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An´alise II - Notas de Aula

Primeiro Semestre de 2007

Alexandre N. Carvalho

22 de novembro de 2007

Sum´ario

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Preliminares ↓

1.1 Teoria de Conjuntos

Seja X um conjunto n˜ao vazio. Uma rela¸c˜ao de ordem parcial em X ´e uma rela¸c˜ao ≤ com as seguintes propriedades:

i) Se x ≤ y e y ≤ z, ent˜ao x ≤ z; ii) Se x ≤ y e y ≤ x, ent˜ao x = y; iii) x ≤ x para todo x ∈ X.

Se al´em disso

iv) quando x, y ∈ X ent˜ao ou x ≤ y ou y ≤ x,

ent˜ao ≤ ´e dita uma rela¸c˜ao de ordem total e X ´e dito totalmente ordenado. Se X ´e parcialmente ordenado por ≤ um elemento x ∈ X ´e dito maximal (minimal) se e s´o se x ≤ y (y ≤ x) implica x = y. Se A ⊂ X um elemento x ∈ X ´e dito limitante superior (inferior) para A se, e somente se, a ≤ x (x ≤ a), ∀ a ∈ A. Se X ´e totalmente ordenado por ≤ diremos que X ´e bem ordenado se todo subconjunto n˜ao vazio de X tem um (necessariamente ´unico) elemento minimal.

Princ´ıpio Maximal de Hausdorff Todo conjunto parcialmente ordenado tem um subconjunto totalmente ordenado maximal.

Lema de Zorn Se X ´e um conjunto parcialmente ordenado e todo subcon- junto totalmente ordenado de X tem um limitante superior ent˜ao X tem um elemento maximal.

O Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao Todo conjunto n˜ao vazio X possui uma boa ordena¸c˜ao.

O Axioma da Escolha Se {xα}α∈A ´e uma cole¸c˜ao de conjuntos n˜ao vazios ent˜ao Πα∈AXα = {f : A → ∪α∈AXα : f (α) ∈ Xα} ´e n˜ao vazio.

Corol´ario Se {Xα}α∈A ´e uma cole¸c˜ao disjunta de conjuntos n˜ao vazios, existe Y ⊂ ∪α∈AXα tal que Y ∩ Xα cont´em precisamente um elemento para cada α ∈ A.

1.2 Espa¸cos M´etricos

Uma m´etrica em um conjunto X ´e uma fun¸c˜ao ρ : X × X → [0, ∞) tal que

• ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
• ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀ x, y ∈ X,
• ρ(x, y) + ρ(y, z) ≤ ρ(x, z), ∀ x, y, z ∈ X.

Um conjunto X equipado com uma m´etrica ρ ´e chamado um espa¸co m´etrico (X, ρ).

Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico

• A bola aberta de centro em x ∈ X e raio r > 0 ´e o conjunto Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r}.
• A bola fechada de centro em x ∈ X e raio r > 0 ´e o conjunto B¯r(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.
• A ⊂ X ´e aberto se para todo x ∈ A existe rx > 0 tal que Brx (x) ⊂ A.
• A ⊂ X ´e fechado se Ac^ ´e aberto.
• A uni˜ao qualquer e a interse¸c˜ao finita de conjuntos abertos s˜ao abertos.

Proposi¸c˜ao 1.2.2. f : X 1 → X 2 ´e cont´ınua ⇔ f −^1 (U ) ´e um subconjunto aberto de X 1 sempre que U ´e um subconjunto aberto de X 2.

Prova: Se f ´e cont´ınua e U ⊂ X 2 ´e aberto ent˜ao para cada x ∈ f −^1 (U ) temos que existe ≤ > 0 com B≤(f (x)) ⊂ U e δ > 0 tal que Bδ(x) ⊂ f −^1 (B≤(f (x)) ⊂ f −^1 (U ). Logo f −^1 (U ) ´e aberto. Se f −^1 (U ) ´e aberto sempre que U ´e aberto, ≤ > 0 e x ∈ X seja U = B≤(f (x)) ⇒ f −^1 (U ) 3 X ´e aberto ⇒ existe δ > 0 tal que Bδ(x) ⊂ f −^1 (B≤(f (x)) portanto f ´e cont´ınua. §

Uma seq¨uˆencia {xn} em um espa¸co m´etrico (X, ρ) ´e dita de Cauchy se ρ(xn, xm) → 0 quando n, m → ∞. Um subconjunto E de X ´e dito completo se toda seq¨uˆencia de Cauchy em E converge em E.

