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Combinat´oria, Probabilidade
Danilo, Mateus
February 2024
1 Problemas
- (ITA 2018) De uma caixa que cont´em 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, s˜ao selecionadas ao acaso k bolas.
(a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condi¸c˜oes 0 ≤ k−r ≤ 6 e 0 ≤ k ≤ 10.
(b) Use o item (a) para calcular a soma X^6
r=
r
6 − r
- (OBMU 2018) Um estudante vai prestar um exame no qual tem que resolver trˆes problemas escolhidos ao acaso de uma lista de 10 problemas poss´ıveis. Ele ser´a aprovado se resolver corretamente dois problemas. Considerando que o estudante sabe resolver cinco dos problemas da lista e n˜ao sabe resolver os outros, qual ´e a probabilidade de que ele passe no exame?
(a) 1 10 (b) 1 5 (c) 1 2 (d) 1 4
- (CELL 2021) Uma f´abrica possui trˆes m´aquinas de fabricar copos, identificadas pelas letras A, B e C, que fabricam 25, 35 e 40 do total de copos respectivamente. Dos copos fabricados por A, B e C, sabe-se que 5, 4 e 2 por cento s˜ao defeituosos, respectivamente. Um copo ´e escolhido ao acaso e est´a defeituoso. Qual a chance de ele ter sido fabricado pela m´aquina A?
(a) 1 4 (b) 25 69 (c) 133 345 (d) 140 345 (e) 11 46
- (OMRN 2022) Quando uma moeda A ´e lan¸cada sobre uma mesa horizontal, a probabilidade de que a face
que fique voltada pela cima seja CARA ´e de
. J´a para uma outra moeda B, a mesma probabilidade ´e de
3
4
. Suponha que uma dessas moedas ´e escolhida ao acaso e em seguida (essa moeda escolhida) seja lan¸cada
duas vezes consecutivas sobre essa mesa. Se dos dois lan¸camentos o resultado obtido foi CARA, qual a probabilidade de que a moeda lan¸cada sobre a mesa tenha sido a moeda B?
(a) 9 10 (b) 1 2 (c) 3 7 (d) 2 9 (e) 11 23
- (CELL 2023) Considere duas moedas A e B tais que na moeda A a probabilidade de sair cara ´e 1 4 , enquanto que na moeda B a probabilidade de sair cara ´e 1
- Escolhe-se uma dessas duas moedas ao caso e a arremessa. Se sair cara essa mesma moeda ser´a arremessada novamente, caso contr´ario ser´a arremessada a outra moeda. Para cada inteiro positivo n, seja pn a probabilidade de que a moeda lan¸cada no n-´esimo arremesso seja a moeda A. Podemos afirmar que:
(a)
n− 1
(b)
n− 1
(c)
n− 1
(d)
n− 1
(e) −
n− 1
- (CELL 2023) Com as letras E, L, O, N vamos formar sequˆencias de 2023 letras de modo que n˜ao hajam
duas letras A consecutivas. A quantidade dessas sequˆencias ´e:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
- (OMRN 2022) Quantas s˜ao as sequˆencias de n termos, todos pertencentes ao conjunto { 0 , 1 , 2 }, que n˜ao
possuem dois termos consecutivos iguais a 0?
(a) 3+
√ 3 6
n
3 − 2
√ 3 6
n
(b) 1+
√ 3 6
n
1 − 2
√ 3 6
n
(c) 3+
√ 3 6
n
3 −
√ 3 6
n
(d) 2+
√ 3 6
n
2 − 3
√ 3 6
n
(e) 2+
√ 3 6
n
2 − 5
√ 3 6
n
- (CELL 2022) 2022 dados honestos s˜ao lan¸cados simultaneamente (neste problema, n˜ao faltam dados!). Qual
a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja um m´ultiplo de 5?
(a)
(b)
(c)
- (CELL 2020) Em uma moeda viciada, a probabilidade de se obter cara ´e 1/5. Um jogador lan¸ca sucessiva-
mente esta moeda at´e obter duas caras consecutivas. Qual ´e o n´umero esperado de tais lan¸camentos?
(a) 10
(b) 25
(c) 30
(d) 40
(e) 64
- (OMRN 2019) Um alfabeto possui cinco letras: a, b, c, d e e. Nesse alfabeto, a quantidade de palavras com
n letras e com um n´umero par de letras “a” ´e igual a:
(a) 5 n+3n 2
(b) 5 n− 3 n 2
(c) 15 n 3
(d)
√ 15 n 3
(e) 15 n− 5 n− 3 n 3
- (ITA 2013) Seja p uma probabilidade sobre um espa¸co amostral finito Ω. Se A e B s˜ao eventos de ω tais
que p(A) =
, p(B) =
e p(A ∩ B) = 1 4 , as probabilidades dos eventos A \ B, A ∪ B e AC^ ∪ BC^ s˜ao,
respectivamente,
(a)
e
(b)
e
(c)
e
(d)
e
(e)
e
- (ITA 2019) Escolhem-se aleatoriamente trˆes n´umeros distintos no conjunto { 1 , 2 , 3 ,... , 29 , 30 }. Determine a
probabilidade da soma desses trˆes n´umeros ser divis´ıvel por 3.
