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Análise Combinatória
01 - Introdução Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 02 - Fatorial Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:
n! = n .(n-1). (n-2). ... .4.3.2.1 para n ≥ 2.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2. e) 10! = 10.9.8.7.6.5! f ) 10! = 10.9.8! 03 - Princípio fundamental da contagem - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente , então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k 1. k^2. k 3. .... kn Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo
PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam? 04 - Permutações simples 4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os
agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é P (^) n = n! onde
n! = n(n-1)(n-2).....
Exemplos:
a) P 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo:
Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 05 - Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem^ a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Obs: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver
- De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução:
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)!. 10!] = 15! / (5!. 10!) = 15.14.13.12.11.10! /
5.4.3.2.1.10! = 3003
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: 120
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48
Exercício resolvido:
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar
aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63. Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