Proposi¸c˜ao 1.2.3. Um subconjunto fechado de um espa¸co m´etrico completo ´e completo e um subconjunto completo de um espa¸co m´etrico qualquer ´e fechado.

Prova: Se X ´e completo, E ⊂ X ´e fechado e {xn} ´e de Cauchy em E {xn} tem um limite x ∈ X. Segue da Proposi¸c˜ao 1.2.1 que x ∈ E−^ e como E ´e fechado x ∈ E. Se E ⊂ X ´e completo e x ∈ E−^ existe uma seq¨uˆencia E 3 xnn −→→∞ x logo {xn} ´e de Cauchy em E ⇒ x ∈ E e E = E−. §

1.2.1. Distˆancia de um ponto a um conjunto e entre conjuntos

Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico e E, F ⊂ X. Definimos a distˆancia de um ponto x ∈ X a E e a distˆacia entre E e F por

ρ(x, E) = inf {ρ(x, y) : y ∈ E} ρ(E, F ) = inf {ρ(x, y) : x ∈ E, y ∈ F } = inf {ρ(x, F ) : x ∈ E}.

Note que ρ(x, E) = 0 ⇔ x ∈ E−. Definimos o diˆametro de um conjunto por

diamE = sup{ρ(x, y) : x, y ∈ E}

e E ´e limitado ⇔ diamE < ∞.

1.2.2. Coberturas e Conjuntos Totalmente Limitados

Se E ⊂ X e {Vα}α∈A ´e uma fam´ılia de conjuntos tal que E ⊂ ∪α∈AVα ent˜ao, {Vα}α∈A ´e dita uma cobertura de E. Um conjunto E ´e dito totalmente limi- tado se, para todo ≤ > 0 , E pode ser coberto por um n´umero finito de bolas

de raio ≤. Todo conjunto totalmente limitado ´e limitado mas a rec´ıproca em geral ´e falsa. Se E ´e totalmente limitado E−^ tamb´em o ´e.

Teorema 1.2.4. Se E ´e um subconjunto de um espa¸co m´etrico (X, ρ), s˜ao equivalentes:

a) E ´e completo e totalmente limitado

b) (Bolzano-Weierstrass) Toda seq¨uˆencia em E tem uma subseq¨uˆencia con- vergente em E.

c) (Heine-Borel) Se {Vα}α∈A ´e uma cobertura aberta de E existe um con- junto finito F ⊂ A tal que {Vα}α∈F cobre E.

Prova: A prova seguir´a o seguinte roteiro a ⇔ b a, b ⇒ c c ⇒ b a ⇒ b Se {xn} ⊂ E ´e uma seq¨uˆencia, E pode ser coberto por um n´umero finito de bolas de raio 1 / 2 e pelo menos uma delas deve conter xn para um n´umero infinito de ´ındices n. Digamos que N 1 ⊂ N ´e um conjunto infinito e que B 1 ´e uma bola de raio 1 / 2 tal que xn ∈ B 1 , ∀n ∈ N 1. E ∩ B 1 pode ser

coberto por um n´umero finito de bolas de raio

22 e pelo menos uma dessas bolas cont´em xn para um n´umero infinito de ´ındices n ∈ N 1. Digamos que

N 2 ⊂ N 1 ´e um conjunto infinito e que B 2 ´e uma bola de raio

tal que xn ∈ B 2 para n ∈ N 2. Continuando indutivamente temos uma seq¨uˆencia de bolas abertas Bj com raio 2 −j^ cont´endo xn, n ∈ Nj , onde Nj ⊂ N ´e infinito Nj+1 ⊂ Nj. Se {nj } ´e uma seq¨uencia de n´umeros naturais tais que nj ∈ Nj , nj+1 > nj , a seq¨uˆencia {xnj } ´e tal que (se k > j)

ρ(xnj , xnk ) ≤

k−∑j− 1

`=

ρ(xnj+, xnj++1 ) ≤ 2 −j^ + 2−j−^1 + · · · + 2−k+1^ ≤ 2 −j+1^ j −→→∞ 0.

Portanto, {xnj } ´e de Cauchy. Segue do fato que E ´e completo que {xnj } ´e convergente em E.

o intervalo [−R, R] em k intervalos iguais. O comprimento do lado destes cubos ´e 2 R/k e o diˆametro ´e

n(2R/k) < 2 ≤. Logo eles est˜ao contidos nas bolas de raio ≤ em torno dos seus centros. §

Duas m´etricas ρ 1 , ρ 2 em um conjunto X s˜ao ditas equivalentes se existem constantes positivas c, c¯ tais que cρ 1 ≤ ρ 2 ≤ cρ¯ 1. M´etricas equivalentes d˜ao origem aos mesmos abertos, mesmos fechados, mesmos compactos, mesmas seq¨uencias convergentes (de Cauchy), assim a maioria dos resultados relativos a espa¸cos m´etricos n˜ao dependem de uma m´etrica espec´ıfica e sim de sua classe de equivalˆencia.

1.3 An´alise Funcional Elementar

1.3.1. Espa¸cos Vetoriais Normados

Seja K o corpo dos n´umeros reais R ou o corpo dos n´umeros complexos C e X um espa¸co vetorial sobre K. Se M, N s˜ao subespa¸cos vetoriais de X (escrevemos M, N (^) sev⊂X) definimos a soma de M e N por

M + N := {x + y : x ∈ M, y ∈ N }.

Defini¸c˜ao 1.3.1. Uma seminorma ´e uma fun¸c˜ao ‖ · ‖ : X → [0, ∞) tal que

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, ∀ x, y ∈ X ‖λx‖ ≤ |λ|‖x‖, ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ X.

E claro que^ ´ ‖ 0 ‖ = 0, e se

‖x‖ = 0 ⇔ x = 0,

diremos que ‖ · ‖ ´e uma norma e que X ´e um espa¸co vetorial normado.

Se X ´e um espa¸co vetorial normado, ent˜ao ρ : X × X → [0, ∞), definida por ρ(x, y) = ‖x − y‖, ´e uma m´etrica em X. Um espa¸co vetorial normado que ´e completo com a m´etrica induzida pela norma ´e dito um espa¸co de Banach. Todo espa¸co vetorial normado pode ser imerso em um espa¸co de Banach (o seu completamento). Este fato foi provado no curso de An´alise I.

Duas normas em X, ‖ · ‖ 1 e ‖ · ‖ 2 s˜ao equivalentes se existem c 1 e c 2 tal que

c 1 ‖x‖ 1 ≤ ‖x‖ 2 ≤ c 2 ‖x‖ 1 ∀ x ∈ X.

Uma s´erie

n=1 xn^ ´e dita convergente em^ X^ se^

∑N

1 xn^ →^ x^ quando^ N^ → ∞ e absolutamente convergente se

1 ‖xn‖^ ´e convergente.

Teorema 1.3.2. Um espa¸co vetorial normado ´e completo ⇔ toda s´erie abso- lutamente convergente ´e convergente.

Prova: Se X ´e um espa¸co de Banach e

n=1 ‖xn‖^ <^ ∞^ ´e f´acil ver que { ∑n k=1 xk}^ ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy e portanto convergente. Por outro lado, se X ´e um espa¸co vetorial normado X onde toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente e {xn} ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy, ent˜ao existem n 1 < n 2 < · · · em N tais que

‖xn − xm‖ ≤ 2 −j^ n, m ≥ nj

escolhemos y 1 = xn 1 , yj = xnj − xnj− 1 , j ≥ 2. Logo

∑^ k

j=

yj = xnk

e ∑k

j=

‖yj ‖ ≤ ‖y 1 ‖ +

∑^ k 1

2 −j^ < ‖y 1 ‖ + 1 < ∞.

Isto implica que {xnk } ´e convergente e portanto {xn} ´e convergente. §

Proposi¸c˜ao 1.3.3. Um subconjunto fechado de um espa¸co m´etrico completo ´e completo e um subconjunto completo de um espa¸co m´etrico qualquer ´e fechado.

Proof: Se (X, ρ) ´e um espa¸co m´etrico completo, E ⊂ X ´e fechado e {xn} ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy em E temos que {xn} ´e convergente para algum x ∈ X. Segue do fato que E ´e fechado que x ∈ E e E ´e completo. Se por outro lado E ´e um subconjunto completo de um espa¸co m´etrico qualquer (X, ρ) e x ∈ E−^ logo existe uma seq¨uˆencia {xn} em E que converge para x. Segue do fato que toda seq¨uˆencia convergente ´e de Cauchy que x ∈ E. Isto mostra que E ´e fechado. §

Logo ‖Tnx − T x‖ ≤ ≤‖x‖ ∀ n ≥ N e ∀ x ∈ X.

