos é igual ao número de permutações de 9 elementos com 3 repetições do algarismo 0, com 2 repetições do algarismo 1 e com 4 repetições do algarismo 2:
P 9 3, 2, 4^ =
Logo, o número de cadeias é menor que 1 280.
2. C
De acordo com o sistema binário em que apenas os símbolos 0 e 1 são utilizados, temos:
1 símbolo 2
2 símbolos 2. 2 = 4
3 símbolos 2. 2. 2 = 8
4 símbolos 2. 2. 2. 2 = 16
5 símbolos 2. 2. 2. 2. 2 = 32
6 símbolos 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 64
7 símbolos 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 128
8 símbolos 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 256
9 símbolos 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 512
10 símbolos 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 1 024
Assim, podendo utilizar de 1 até 10 símbolos, a quantidade total de códigos é dada por:
S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024.
Multiplicando essa equação por 2, temos:
Portanto, o número de códigos diferentes que poderão ser gera- dos não passa de 2 046.
3. C
Inicialmente, temos:
10 pesquisadores
A equipe será formada por 5 pesquisadores.
1.ª hipótese: A e B participam do trabalho.
Nesse caso, escolhemos os outros 3 pesquisadores entre os 8 restan- tes:
C 83 =
2.ª hipótese: A e B não participam do trabalho.
Assim, escolhemos os 5 pesquisadores entre os 8 restantes:
C 8
Os pesquisadores A e B ou participam juntos ou não participam da equipe. Logo, a quantidade de equipes nessas condições é dada por:
56 + 56 = 112.
Destes, exatamente 48 deles eram qualificados.
Assim, entre os aprovados o percentual de qualificados é dado por:
p =
Portanto, a probabilidade de ele ser qualificado não é maior que 86%.
3. D
Vamos representar os quadros por G 1 , G 2 , G 3 , P 1 , P 2 e P 3 , em que os qua- dros G simbolizam os quadros de Gotuzo e os quadros P simbolizam os de Portinari. Como são todos distintos, a quantidade de maneiras de ordenarmos é dada por:
6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720
Entretanto, nem todas as 720 sequências apresentam os quadros de Gotuzo em ordem cronológica. Vamos supor que a correta ordem cro- nológica dos quadros do Gotuzo seja:
G 1 G 2 G (^3)
Nas 720 sequências possíveis, todas as ordenações dos quadros de Gotuzo foram consideradas. Observe quais são essas ordenações:
G 1 G 2 G (^3)
G 1 G 3 G (^2)
G 2 G 1 G (^3)
G 2 G 3 G (^1)
G 3 G 1 G (^2)
G 3 G 2 G (^1)
São 6 ordenações possíveis. Das 6 ordenações apenas uma delas se apresenta em ordem cronológica. Assim, podemos considerar que a cada 6 ordenações realizadas, uma delas tem os quadros do Gotuzo em ordem cronológica. Dessa forma, a quantidade de maneiras deve ser igual a um sexto da quantidade total de sequências, ou seja:
6! 3!
Ou seja, exatamente 120 sequências possuem os quadros de Gotuzo em ordem cronológica.
4. B
p(A) = 3/7 probabilidade de Ana estar em Paris.
p(B) = 2/7 probabilidade de Beatriz estar em Paris.
p(A e B) = 1/7 probabilidade de Ana e Beatriz estarem em Paris.
Deseja-se calcular a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está. Tal probabilidade pode ser representada por p(B/A) e é dada por:
p(A e B) p(A) Substituindo as informações do enunciado, temos:
Logo, sabendo-se que Ana está em Paris, a probabilidade de Beatriz também estar é igual a 1/3.
5. A
Existem 5 algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9.
Para que o número esteja compreendido entre 300 e 900, é necessá- rio que comece com 3, 5 ou 7, e que tenha exatamente 3 algarismos. Logo, existem 3 possibilidades de escolha para o algarismo das cente- nas (3 ou 5 ou 7).
Escolhido o algarismo das centenas e observando que os algarismos devem ser distintos, qualquer outro algarismo ímpar pode ser escolhi- do para as dezenas, com exceção do algarismo utilizado nas centenas. Logo, existem 4 escolhas possíveis para as dezenas.
Escolhidos os algarismos das centenas e das dezenas, restam 3 opções de escolha para o algarismo das unidades. Dessa forma, utilizando o princípio multiplicativo, a quantidade total de escolhas é dada por:
a quantidade de cumprimentos entre duas moças é dada por:
C (^2) x =
x! 2!. (x – 2)!
x. (x – 1). (x – 2)!
x. (x – 1) 2
A quantidade de cumprimentos entre dois homens é dada por:
C 215 =
Se houve um total de 150 cumprimentos, então a soma das quantida- des de cumprimentos entre moças e entre homens é igual a 150, ou seja: x. (x – 1) 2
x. (x – 1) 2
x. (x – 1) 2
x. (x – 1) = 90
O produto de dois números positivos consecutivos é igual a 90 apenas para:
x = 10 e x – 1 = 9.
Logo, 10 moças estavam presentes.
8.
1. E
Para calcular a quantidade de anagramas, basta permutarmos as cinco letras, sem qualquer repetição. Logo, a quantidade de ana- gramas é dada por:
P 5 = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120.
Logo, a quantidade não é inferior a 100.
2. C
Fixando as letras V e L, as demais podem ser permutadas. Se a palavra tem 5 letras, então apenas 3 delas podem ser trocadas de lugar. Dessa forma, a quantidade de anagramas que começam por VL é dada por:
A palavra VALOR é composta por duas vogais. A escolha da vogal do início do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). Es- colhida a vogal do início, a vogal do final pode ser escolhida de uma única maneira. As três demais letras que ficarão entre as duas vogais extremas podem ser trocadas de lugar. Logo, a quantidade de anagramas que começam e terminam com vogal é dada por:
Dessa forma, a quantidade não é superior a 15.
4. E
A palavra VALOR é composta por duas vogais e 3 consoantes. A es- colha da vogal do início do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). A escolha da consoante do final da palavra pode ser feita de 3 maneiras (V ou L ou R). As três demais letras que ficarão entre a vogal do início e a consoante do final podem ainda ser trocadas de lugar. Assim, a quantidade de anagramas que começam com vogal e terminam com consoante é dada por:
9. A
A palavra CHUMBO é composta por 6 letras distintas. Fixada a letra C, as demais (5 letras) podem ser permutadas. Logo, a quantidade de anagramas que começam com a letra C é dada por:
P 5 = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120.
10. B
Pedro pode escolher o seu lugar de 10 maneiras. Escolhido o lugar de Pedro, Paulo pode escolher o seu lugar de 9 maneiras. Logo, Pedro e Paulo podem escolher os seus lugares de:
