Análise combinatória e Probabilidade, Exercícios de Probabilidade

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An´alise Combinat´oria e

Probabilidade

Francisco Oliveira de Lima

17 de abril de 2015

An´alise Combinat´oria e

Probabilidade

OBMEP - Olimpiada Brasileira de Matem´atica das Escolas P´ublicas. CESPE - UNB - Centro de Sele¸c˜ao e de Promo¸c˜ao de Eventos da Universidade de Bras´ılia. UFT -TO - Universidade Federal do Tocantins. IFTO - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Tocantins. FCC - Funda¸c˜ao Carlos Chagas. IFPE - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de Pernambuco. UFPE - Universidade Federal de Pernambuco. UPE - Universidade de Pernambuco. Mackenzie - SP - Universidade Presbiteriana Mackenzie. IFAL - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de Alagoas. UFAL - Universidade Federal de Alagoas. UFLA - MG - Universidade Federal de Lavras. UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul. IF Farroupilha - RS - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia Farroupilha. UNICAMP - SP - Universidade Estadual de Campinas. ITA - SP - Instituto Tecnol´ogico da Aeron´autica. UNIFEI - MG - Universidade Federal de Itajub´a. IFSP - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de S˜ao Paulo. IFMT - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de Mato grosso. UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso. UNEMAT -MT - Universidade do Estado de Mato Grosso. IFRN - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Rio Grande do Norte. UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. UERN - Universidade do Estado do Rio Grande do Norte. FGV - Funda¸c˜ao Get´ulio Vargas. UFCG - PB - Universidade Federal de Campina Grande. UFAM - Universidade Federal do Amazonas. UEA - AM - Universidade do Estado do Amazonas. UEAP - Universidade do Estado do Amap´a. PUC - RJ - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro. PUC - MG - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica de Minas Gerais. PUC - RS - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio Grande do Sul. PUC - PR - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Paran´a. UNIVASF - Universidade Federal do Vale do S˜ao Francisco. UFV - MG - Universidade Federal de Vi¸cosa. UNIFESP - Universidade Federal de S˜ao Paulo. UNIR - RO - Universidade Federal de Rondˆonia. FEI - SP - Centro Universit´ario da FEI - Funda¸c˜ao Educacional Inaciana Pe. Sab´oia de Medeiros. ULBRA - RS - Universidade Luterana do Brasil. UCS - RS - Universidade de Caxias do Sul. FURG - RS - Universidade Federal do Rio Grande.

IFRS - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Rio Grande do Sul. UFSM - RS - Universidade Federal de Santa Maria. FUVEST - SP - Funda¸c˜ao Universit´aria para o Vestibular. VUNESP - SP - Funda¸c˜ao para o vestibular da Unesp. UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio de Mesquita Filho. UFTM - MG - Universidade Federal do Triˆangulo Mineiro. UFAC - Universidade Federal do Acre. EsPCEx - SP - Escola Preparat´oria de Cadetes do Ex´ercito. AFA - SP - Academia da For¸ca A´erea. NUCEPE - UESPI - N´ucleo de Concursos e Promo¸c˜ao de eventos da Universidade Esta- dual do Piau´ı. UESPI -Universidade Estadual do Piau´ı. IFPI - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Piau´ı. UFPI - Universidade Federal do Piau´ı. IFG - GO - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de Goi´as. Unimontes - MG - Universidade Estadual de Montes Claros. Unirio - RJ - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro. Ufscar - SP - Universidade Federal de S˜ao Carlos. UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina. UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. UNIFOR - CE - Universidade de Fortaleza. UNIFAL - MG - Universidade Federal de Alfenas. IFRO - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de Rondˆonia. IF Sudeste MG - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais. UFRR - Universidade Federal de Roraima. UEPB - Universidade Estadual da Para´ıba. UFPB - Universidade Federal da Para´ıba. UEG - GO - Universidade Estadual de Goi´as.

Pref´acio

Esse texto foi produzido com o objetivo, de fornecer uma variedade de quest˜oes referentes ao estudo da An´alise Combinat´oria, Binˆomio de Newton e a Probabilidade de n´ıvel m´edio. Notamos que esse assunto apresenta grandes aplica¸c˜oes em problemas do cotidiano. Desejo sucesso a todos os estudantes.