Portanto ‖Tn − T ‖ ≤ ≤ para todo n ≥ N e Tn → T. §

Tamb´em ´e verdade que se L(X, Y ) ´e completo ent˜ao Y ´e completo. Veja [4] Se T ∈ L(X, Y ) e S ∈ L(Y, Z) ent˜ao S ◦T ∈ L(X, Z) e ‖S ◦T ‖ ≤ ‖S‖ ‖T ‖. T ∈ L(X, Y ) ´e invers´ıvel ou um isomorfismo se T ´e bijetora e T −^1 ∈ L(Y, X), isto ´e, ‖T x‖Y ≥ c‖x‖X para algum c > 0. T ´e uma isometria se ‖T x‖Y = ‖x‖X ∀ x ∈ X.

1.3.2. O Teorema de Hahn-Banach Anal´ıtico

• Seja X um espa¸co vetorial sobre K. Uma transforma¸c˜ao linear f : X → K ´e chamada um funcional linear.
• Se X ´e um espa¸co vetorial normado, L(X, K) ´e um espa¸co de Banach (veja Proposi¸c˜ao 1.3.6) chamado espa¸co dual de X e denotado por X∗.
• Se X ´e um espa¸co vetorial sobre C ele tamb´em ´e um espa¸co vetorial sobre R. Assim, podemos considerar funcionais lineares reais f : X → R ou complexos f : X → C.

Proposi¸c˜ao 1.3.7. Seja X um espa¸co vetorial sobre C. Se f : X → C ´e um funcional linear e u = Re f ent˜ao u ´e um funcional linear real e f (x) = u(x) − iu(ix) para todo x ∈ X. Reciprocamente se u : X → R ´e um funcional linear real e f : X → C ´e definido por f (x) = u(x) − iu(ix), ent˜ao f ´e um funcional linear complexo. Se X ´e normado, f ´e limitado se, e somente se, u ´e limitado e neste caso ‖f ‖ = ‖u‖.

Prova: Se f : X → C ´e linear ent˜ao u = Re f ´e linear e Im f (x) = −Re if (x) = −Re f (ix) = −u(ix). Por outro lado se u ´e um funcional linear real f (x) = u(x) − iu(ix) ´e claramente linear.

Se X ´e normado e f ´e limitado |u(x)| = |Re f (x)| ≤ |f (x)|. Portanto, u ´e limitado e ‖u‖ ≤ ‖f ‖. Por outro lado, se u ´e limitado, |f (x)| = e ︸arg(f(x)) ︷︷ ︸ α

f (x) =

f (αx) = u(αx) ∈ R, logo

|f (x)| ≤ ‖u‖‖αx‖ = ‖u‖‖x‖

e f ´e limitado com ‖f ‖ ≤ ‖u‖. Em ambos os casos ‖f ‖ = ‖u‖. §

Defini¸c˜ao 1.3.8. Se X ´e normado, um funcional sublinear ´e uma fun¸c˜ao p : X → R tal que

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) e p(λx) = λp(x) ∀ x, y ∈ X e λ ≥ 0.

Teorema 1.3.9 (Hahn-Banach). Seja X um espa¸co vetorial real, p um fun- cional sublinear em X, M (^) sev⊂X e f um funcional linear em M tal que f (x) ≤ p(x) para todo x ∈ M. Ent˜ao existe um funcional linear F em X tal que F (x) ≤ p(x) para todo x ∈ X e F|M = f.

Prova: Come¸camos mostrando que se x ∈ X\M , podemos estender f a um funcional linear g definido sobre M + Rx e satisfazendo g(y) ≤ p(y) para todo y ∈ M + Rx. Se y 1 , y 2 ∈ M temos

f (y 1 ) + f (y 2 ) = f (y 1 + y 2 ) ≤ p(y 1 + y 2 ) ≤ p(y 1 − x) + p(x + y 2 )

ou f (y 1 ) − p(y 1 − x) ≤ p(x + y 2 ) − f (y 2 ).

Logo

r 1 = sup{f (y) − p(y − x) : y ∈ M } ≤ inf{p(x + y) − f (y), y ∈ M } = r 2.