- (OBMU 2007) Jo˜aozinho joga repetidamente uma moeda comum e honesta. Quando a moeda d´a cara ele
ganha 1 ponto, quando d´a coroa ele ganha 2 pontos. Encontre a probabilidade (em fun¸c˜ao de n) de que Jo˜aozinho em algum momento tenha exatamente n pontos.
- (ITA 2021) Uma moeda ´e lan¸cada sucessivas vezes at´e que se tenha a ocorrˆencia de 2 caras. Qual a proba-
bilidade do n´umero total de lan¸camentos ser par?
- (OBMU 2002) Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprov´aveis numeradas de 1 a 6). Calcule a proba-
bilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20.
- (OBM 2002 N´ıvel 3) Quantos dados devem ser lan¸cados ao mesmo tempo para maximizar a probabilidade
de se obter exatamente um 2?
- (OBMU 2004) Quantas triplas ordenadas (A, B, C) de subconjuntos de { 1 , 2 ,... , n} existem para as quais
A ∩ B ∩ C = ∅, A ∩ B ̸= ∅, A ∩ C ̸= ∅?
2 Siglas
ITA - Instituto Tecnol´ogico da Aeron´autica;
CELL - Competi¸c˜ao Elon Lages Lima;
OBMU - Olimp´ıada Brasileira de Matem´atica N´ıvel Universit´ario;
OMRN - Olimp´ıada de Matem´atica do Rio Grande do Norte.
3 Solu¸c˜ao
- (a) A cardinalidade do espa¸co amostral Ω acontecer s˜ao os casos poss´ıveis, que ´e simplesmente escolher
dentre as 16 bolas k bolas ao acaso, ou seja, |Ω| =
k
. E assumimos que as bolas de mesma cor s˜ao
distintas. Para o evento E temos os casos favor´aveis que se d´a por, escolher dentre as 10 bolas brancas r bolas e
dentre as 6 bolas pretas escolher k − r bolas. Ou seja, |E| =
r
k − r
, em que, 0 ≤ k − r ≤ 6 e
0 ≤ r ≤ 6. Portanto a probabilidade do evento E acontecer ´e:
P (E) =
r
k−r
k
(b) Observe que X^6
r=
r
6 − r
X
r=
10 r
6 6 −r
16 6
Aqui tomamos k = 6 da alternativa (a). E o somat´orio agora ´e nada mais nada menos que:
X^6
r=
10 r
6 6 −r
16 6
X^6
r=
P (Er ) = P (E 0 ) + P (E 1 ) + · · · + P (E 6 ).
Onde cada P (Er ) para 0 ≤ r ≤ 6 ´e a probabilidade do evento Er ocorrer, mas cada evento desses s˜ao exclusivos, logo,
X^6
r=
r
6 −r
6
= P (E 0 ) + P (E 1 ) + · · · + P (E 6 ) = P (E 1 ∪ E 2 ∪... ∪ E 6 ) = P (Ω) = 1.
Concluindo que X^6
r=
r
6 − r
X
r=
10 r
6 6 −r
16 6
Outra forma de resolver o problema ´e ter conhecimento da Identidade de Vandermond:
X^ p
k=
B
k
V
p − k
B + V
p
que facilmente resolveria o problema.
- Envolve uma ideia idˆentica ao problema anterior. Vamos resolver:
Os casos poss´ıveis para estes trˆes problemas se d´a por
, que ´e escolher dentre o total de problemas 3
aleatoriamente para se resolver, que ´e a cardinalidade do espa¸co amostral. Agora n´umero de casos favor´aveis se d´a por o n´umero de maneiras de o estudante saber resolver os 3 problemas,
ou em que ele sabe resolver apenas dois e um n˜ao, ou seja,
Portanto a probabilidade ´e:
P (passar) =
3
2
1
3
5! 2!3! +^
5! 3!2! ·^5 10! 7!3!
que 5 na equa¸c˜ao, logo, basta pegarmos o caso em que b 1 > 5 e multiplicar por 10 porque ´e an´alogo.
Para b 1 = 6 obtemos b 2 + · · · + b 10 = 4, que possui CR^49 =
solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao.
Para b 1 = 7 obtemos b 2 + · · · + b 10 = 3, que possui CR^39 =
solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao.
E assim por diante at´e b 1 = 10 em que obtemos b 2 + · · · + b 10 = 0 que possui apenas
solu¸c˜ao.
Ou seja, o n´umero de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao em que a 1 > 5 ´e dada por:
12
4
pelo teorema das diagonais, que equivale a
. Portanto, os casos favor´aveis ´e dado por
E os casos poss´ıveis ´e 6 1 0, e a probabilidade ´e:
p =
9
9