12 de abril de 2015. Dom Eliseu - PA.

Sum´ario

Cap´ıtulo 1

An´alise Combinat´oria

1.1 Introdu¸c˜ao

Defini¸c˜ao 1.1.1. (Princ´ıpio da adi¸c˜ao) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, onde A tenha x elementos e B tenha y elementos. Ent˜ao, o conjunto A∪B possui x+y elementos.

Exemplo 1.1.1. Na lanchonete da Dona Nete ela oferece 8 sabores de pizzas e 7 sabores de vitaminas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode escolher uma pizza e uma vitamina? Solu¸c˜ao: Seja A o conjunto que representa os sabores de pizza e B o conjunto que representa os sabores de vitamina. Notamos que os conjuntos A e B s˜ao disjuntos. Ou seja, o conjunto A ∪ B possui 15 elementos. Logo, a pessoa poder´a fazer 15 pedidos distintos.

Defini¸c˜ao 1.1.2. (Princ´ıpio fundamental da contagem) Suponha que um trabalho seja composto por duas etapas sucessivas; onde a primeira etapa pode ser realizada de m maneiras diferentes e a segunda etapa pode ser realizada de n maneiras diferentes. Ent˜ao, o n´umero de maneiras distintas de realizar esse trabalho ´e dado por m · n.

Observa¸c˜ao 1.1.1. Na defini¸c˜ao acima, esse princ´ıpio pode ser generalizado para um tra- balho que tenha mais que 2 etapas.

Exemplo 1.1.2. Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Quantos n´umeros com quatro algarismos distintos podemos formar? Solu¸c˜ao: Observamos que os n´umeros de quatro algarismos tem a forma ABCD. Sabe- mos que para a posi¸c˜ao A existem 6 possibilidades, para a posi¸c˜ao B existem 5 possibili- dades, para a posi¸c˜ao C existem 4 possibilidades e finalmente para a posi¸c˜ao D existem 3 posssibilidades. Agora, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, segue que a quantidade de n´umeros vale 6 · 5 · 4 · 3 = 360. Ou seja, a resposta ´e 360 n´umeros.

Exemplo 1.1.3. Uma bandeira ´e formada por cinco faixas, que devem ser coloridas usando apenas as cores preta, vermelha, azul e amarela, n˜ao devendo faixas adjacentes ter a mesma cor. De quantas maneira essa bandeira pode ser colorida?

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 11

Solu¸c˜ao: Notamos que a primeira faixa pode ser colorida de 5 modos, a segunda de 4 modos, a terceira de 4 modos, a quarta faixa de 3 modos e finalmente a ´ultima faixa de 4 modos. Ou seja, usando o princ´ıpio fundamental da contagem, concluimos que essa bandeira pode ser pintada de 5 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1280 maneiras diferentes.

Exemplo 1.1.4. (IFAL) Um professor deve elaborar uma avalia¸c˜ao com 4 quest˜oes. Cada quest˜ao deve ter 5 alternativas, das quais somente uma ´e verdadeira. De quantos modos distintos o professor pode compor o gabarito dessa prova? a) 20 b) 120 c) 60 d) 480 e) 625 Solu¸c˜ao: Essa problema pode ser dividido em quatro etapas. Na primeira, existem 5 possibilidades; na segunda, existem 5 possibilidades; na terceira, existem 5 possibilidades e na ´ultima existem 5 possibilidades. Portanto, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos 5 · 5 · 5 · 5 = 625 modos distintos de elaborar a prova.

Exemplo 1.1.5. (IFRO) Se uma sala tem 8 portas, ent˜ao o n´umero de maneiras dis- tintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente ´e? a) 16 b) 40 c) 48 d) 56 e) 8 Solu¸c˜ao: Nesse problema existem duas etapas; a primeira, consiste em escolher uma porta para entrar na sala (temos 8 possibilidades); na segunda etapa, consiste em esco- lher uma porta para sair ( temos 7 possilidades, pois excluimos a porta onde aconteceu a entrada). Portanto, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos 8 · 7 = 56 possibili- dades.