Seja α tal que r 1 ≤ α ≤ r 2 e defina g : M + Rx → R por g(y + λx) = f (y) + λα. E claro que´ g ´e linear e que g|M = f , o que implica g(y) ≤ p(y) para todo y ∈ M. Al´em disso, se λ > 0 e y ∈ M , temos que

g(y + λx) = λ[f (y/λ) + α] ≤ λ[f (y/λ) + p(x + (y/λ)) − f (y/λ)] = p(y + λx)

e se λ = −μ < 0 temos que

g(y + λx) = μ[f (y/μ) − α] ≤ μ[f (y/μ) − f (y/μ) + p(y/μ − x)] = p(y + λx).

Portanto g(z) ≤ p(z) para todo z ∈ M + Rx.

d. Se x ∈ X defina xˆ : X∗^ → C por

x ˆ(f ) = f (x), ∀f ∈ X∗.

Ent˜ao a transforma¸c˜ao x →T xˆ ´e uma isometria linear de X em X∗∗.

Prova:

a) Defina f em M + Cx por f (y + λx) = λδ, (y ∈ M e λ ∈ C). Ent˜ao f (x) = δ, f|M = 0 e, para λ 6 = 0,

|f (y + λx)| = |λ|δ ≤ |λ| ‖λ−^1 y + x‖ = ‖y + λx‖.

Do Teorema de Hahn Banach com p(x) = ‖x‖ e M substitu´ıdo por M + Cx obtemos a extens˜ao F de f a X. E f´´ acil ver que ‖F ‖ = 1 e que F (x) = δ.

b) E um caso especial de a) com´ M = 0.

c) Se x 6 = y existe f ∈ X∗^ com f (x − y) 6 = 0 isto ´e f (x) 6 = f (y).

d) xˆ ´e claramemente linear de X∗^ em K. A transforma¸c˜ao x →T xˆ ´e linear, pois T (αx + βy)(f ) = ( αx̂ + ρy)(f ) = f (αx + βy) = αf (x) + ρf (y) = αxˆ(f ) + ρxˆ(f ) = αT (x)(f ) + ρT (y)(f ), para toda f ∈ X∗. Note que

|xˆ(f )| = |f (x)| ≤ ‖f ‖ ‖x‖ ⇒ ‖xˆ‖ ≤ ‖x‖.

Por outro lado de b) existe f ∈ x∗^ tal que f (x) = ‖x‖, ‖f ‖ = 1 e isto implica que |xˆ(f )| = f (x) = ‖x‖ e ‖xˆ‖ ≥ ‖x‖. §

Seja Xˆ = {xˆ : x ∈ X}. Como X∗∗^ ´e um espa¸co de Banach [ Xˆ]−^ tamb´em ´e Banach e x 3 X → xˆ ∈ Xˆ ´e uma imers˜ao densa de X em [ Xˆ]−. [ Xˆ]−^ ´e chamado completamento de X. Em particular se X ´e Banach [ Xˆ]−^ = Xˆ. Se dim X ´e finita ent˜ao Xˆ = X∗∗^ pois estes espa¸cos tem a mesma dimens˜ao. Para dimens˜ao infinita nem sempre Xˆ = X∗∗^ e quando este ´e o caso X ´e dito reflexivo. Geralmente identificamos X com Xˆ e consideramos X como um subespa¸co de X∗∗. Com isto, reflexividade passa ent˜ao a ser entendida como X = X∗∗.

1.3.3. Conseq¨uˆencias do Teorema de Categoria

Sejam X, Y espa¸cos vetoriais normados e T : X → Y uma transforma¸c˜ao linear. Diremos que T ´e uma aplica¸c˜ao aberta se T (U ) ´e um subconjunto aberto de Y sempre que U ´e um subconjunto aberto de X. Se Z ´e um espa¸co vetorial normado denotaremos o conjunto {z ∈ Z : ‖z − z 0 ‖ < r} por BZr (z 0 ) (ou simplesmente Br(z 0 ) quando n˜ao houver possi- bilidade de confus˜ao).

Teorema 1.3.13. [Aplica¸c˜ao Aberta] Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Se T ∈ L(X, Y ) ´e sobrejetora, ent˜ao T ´e aberta.

Para provar o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta precisamos dos dois lemas seguintes:

Lemma 1.3.14. Sejam X, Y espa¸cos vetoriais normados e T : X → Y uma transforma¸c˜ao linear ent˜ao, s˜ao equivalentes:

a) T ´e uma aplica¸c˜ao aberta;

b) Existe r > 0 tal que T (B 1 X (0)) ⊃ BrY (0).

Prova: E claro que´ a ⇒ b. Mostremos que b ⇒ a. Basta mostrar que T x ´e interior a T (U ) para todo x ∈ U. Se x ∈ U , como U ´e aberto, existe p > 0 tal que BpX (x) ⊂ U e

T (U ) ⊃ T (BXp (x)) = T (x + pB 1 X (0)) = T x + pT (B 1 X (0)) ⊃ T x + BrY (0) = BrY (T x)

mostrando T x ´e interior a T (U ). §

Lemma 1.3.15. Se X, Y s˜ao espa¸cos de Banach e T ∈ L(X, Y ) ´e tal que, para algum r > 0 , BYr (0) ⊂ [T (B 1 X (0))]−

ent˜ao, BY^ r 2 (0) ⊂ T (B 1 X (0)).

Teorema 1.3.18 (Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme). Sejam X e Y espa¸cos vetoriais normados e A ⊂ L(X, Y )

a) Se sup T ∈A

‖T x‖ < ∞ para x em subconjunto de segunda categoria, ent˜ao supT ∈A ‖T ‖ < ∞. b) Se X ´e um espa¸co de Banach e supT ∈A ‖T x‖ < ∞ para todo x ∈ X, ent˜ao supT ∈A ‖T ‖ < ∞.

Prova: Basta provar a) que b) segue do Teorema de Categoria de Baire. Seja

En = {x ∈ X : sup T ∈A

‖T x‖ ≤ n} =

T ∈A

{x ∈ X : ‖T x‖ ≤ n}.

Ent˜ao, os En’s s˜ao fechados e como a uni˜ao

n≥ 1

En cont´em um conjunto de

segunda categoria devemos ter que algum En cont´em uma bola n˜ao trivial [Br(x 0 )]−, r > 0. Ent˜ao E 2 n ⊃ [Br(0)]−^ pois sempre que ‖x‖ ≤ r temos que −x + x 0 ∈ [Br(x 0 )]−^ ⊂ En e

‖T x‖ = ‖T (x − x 0 )‖ + ‖T x 0 ‖ ≤ n + n = 2n , ∀ T ∈ A.

Logo ‖T x‖ ≤ 2 n sempre que ‖x‖ ≤ r e para todo T ∈ A de onde segue que

‖T ‖ ≤ 2 n r

∀ T ∈ A.

Corol´ario 1.3.19. Se X, Y s˜ao espa¸cos vetoriais normados e {Tn} ⊂ L(X, Y ) ´e tal que {Tnx} converge para cada x ∈ X e T : X → Y ´e definida por T x = limn→∞ Tnx, ent˜ao T ∈ L(X, Y ) e ‖T ‖ ≤ lim inf ‖Tn‖.

Corol´ario 1.3.20. Se X ´e um espa¸co de Banach e B ⊂ X, suponha que ∀ f ∈ X∗^ f (B) =

b∈B f^ (b)^ ´e limitado. Ent˜ao^ B^ ´e limitado

Prova: Defina ˆb : X∗^ → K por

ˆb(f ) = f (b).

Ent˜ao para cada f ∈ X∗

sup b∈B

|ˆb(f )| = sup b∈B

|f (b)| < ∞

segue do Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme e do Teorema 1.3.12 d) que

sup b∈B

‖ˆb‖ = sup b∈B

‖b‖ < ∞.

§

Corol´ario 1.3.21. Seja X um espa¸co de Banach e B∗^ ⊂ X∗. Suponhamos que ∀x ∈ X o conjunto B∗(x) =

b∗∈B∗^ f^ (x)^ ´e limitado. Ent˜ao^ B∗^ ´e limitado.

Prova: Por hip´otese |b∗(x)| ≤ cx para todo b∗^ ∈ B∗. Segue do Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme que supb∗∈B∗ ‖b∗‖ < ∞. §

1.4 Exerc´ıcios

1. Mostre que todo conjunto limitado ´e totalmente limitado e encontre um exemplo de conjunto limitado que n˜ao ´e totalmente limitado.
2. Mostre que, se T ∈ L(X, Y ) ent˜ao,

inf{c ≥ 0 : ‖T x‖ ≤ c‖x‖, ∀ x ∈ X} = sup ‖x‖∈X x 6 =

‖T x‖ ‖x‖ = sup ‖x‖=1^ ‖T x‖.

3. Mostre que se L(X, Y ) ´e completo ent˜ao Y ´e completo.

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