1.2 Arranjos

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja um conjunto com n elementos distintos, chamamos de arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer sequˆencia ordenada formada por p elementos escolhidas do conjunto. Onde, a nota¸c˜ao de arranjo ´e An,p e representamos por

An,p =

n! (n − p)!

, n ≥ p.

Exemplo 1.2.1. Usando os algarismos 1, 2, 3, 7, 8 e 9. Quantos n´umeros de 3 algarismos distintos podemos formar? Solu¸c˜ao: Nesse caso, vamos usar arranjos. Ou seja, devemos formar arranjos de 6

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 13

d) 144 e) 180 Solu¸c˜ao: Notamos que a palavra M OREN A possui 6 letras diferentes. Agora, colocando as trˆes vogais juntas, obtemos P 4 · P 3 = 4! · 3! = 24 · 6 = 144 anagramas. Portanto, a resposta ´e a alternativa D.

Exemplo 1.3.3. (UEFS - BA) O n´umero de anagramas da palavra PROVA que n˜ao apresenta as duas vogais juntas ´e A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) 72 Solu¸c˜ao: Observamos que a palavra P ROV A tˆem 5 letras distintas. Logo, possui P 5 = 5! anagramas. Al´em disso, destes anagramas P 2 · P 4 = 2! · 4! possuem as vogais juntas. Portanto, podemos dizer que P 5 − P 2 · P 4 = 5! − 2! · 4! = 120 − 48 = 72 anagramas n˜ao tˆem as vogais juntas. Ou seja, a resposta ´e a alternativa E.

1.4 Permuta¸c˜ao com repeti¸c˜ao

Defini¸c˜ao 1.4.1. Seja um conjunto com n elementos. O total de permuta¸c˜oes desses n elementos com repeti¸c˜oes, nos quais n 1 , n 2 , · · · , nk s˜ao as quantidades das repeti¸c˜oes dos diferentes elementos, tais que n 1 + n 2 + · · · + nk = n, vale

P (^) nn 1 ,n^2 ,···^ ,nk=

n! n 1! · n 2! · · · nk!

Exemplo 1.4.1. (FURG - RS) Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando de lugar as letras do seu nome. O n´umero de maneiras como ela pode fazer isso, considerando qua a senha escolhida deve ser diferente do pr´oprio nome, ´e: a) 817 b) 48 c) 5039 d) 23 e) 2519 Solu¸c˜ao: Notamos que a palavra M AN OELA, possui duas letras A e cinco letras distintas. Portanto, o total de anagrama ´e dado por

P 72 =

Mas, sabemos que deve ser excluido o nome. Logo, temos 2520 − 1 = 2519. Ou seja, a resposta ´e a alternativa E.

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 14

Exemplo 1.4.2. Seja N = { 0 , 1 , 2 , 3 , · · · } o conjunto dos n´umeros naturais. Calcule a quantidadade de solu¸c˜oes naturais da equa¸c˜ao x + y + z = 9, onde x, y, z ∈ N. Solu¸c˜ao: Vamos usar uma estrat´egia, com auxilio de bolas pretas e tra¸cos verticais. Agora, faremos algumas configura¸c˜oes, observemos a primeira:

• • • | • • •• | • • representa (3, 4 , 2).

Na segunda configura¸c˜ao, temos

• • • • • || • • • • representa (5, 0 , 4).

Na terceira configura¸c˜ao, temos

| • • • • • • •• | • representa (0, 8 , 1).

Portanto, para obter a quantidade de solu¸c˜oes naturais, basta usarmos a permuta¸c˜ao com repeti¸c˜ao. Ou seja, temos um total de 11 objetos, composto por 9 bolas pretas e 2 tra¸cos verticais. Portanto, resulta que

P 119 ,^2 =

Ou seja, a equa¸c˜ao possui 55 solu¸c˜oes naturais.

Exemplo 1.4.3. Um com´ercio vende 4 tipos de lata de tinta, nas marcas A, B, C e D. Juliano deseja comprar 8 latas de tinta. De quantas maneiras distintas ele poder´a fazer essa compra? Solu¸c˜ao: Consideremos a seguinte nota¸c˜ao, onde:

x = quantidade de latas da marca A; y = quantidade de latas da marca B; z = quantidade de latas da marca C; w = quantidade de latas da marca D.

Portanto, esse problema ´e equivalente a resolver x + y + z + w = 7, onde x, y, z, w ∈ N. Ent˜ao, usando a estrat´egia de bolas pretas e tra¸cos verticais, temos a configura¸c˜ao

•• | • | • | • • • representa (2, 1 , 1 , 4).

Por outro lado, temos 10 objetos, sendo 7 bolas pretas e 3 tra¸cos verticais. Logo, temos

P 107 ,^3 =

Ou seja, existem 120 maneiras diferentes de Juliano realizar sua compra.

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 16

Exemplo 1.5.1. Uma sorveteria oferece 9 sabores de sorvete a seus clientes. De quantas maneiras uma pessoa pode escolher 4 sabores? Solu¸c˜ao: Notamos que se a pessoa escolhesse os sabores (A,B,C,D), seria o mesmo que ela escolhesse os sabores (A,C,D,B). Portanto, observamos que a ordem n˜ao ´e importante. Ou seja, trata-se de um problema de combina¸c˜ao. Logo, temos

C 9 , 4 =

Portanto, existem 126 maneiras de fazer a escolha.

Exemplo 1.5.2. Uma escola tem uma diretoria formada por oito pessoas. Deve ser formada uma comiss˜ao de trˆes pessoas. Quantas comiss˜oes diferentes podem ser formadas ? a) 54 b) 56 c) 65 d) 68 e) 84 Solu¸c˜ao: Supomos que (A, B, C) seja uma comiss˜ao. Logo, a sequˆencia (A, C, B) trata- se da mesma comiss˜ao. Portanto, a ordem n˜ao ´e importante. Dessa forma, esse problema trata-se de combina¸c˜ao simples. Logo, resulta que

C 8 , 3 =

Portanto, a resposta ´e a alternativa B.

Exemplo 1.5.3. (UF Rural - RJ) Em uma sala est˜ao 6 rapazes e 5 mo¸cas. Quantas comiss˜oes podemos formar, tendo em cada comiss˜ao 3 rapazes e 2 mo¸cas? (a) 50. (b) 100. (c) 150. (d) 200. (e) 250. Solu¸c˜ao: Inicialmente, vamos dividir esse problema em duas etapas: Na primeira, deve- mos escolher 3 rapazes num total de 6, e a segunda etapa, consiste em escolher 2 mo¸cas num total de 5. Ent˜ao, pelo principio fundamental da contagem, resulta que ( 6 3

Portanto, a resposta ´e a alternativa D.

Exemplo 1.5.4. (IFMA) No campeonato de xadrez do IFMA a regra ´e que cada competidor jogue duas vezes com cada um dos outros. Sabendo que houve 110 partidas,

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 17

podemos afirmar que o n´umero de competidores inscritos foi? a) 11 b) 12 c) 10 d) 9 e) 13 Solu¸c˜ao: Nesse problema devemos usar combina¸c˜ao simples. Ou seja, fazer a combina¸c˜ao N jogadores tomados dois a dois. Observamos que entre os 110 jogos existem jogos do tipo AB e BA. Mas, devemos trabalhar com apenas um dos jogos. Pois, na combina¸c˜ao a ordem n˜ao faz diferen¸ca. Portanto, devemos dividir 110 por 2. Logo, vem

( N 2

N!

2! · (N − 2)!

N · (N − 1)

Simplificando, obtemos N 2 − N − 110 = 0. Resolvendo, encontramos as raizes N = 11 ou N = −10. Logo, a resposta vale 11.

Exemplo 1.5.5. (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, ma¸c˜a, mam˜ao e mel˜ao, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco usando-se trˆes frutas distintas. Solu¸c˜ao: Notamos que a sequˆencia (abacaxi, acerola, goiaba) ´e equivalente a sequˆencia (abacaxi, goiaba, acerola). Portanto, concluimos que a ordem n˜ao ´e importante. Ou seja, trata-se de um problema de combina¸c˜ao. Logo, temos

C 7 , 3 =

Portanto, existem 35 maneiras distintas de preparar o suco.

Exemplo 1.5.6. (IFBA) Em um determinado setor de uma ind´ustria, trabalham seis engenheiros e oito t´ecnicos. O n´umero de equipes diferentes que poder˜ao ser formadas com trˆes engenheiros e quatro t´ecnicos ´e A) 576 B) 1050 C) 1260 D) 1400 E) 2010 Solu¸c˜ao: Dividindo primeiramente esse problema em duas etapas: Na primeira, devemos escolher 3 engenheiros num total de 6, e a segunda etapa, devemos escolher 4 t´ecnicos num total de 8. Logo, pelo principio fundamental da contagem, temos

( 6 3

Portanto, a resposta ´e a alternativa D.

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 19

poder´a ser formado por: A) 2 mo¸cas e 4 rapazes; B) 3 mo¸cas e 3 rapazes; C) 4 mo¸cas e 2 rapazes. Portanto, temos

( 4 2

Ou seja, a resposta ´e a alternativa C.

Exemplo 1.5.10. (IFRN) Para discutir um poss´ıvel aumento nas passagens de ˆonibus em uma cidade, o prefeito est´a formando uma comiss˜ao de 6 pessoas, sendo 2 escolhidas entre os 6 representantes do setor de transporte coletivo, 2 entre os 8 membros do governo municipal e 2 entre os 4 representantes da classe estudantil. A quantidade de comiss˜oes distintas que podem ser formadas com essa configura¸c˜ao ´e igual a a) 1.260. b) 2.520. c) 3.080. d) 5.040. Solu¸c˜ao: Notamos que esse problema possui trˆes etapas; onde a primeira consiste em escolher 2 pessoas entre 6 pessoas do setor de transporte coletivo; a segunda etapa, consiste em escolher 2 pessoas entre 8 pessoas do governo municipal e finalmente, escolher 2 pessoas entre 4 pessoas da classe estudantil. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos

( 6 2

Portanto, a resposta ´e a alternativa B.

CAP´ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA´ 20

1.6 Atividades

1. Quantos anagramas da palavra EDIT ORA possui as vogais juntas?
2. Quantos anagramas da palavra EXT RA n˜ao possui duas vogais juntas?
3. Seja a equa¸c˜ao x + y + z + w = 12, onde x, y, z, w ∈ Z. Encontre o total de solu¸c˜oes inteiras n˜ao-negativas.
4. Considere todos os anagramas da palavra AM OR. Colocando esses anagramas em ordem alfab´etica, qual a posi¸c˜ao da palavra ”ROM A”?
5. (PUC-SP) Determine a quantidade de n´umeros de trˆes algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9.
6. Colocando todos os anagramas da palavra CLARO em ordem alfab´etica. Qual o anagrama que ocupa a trig´esima posi¸c˜ao?
7. Fomando n´umeros com 4 algarismos distintos, usando os elementos do conjunto { 1 , 2 , 4 , 8 }. Colocando esses n´umeros em ordem crescente, qual a posi¸c˜ao ocupada pelo n´umero 4281?
8. (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os n´umeros que se obtˆem permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Nessa disposi¸c˜ao, que lugar ocupa o n´umero 75391?
9. Uma sala ´e formada por 8 meninos e 9 meninas. Quantos grupos com 5 pessoas podem ser formados, de modo que cada grupo tenha no m´ınimo 4 meninos?
10. Sejam A e B duas retas paralelas distintas. Marcam-se 13 pontos sobre a reta A e 12 pontos sobre a reta B. Quantos triˆangulos podemos formar unindo trˆes pontos quaisquer desses 25 pontos?
11. (UFRJ) Quantos n´umeros de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?
12. (UFJF - MG) Um jornalista foi designado para cobrir uma reuni˜ao de ministros de estado. Ao chegar ao local da reuni˜ao, descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o n´umero de ministros presentes, ele disse: ”Ao sa´ırem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de m˜ao”. Com base nessa informa¸c˜ao, qual foi o n´umero de ministros presentes ao encontro?
13. (UEG - GO) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cava- lheiros numa fila, de forma que n˜ao fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.